Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Чтобы схема (7) приобрела смысл, надо указать способ вычисления величин У~~)' по величинам ил+у,. В схеме С. К. Годунова, которую мы используем для иллюстрации понятия дивергентных схем, для этого используется решение следующей задачи о «распаде разрыва». Пусть в начальный момент решение и(х, 0) задано условиями и„, при х<0, и(х, 0) = иврвв при х ) О, где иасв = сопз1 и ипрвв = сопз1, Тогда можно найти соответствующее обобщенное решение.
Как зто делается, мы видели в $29 при разборе примера илсв = 1, и,рва= 2 и примера и„,= 2, и,р„— — 1. Нам важно знать зяачение У = и(0, () решения и(х, () при х = О, Читатель, построив картинки типа рис. 33, 34, изображающие решение и(х, (), легко проверит, что на прямой х = 0 решение принимает значения ипею и,„„, или 0 в зависимости от заданных начальных данных, и выяснит для каждой конкретной пары чисел ил, и и,р„какое именно. Например, при илев ) О, ипрвв ' 0 бУдЕТ и(0, 1) = — илев а пРи илев < О, ипрвв < 0 будет и(0, () = иправ.
Величину У~~+(),(=У) в схеме (7) будем определять нз задачи о распаде разрыва, возникающего на границе х = х +у,' каждых двух участков, где заданы постоянные значения ир г и ) и игв+3 ( и )' *) функция и п(х, Г) определена почти всюду, а функция н~вг = = про(х, Г) — лишь на сетке прявгых. Это формальное несоответствие можно преодолеть, считая, что при уменьшении Ь каждая новая сетка является подразделением старой, и говоря о сходимости в точках сетии, построенной для любого фиксированного й иэ числа допустимых.
Расчет ововшенных Решений !гл. 9 282 Если, например, иа ) О, т = О, ~ 1, ..., то 0~Д, =их„=и~~, т=О, ~ 1, ... РРЧ н схема (7) примет вид иа+' — иа 1 Г(иа)х ОФ ФФ 1 /и т а ~ 2 ш+'/а иа = — ~ ф(х)йх ! я а ~ 3 — О 2 к и-'а или иа+' — иа К иа + иа Ч иР— иР -+~.-'+ -) " --' 0 2 а .Легко видеть, что при х ! г= — (~ Ь Шах(и~~~ имеет место принцип максимума !пах (иа+'((пьах~иР ~; ...
а~и!ах~ив )(и!ах(ф(х)1. т гл га к ! Отсюда видно, что при т = ! )! Ь можно надеяться, что шах1$(х]! полученная разностная схема устойчива при некотором разумном выборе норм. Мы не будем фактически указывать эти нормы: экспериментальные расчеты подтверждают, чтоприизмельчении сетки решение ийи задачи (7) с кусочно-монотоннымн и кусочно-гладкими начальными данными ф(х) сходится к некоторой функции и(х,1), имеюшей конечное число разрывов, причем вне любой окрестности разрывов сходнмость равномерная. Схема (7) с вычислением (7~ ~(), путем использования распада разрыва не является, конечно, единственной дивергентной схемой для задачи (1).
Укажем, например, еше простейшую схему, основанную на идее пересчета. Эту идею мы изложили в п. 3 $ 22. Для простоты ограничимся случаем ф(х) ) О. Сначала ищем вспомогательные величины й по недивергентной неявной разностной схеме йР+У вЂ” йа+'lи т/2 т Ь Значение коэффициента при и„в уравнении и!+ ии„= 0 заменяем через иа, а не через йа+'*, чтобы возникаюшая схема была линейна относительно подлежаших вычислению величин. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 2ВЗ Далее полагаем Р+Чз 1 Г -а+Чз -Р+з/зЪ (г'~+Ч, — — 2 ~им + им+~) (9) ЕР+Чз аР ЕРЧ з1з ЕР+Чз ,2 " ° " а" = ° аР+1 аР а Г аР+Чз+ аР+Ч ЕР+Чз+ ЕР+Ча Л Рз Рз + аз+1 за о.
