Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ва Л=1 — 4гз(п' —, О~а(2п. Эти Л = Л(и) заполняют отрезок 1 — 4г < Л < ! на вещественной осн. Этот отрезок и есть спектр задачи (2). Собственных значений Л, не лежащих на этом отрезке, задача (2) не имеет, так как в случае отсутствия у характеристического уравнения (7) корня д, по модулю равного единице, задача (6) не имеет ограниченного при т -ь ~Ос решения. Если Л не лежит на отрезке ! — 4г < Л < 1, то оба корня характеристического уравнения (7) отличны по модулю от единицы, но их произведение равно свободному члену квадратного уравнения (7), т.
е. единице. Поэтому среди корней уравнения (7) один по модулю больше, а другой меньше единицы. Пусть для определенности [д~[ < 1, а [да[ > 1. Тогда общее решение уравнения (6), убывающее по модулю при т-ь+ОО, имеет вид и =с[д,(Л)) а общее решение уравнения (6), стремящееся к нулю при т-ь — оо, имеет вид и = с [д, (Л)) Для определения собственных значений задачи (4) надо подставить и = сд'," (Л) в левое граничное условие 1~и = О и найти все те Л, прн которых оно выполняется. Это и будут все соб. ственные значения задачи (4).
Если, например, 1~из = — ио — — О, то условие сд', = О не выполняется ни при каком с чь О, так что собственных значений нет. Если 1~и~ = и — и, = О, то условие сд,' — сд', = с(д, — 1) = О ввиду д~ ~ ! приводит к с = О, так что собственных значений опять нет. Если 1~и = 2и — иа = О, то условие с(2д~ — 1) = О выполняется при с чь О, если д~ = '/м Из уравнения (7) находим, что в случае д~ = чанг число Л есть Л=1+г(д,— 2+ — ) =1+г 2 =1+ 2. Это и есть единственное собственное значение задачи (4). Оно лежит вне единичного круга, так как Л =! +г12) 1. Аналогично вычисляются собственные значения задачи (5). Они по.лучаются из уравнения !им=О, 247 пРинцип 3АмоРОженных коэФФициентов при и =31, 3! =31 (А), т=М, М вЂ” 1 М Рассмотрим в качестве еще одного примера разностную схему иР+' — иР 3Р 3и иы+3 — и Р. Р Ь =0 р=О, 1, ..., (ТЯ вЂ” 1, т=0,1,..., М вЂ” 1, Мй=1, ) (8).
из =3)3(х ), т=О, 1, ..., М, и'+' =О, м аппроксимирующую задачу и3 — и,=О, 0<х<1, 0<!<Т, и(х, 0) =3Р(х), и(1, !) =О. РР+3 цР цР иР— = О, т = О, ~ 1, ..., (9) задачу с одной только левой боковой границей цР+ цР цР иР Р3 3п 33+ 3 Р3 — =0 РП= О ! (1О) и задачу с одной только правой боковой границей иР+' — иР РР— иР Р3 Л3 Р3+ 3 Р3 — =О, т=М вЂ” 1, М вЂ” 2,..., ь ' ' " '' ' (!1) иф' = О, р = О, 1, ..., 1Т)т) — !. В случае задачи (10) с одной только левой боковой границей граничного условия нет, так как его не было в исходной задаче (8). Надо найти совокупность собственных чисел всех трех операторов перехода от ии к ии+', соответствующих каждои изтрех вспомогательных задач (9), (10), (1!), и выяснить, при каких условиях все они лежат в круге !А(< !.
Применим для исследования ее устойчивости признак Бабенко — Гельфанда. Сопоставим схеме (8) три задачи: задачу. без боковых границ пРиемы иГслГДОВАиии угтопчивости !Гл. 8 24В Решение вида и =Ли р р 8 при подстановке в разностное уравнение иР+' = (1 — г) ия + гиР ч и г = — „, приводит к следующему обыкновенному разностному уравнению первого порядка для собственной функции: (Л вЂ” 1+ г)и,„— ги +, — — О. (12) Соответствующее характеристическое уравнение (Л вЂ” ! + г) — гц = О дает связь между Л и д. Общее решение уравнения (12) есть и,„=сд =с( ), т=О, 6-1.... При !д(= 1, д = е88, 0( а(2п Л = (1 — г) + ге'8. Точка Л = Л(а) пробегает окружность с центром в точке 1 — г н радиусом г. Это и есть собственные значения задачи (9) ф Рис. 26. (рис. 26, а).
