Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 42
Текст из файла (страница 42)
При этом и = !а(А) должно при й-ьО достаточно медленно стремиться к нулю. Различные разностные схемы, использующие искусственную вязкость, успеш- ПОСТРОЕНИЕ РЛЗНОСТНЫХ СХЕМ но применяются при газодинамических расчетах. Их недостатком является размазывание разрывов. Остановимся подробно на построении разностных схем нв основе интегрального закона сохранения (3). Можно наметить два подхода. При первом используется не только сам интегральный закон сохранения (3), но также и вытекающее из него условие на разрыве пав + прав ш 2 (5) При втором разрывы не выделяются и расчет ведется по единообразным формулам во всех расчетных точках. 2.
Метод характеристик. Наиболее четко идея выделения разрыва при расчете обобщенного решения реализуется в методе характеристик, который можно считать одним из вариантов метода конечных разностей. Развитие возникаю~них в процессе расчета, т. е. при увеличении времени 1, разрывов считается по особым формулам, использующим соотношение (5) на разрыве.
Вне разрывов задания дифференциального уравнения во всех встречавшихся нам формах равносильны между собой. Поэтому при построении расчетных формул в точках областей гладкости можно исходить из записи закона сохранения в дифференциальной форме, т. е. из дифференциального урав- нения ди ди — + и — =О. дг дх Принципиальная схема одного из вариантов метода характеристик применительно к нашему примеру состоит в следующем. Отметим на оси Ох точки х = тй.
Будем считать для определенности, что начальное условие и(х, 0) = ф(х) задается гладкой функцией ф(х). Из каждой точки (Х,„,О) выпустим характеристику уравнения ш + ии„ = О. Предположим, чтобы не осложнять изложение, что при заданной функции ф(х) можно выбрать столь малое т, что на любом отрезке времени длины т каждая характеристика пересекается не более чем с одной из соседних характеристик. Возьмем такие т и проведем прямые ~ = ~Р = рт. Рассмотрим точки пересечения характеристик, выходящих из точек (х, 0), с прямой 1 = т и перенесем в эти точки значения решения и(Х,„,О) =- ф(х,„) по характеристикам.
Если на участке 0 ( 1 «= т никакие две характеристики не пересеклись, то делаем следующий шаг: продолжаем характеристики до пересечения с прямой 1 = 2т и переносим по характеристикам значения решения в точки пересечения. Если пересечения характеристик за время т ( 1 ( 2т опять не было, то РЛСЧЕТ ОБОБШГННЫХ РЕШЕНИЙ амтв ~гл.
а Гап П ипрвв = и Ч"~т+ ~). паап=и(Я,'„) И Из точки Я выпускаем линию разрыва до пересечения с прямой 1 = 1р+а. Угловой коэффициент разрыва определяем из условия на разрыве Р р 4т 4иы авв + прав (пи= Рис. Зб Из точки пересечения разрыва с прямой 1 = 1раа проводим характеристики назад до пересечения с прямой 1 = 1р+ь проведя их с угловыми коэффициентами ип„и ипрвв с предыдушего слоя. В точках пересечения этих характеристик с прямой 1 = 1р+~ с помощью интерполяции по х находим значения и и принимаем их за левое и правое значения решения в точке разрыва, лежагдей на пря1лг,р в/1 мон 1„+,. Это позволяет определить новый наклон разрыва как среднее арифметическое найденных значений слева и справа и про- 1лтвд,1Р в-) / / долж ить разрыв еше на ОУ,,Р1 шаг т по времени.
Достоинство метода характеристик в том, что он позволяет следить за разрывами и акукратно их рассчитывать. Однако в процессе счета возникают все новые разрывы, в частности, малосушественные разрывы могут пересекаться, так что с течением времени картина усложняется. Логика расчета усложняется, требования к машинной памяти и расход машинного времени возрастают. В этом недостаток метода характеристик, в котором разрывы выделены и считаются нестандартным образом.
3. Дивергентные разностные схемы. Разностные схемы, не ис. пользуюшие искусственно введенную вязкость и не использую- делаем следующий шаг и так до тех пор, пока на некотором участке 1Р <1 <1раа две характеристики, например выходящие из точек (хвн О) и (х,„+ь О), пересекутся (рис. 36). Тогда середину отрезка К+Дт будем считать точкой, из которой выхо. +1 Р+~ дит зарождающийся разрыв.
Точки К и Я +1 заменяем одной гы оа-Е точкой Я, приписывая ей два значения решения, и„, и ипрвв, принимая за эти величины значе- 1пвг ПОСТРОЕНИЕ РАЗЕ!ОСТНЫХ СХЕМ 279 шие условия на разрыве, как было выяснено, должны опи- раться на интегральные законы сохранения.