т Ь 2 2 Для решения с начальными данными ир = азам получим йР+Чз — 1Аезавз зз где ! р= 1+а — — а — в г г -10 2 2 Далее, иа+' =Леза РЗ где Л(а) = +за 2+ аг — агв 1 Л (а) ~ = 1. и пользуемся схемой (7), (9). Получаемая так дивергентная схема на гладком решении имеет второй порядок аппроксимации. Эвристическое исследование с помошью спектрального признака Неймана при линеаризации и замораживании коэффициента указывает на устойчивость при произвольном г = т/Ь. Проведем это исследование. В результате линеаризации и замораживания коэффициента придем к схеме вида ЧАСТБ ЧЕТВЕРТАЯ ЗАДАЧИ С ДВУМЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ ГЛАВА 10 ПОНЯТИЕ О РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ РАСЩЕПЛЕНИЯ Разностные схемы расщепления — одно из важных средств мри расчете решений многомерных нестационарных задач математической физики.
В 31. Конструкция схем расщепления На описательном уровне идею конструкции схем расщепления можно изложить так. Рассмотрим дифференциальную задачу вида д, =Аи, 0 <1< Т, и!г=а задано, где А — некоторый оператор по пространственным переменным, например: д'и д'и Аи = — — „+ —.
дх' ду' ' Значения и(х, у, 1р+1) по уже известным значениям и(х, у, 1р), 1р = рт, выразим формулой (где Š— единичный оператор, Во= и) и(х, у, 1р + т) = и (х, у, 1р) + т д, + О (т') = =и(х, у, (р) +тАи(х, у, 1р)+ О (тз) =(Е+ тА) и(х, у, 1р)+ О(т ). Допустим, что правая часть уравнения (1) имеет вид Аи— = А,и+А,и. Тогда расшепим уравнение (1) дч А и+ А~и констрхкция схем расщепления ззп гаа на следующие два: др д( =А(о "р<1 <1р+о о (х, у, 1р) =и(х, у, 1 ), сто — „=Ар, 1,«<1„н 1 щ(х, у, 1 ) = о (х, у, 1,+,).
р' (2) (3) для численного решения задачи (!) построена, надо как-либо проверить ее аппроксимацию и устойчивость. В случае задачи Коши для двумерного уравнения теплопроводности ди д(р д((( — = —,+ —,, 0<1<Т, — о<х, у<ар, 1 дг дх' д(у' ' (6) и (х, у, О) = ф (х, у) Заметим, что ш (х, у, 1р,,) = и (х, у, 1...) + О (т'). В самом деле, о(х, У, 1рр() =(Е+ тА() о(х, У, 1р)+ 0(та) = =(Е+тА,)и (х, у, 1)+ 0(т'). Далее, с учетом последнего равенства имеем и((х( у, 1р.,() =(Е+ тА,)и((х( у, 1р)+ 0(т') = = (Е+ тА,) о (х, у, 1рр() + О (т() = =(Е+ тАз)(Е+ тА()и(х, у, ! )+ 0(т') = =(Е + т (А( + Аа)] и (х, у, 1р) + т'А(Ари (х, у, 1р) + 0 (тт) = = (Е + тА) и (х, у, 1,) + 0 (та) = и (х, у, 1р+,) + 0 (т'). Равенство (4) и дает основание на каждом интервале вре- мени 1р <1<1р.р( вместо задачи (!) последовательно решать задачи (2) и (3). Для фактического решения уравнений (2) и (3) формально аппроксимируем эти уравнения какими-либо разностными.
Тогда возникает некоторая разностная схема расщепления Е(,и(м = 1(ь(, позволяющая в два этапа вычислить ир+' по уже известному ир (первый этап — вычисление ар+( по заданному ор = ир, а второй — вычисление ир+' = барр( по уже вычислен- ному нз первом этапе и(р = о('+'). Высказанные соображения носят эвристический характер, После того как разностная схема расщепления ~-ри'"' =1(М (5) ПОНЯТИЕ О РАЗНОСТНЪ|Х СХЕМАХ РАСЩЕПЛЕНИЯ |гл. |а яее в качестве системы (2), (3) можно взять, например, др д|р а| = дх о(х, у, 1„) = |(х, у, 1р), и(х, у, 1) =п(х, у, 1,+,).