Убываюшее при т- + со нетривиальное решение и =Л и~=с8Л~д Р Р задачи (10) сушествует при любом д, ~ д ~ ( 1. Соответствующие Л = 1 — г+ гд заполняют, очевидно„всю внутренность круга, ограниченного окружностью Л =(1 — г)+ + ге' (рис. 26,б). Наконец, решения задачи (11) и~~=Л~и~, убываюшие при т-+ — со, должны иметь вид и,'„= сЛ'д, где Л и д связаны равенством (13).
Из граничного условия иР = 0 следует, что нетривиальное решение (с ~ 0) сушествует только при Л = Л(д) = О, т. е. при в = — (г — 1)/г. Эта величина в по модулю больше единицы в случае выполнения одного из неравенств (г — 1)/г ) 1 пли (г — 1)/г ( — 1. Первое неравенство решений не имеет. Решение второго: г ( '/з. Итак, при г( '/з задача (10) имеет собственное значение 1. = 0 (рис. 26,в). На рис. 27,а, б, в изображены объединения собственных значений всех трех задач соответственно для случаев г < '/м '/з < г < 1 н г ) 1, и)," в- в) л'" ' // ус Ряс. 27. Ге/ Ясно, что объединение собственных значений всех трех задач лежит в круге ~/ь~ ( !+ от, где с не зависит от Ь, в том и только том случае, если г ( 1. Изложенный здесь признак устойчивости нестационарных разностных задач на отрезке, учитываюший влияние граничных условий, применйм и в случае краевых задач на отрезке для систем разностных уравнений.
В этом случае естественные иа первый взгляд схемы, удовлетворяющие признаку Неймана, часто оказываются неустойчивымн из-за неудачной аппроксимации граничных условий, и важно уметь подбирать схемы, свободные от этого недостатка. В гл. 14 мы еше вернемся к обсуждению спектрального признака Бабенко — Гельфанда с некоторой более общей точкизрения. В частности, будет строго доказано, что его выполнение необходимо для устойчивости и что при его выполнении устойчивость не может «грубо» нарушаться. злдлчи 1. Выяснить условия выполнения спектрального признака устойчнвосты лля разностной схемы Р+~ иы иги вы+1 ит-1 и",— 2и + и О, 2И 2 Из тл=1 2,...
М 1 и,„=зР(х,„), из=о, 1, ..., М, ия+ =О, лз „Р+~ ия ил „Р р=о, 1, ..., (Т/т) — 1, ио и~ — ио =О т И % е61 ПРИНЦИП ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 249' ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЙ УСТОЙЧИВОСТИ 250 (гл. в .аппроксимирующей дифферекциальную задачу и! — и„=о, 0<х<1, 0<!<т, и (х, 0) = ф(х), и (О, !) = и (1, !) = 0 на гладком решении и(х, !) со вторым порядком относительно Ь. Ответ; т(й < 1. 2 Для построения разностной схемы, аппроксимирующей следующую краевую задачу для гиперболической системы дифференциальных уравнений до дв д! дх' О<к<1, О<г<т, дв до д! дх' о (х, 0) ф! (х), в (х, 0) = ф! (х).
о (О, !) = в (1, !) = О, ие =ф(х ) ил+! ва ь! 0 е =вм Для завершения построения схемы надо задать дополнительные граничные условия на левой и правой боковых границах. Заметив, что при любых сс и (1 из системы дифференциальных уравнений следуют равенства д(о+ив) д(в+по) ( д! дх ~х-а д(о+ ()в) д(в+ Оо) / д! дх (х-! зададим дополнительные разностные краевые условия, положив (оа'+'+ а+') — (оо+ цва) (в!'+ ао,) — (ва + ао,",) (ом+'+Овм+') — (ом+Овм) (вм+ ром) — (вм-!+()ом-!) й !' о (х, !)ц положим и(х, !) = ( ' л! и запишем ее в матричной форме: %,в(х, !)у д д — и — А — и=о, д! дх и(х, 0) = ф(х), о (О, !) = в (1, !) = О, !'О 11 где А = !Х у!.