Проведем на плоскости Ох< сетку прямых < = рт, х = =(т+ </,)й, р = О, 1, ...; т = О, -<-1, ... Отметим на сторо- нах возникаюших прямоугольников их середины (рис. 37) и от- несем их к сетке Ул (оси координат на рисунке не показаны). Искомой функцией [и]л будем считать сеточную функцию, определенную в точках сетки Ул путем усреднения решения и(х,1) по той стороне сеточного прямоугольничка, которому принадлежит рассматриваемая точка сетки: "т+Ъ [и]„]„, = й!' = — $ и(х, Фр) <(х, ! «»» 'р+ ! [и]„]„„, = — У»4,= — ~ и(х ~й, 1)<1! <-~р+,~, Приближенное решение и<"! задачи определено на той же сетке Ул. Значения и<"! в точках (х,<р), лежаших на горизон- тальных сторонах прямоугольничков, будем обозначать и», а в р+'(« .
точках (х, +2„1»+<,) вертикальных сторон — через У„+<, Величину и» можно считать продолженной на всю сторону 1=1„, х (х(х +! прямоугольничка, которому принадлежит точка (х,<р). Лналогично будем считать, что У +1), определена »+2 на всем вертикальном промежутке х = х~.»~а, 1» < 1 < 1р.!.!. Таким образом, и<"! будет функцией, определенной на прямых х = тй, 1 = рт. Связь между величиной и' и УР„,++()„р = О, 1, ...; т = О, ~-1, ..., установим, исходя из интегрального закона сохранения и« и <)х — — <Й= О.
2 г Рассмотрим в качестве контура Г элементарный прямоугольник сетки и положим ( <л!)т — <~) и<"! <(х — <1! = О, 2 (6) г или в развернутом виде (7) РЛСЧЕТ ОБОБШЕННЫХ РЕШЕНИЙ ~гл. з (8) ЕСЛИ будЕт ухаЗаНО ПраВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕЛИЧИН Уем".Р(Г„ т=О, +-1, ..., по уже известным величинам иР, т=О, ~1,..., то формула (7) позволяет вычислить величины иР+', т = О, ~ 1, ..., т. е.
продвинуться на один шаг по времени. Однако независимо от конкретного способа, который мы изберем для вычисления величины У~~+()н разностная схема вида (7) обладает свойством дивергентности, которое состоит в следующем. Проведем в полуплос— — т —— кости 1~'- О какой-либо замк! нутый несамопересекаюгцийся контур, целиком состоя- ! Т д ций из сторо сето ых % — прямоугольников (рис. 38). — — 4 —— Этот контур дп ограничит некоторую область О», составленную из сеточных пря.т моугольников. д Просуммируем почленно Рис.
38. все уравнения (7), относящиеся к прямоугольничкам, составляющим область бь. Уравнения (7) и (6) отличаются только формой записи. Поэтому можно считать, что мы суммируем уравнения (6). Получим С („нв)з ни 1 и 2 еа Интегралы по тем сторонам прямоугольничков, которые не лежат на границе да области Ол, но входят в выражение (6), после суммирования уравнений (6) взаимно уничтожатся. Действительно, каждая из этих сторон принадлежит двум соседним прямоугольничкам, так что интегрирование функции ирн по ней встречается дважды и ведется в противоположных направлениях (рис.
39). Разностные схемы, при суммировании которых по точкам сеточной области Ох остаются только алгебраические суммы значений неизвестных или функций от них вдоль границы области, называют дивергентными, нли консервативными. Такие схемы аналогичны дифференциальным уравнениям дивергентного вида 61чФ = — + — =О дФ, дФг д1 дх при почлеином интегрировании которых по двумерной области 0 в левой части возникает контурный интеграл (3) 5 29. Разностная схема (2) недивергентна, схема (7) дивергентна. ПОСТРОЕНИЕ РЛЗНОСТНЫХ СХЕМ Заметим следующее.
Пусть сеточная функция игл), удовлетворяющая уравнению (7), при Ь- 0 равномерно сходится к некоторой кусочно-непрерывной функции и(х,() во всякой замкнутой области, не содержащей линий разрыва, и пусть ирц равномерно по й ограничена. Тогда и(х, () удовлетворяет интегральному закону сохранения ив иг(х — ~ с(1=0, где д — произвольный кусочно-гладкий контур. Это непосредственяо следует из возможности приблизить контур тг Рис. Зй. контуром дл, нз равенства (8) и пред- положенной сходимости *) и(м — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