(7) д|р д'в а1 дд Указанное расщепление двумерного уравнения из задачи (6) на два одномерных уравнения (7) можно истолковать как приближенную замену процесса распространения тепла по плоскости Оху за время 1р <1( 1„4, на два процесса. В первом из них, который описывается первым уравнением (7), вводятся (мысленно) теплонепроницаемые перегородки, препятствующие ррА ~лАл-1 Ар лрг лл л,у ЛЛАРРГ илгру,л Р л|р/,л Р л~ Хл пл|л Рис.
41 Рис. 40. р игл Итл =Л Аир, (8) ил|и атл р+| = Лррй но = р(х распространению тепла в направлении оси Оу. Затем, по прошествии времени т, взамен этих перегородок вводятся перегородки, препятствующие распространению тепла в направлении оси Ох. Тогда распространение тепла, снова в течение времени т, описывается вторым уравнением.
Выберем сетку (хлч ул, 1р) = (тЬ, пй, рт). Разностную схему расщепления, отправляясь от (7), можно построить многими способами. Укажем два из них: % з11 коиструкш1я схем Рйсшепления 287 Р лтл =Л„,й „ йтл— 1 й — ир+1 ду тл и' „ = ф (х , уп). ! .Р1 "л|п (9) В обеих этих схемах расщепления положим й = — П'+' = — ВР, ид+' — = и1Р+1 тл тл тп' тп л|л ' Напомним обозначения Лпп и Л„,, которые нам уже встречалисуи лт+, „— 2итп+ и Л„„и „=. й и и+,— 2и и+и Лдди „=- Схему (8) поясняет рис.
40, схему (9) — рис. 4!. Самое расщепление задачи (6) тоже неединственно. Задачу (6) можно записать, например, так: и (х, у, О) = и( (х, у), (6') дп 1/д'Р д'РХ вЂ” = — ~ — + —.) 1 <1<1 д1 2 ~ дх' дуп )' Р~ Р+1' о(х, у, 1р) =и(х, у, 1) (10) и1(х, у, 1,) = о(х, у, 1,+,). (11) Такое расщепление не есть расщепление по физическим соображениям, как в схеме (7). Разностную схему выберем так (рис.
42): 1 = — (Л„„и'„+ Л„дй и), 1 = ф(х~, у ). О Лтп ~тл Р+1 итп птп (12) иу итп и поставить ей в соответствие на отрезке 1Р <1 < 1р+1 следую- щие две системы: понятие о рлзностных схезтлх расщепления (гл. ш 288 ип+' по схеме (12) переменных направлений каждом фиксированном т решить неявное р,г уравнение для йж„, в которое т а г-йп входит как параметр. Потом для вычисления ир+' надо решить второе уравнение (12), неявное относительно ир+„', в которое и йпьп у входит как параметр.
Схему (8) можно записать р в виде (5), если положить и Для вычисления надо сначала при р~/ илг-у, и я+! а Л й г ц(л) = л ууцжчз цо жл' хг ит-йп Рис. 42. Предоставим читателю записать схемы (9) и (12) в виде (5). Читатель может проверить, что спектральный признак устойчивости Неймана, состоящий в ограниченности решений вида выполнен длЯ схемы (8) пРи г=т/йз('/з, а для схем (9) и (12) при любом г. Мы не будем останавливаться на исследовании условий устойчивости и доказательстве аппроксимации схем (8), (9) и (12). ЗАДАЧИ 1. Исследовать, при каких г = т(Л' выполнен спектральный признак Неймана для разиостных схем расщепления (8), (9) и ((2), приведенных в этом параграфе.
2. Проверить, что схема (8) аппрокснмнрует задачу (6) на достаточно гладком ограниченном решении н(х,у,(). 3. То же, что н в задаче 2, но для разностных схем расщепления (9) и (12). 9 32. Экономичные разиостные схемы Рассмотрим и исследуем примеры разностных схем рас- щепления для задачи о распространении тепла — = —, + —,, 0(х, у((1, 0(((Т, и(х, у, 0) = зр(х, у), 0((х, у~(1, и(х, у, !) (г — — 0 где й,„„=иа„+ тЛ„„ир„определяется из первого уравнения (8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