Выберем сетку (хьь 1„) = (шй, ит), 6 = 1/М, М вЂ” патуральо) нее. Положим и„+' — и,„и,„+! — им ! т и„,+, — 2и,„+ и,п а+! а а — А — — А' =О, 2Ь 2 Л' ш=1,2, ..., Л1 — 1, КОНЕЧНЫЕ РЯДЫ ЕУРЬЕ При условии г = т/й ~ 1 показать, что: а) Если сс = 1, р = †), то спектральный признак устойчивости выполнен; б) Если а = †!, то независимо от выбора числа р спектральный признак устойчивости не выполнен; в) Найти условия, которым должны удовлетворять а и р, чтобы выполнялся спектральный признак устойчивости, учитывающий влияние граничных. условий. $27. Представление решений некоторых модельных задач в виде конечных рядов Фурье Приведем примеры модельных задач, решения которых удается представить в виде конечных рядов Фурье.
Такие представления имеют большую ценность, так как позволяют понять свойства рассматриваемых модельных задач, а тем самым и того класса задач, которьзй они моделируют. Сначала необходимо объяснить, что такое ряды Фурье для сеточных функций. 1. Ряды Фурье для сеточных функций. Рассмотрим множество всех вещественных функций о = (и ), определенных в точках х,„= тл, лт = О, 1, ..., М; Мй = 1, обращающихся в нуль при лт =О и гн = М. Совокупность этих функций с обычными операциями сложения и умножения их на вещественные числа образует линейное пространство.
Размерность этого пространства есть М вЂ” 1, поскольку система функций ~ О, если тчь/г, ф(з '" (1, если пт=й, й = 1, 2, ..., М вЂ” 1, очевидно, образует базис. Действительно, каждую функцию и = (па, пь ..., пм), по = ом = О, можно единственным образом представить в виде линейной комбинации функций фо, фн, ..., ф о=оф + ... +пм,Ф вЂ”. и) <м-~) Введем в рассматриваемом пространстве скалярное умножение, положив м (п,ш)=Ь ~ о га.
(1) Покажем, что система функций (2) пРиемы исследоВАний устойчивости [ГЛ. В образует ортонормальный базис в рассматриваемом простран- стве, т. е. что !' О, йчьг, (,(м ф[г!) ~1, й=г, й, г = 1, 2, ..., М вЂ” 1. Отсюда при й ~ г получаем м м-! [!ля . глгл ч ~ . [Олгл . глгл (Ор[О[, ф[г!) =26 ~ з!п — з!п — = 26 р з(п — зш — = м м 2. м м= и! О «г О м-! м-! =6 ~~ соз — 6 ~ соз ([Π— г) лт ч ! ([г+ г) лгл м г.' м =0 «! =О а при Й=г м-! м-! (ф[О[, ф[О!) =Ь ~~ созΠ— Ь ~~ соз — =АМ вЂ” 6 0=1. ег =О Любая сеточная функция о=(ое,о[, ..., ом) разлагается по ортонормальному базису (2) в сумму о =с[фп[+ ... + см [ф!"! '>, или м — ! о = ~/2 ~~' се з1п —, е=! (4) .где м се = (о, Ор[О!) = 1Г2 Ь ~~~ о ебп —.
[глт М Ясно, что благодаря ортонормальности базиса (2) имеем (о, о) = с'; + с; '+ ... + с' (5) Сумма (4) и есть разложение сеточной функции о = (о~) в ко- нечный ряд Фурье, а равенство (5) — точный аналог равенства .Парсеваля в обычной теории рядов Фурье. Для доказательства заметим, что М-' Г [лм [л„~ соз 1™=--~(е м +е м )= ег =О Ог -О 1 — епл 1 1 — е "" О, если 1 четно и 0(1(2М, — — 1, если 1 нечетно. 1 — е 1 — е конечные еяды фтеье «=О т В рассматриваемом линейном (М вЂ” !)О система функций пространстве размерности й=1,2,..., М вЂ” 1, 1=1,2,..., М вЂ” 1, ОГ!" " = 2 з!п — з!и —, Ьлт .
1лл М образует ортонормальный базис АФг либо 1~а, й =г и !=а. Г О, если (фып фо и)= 1, 1, если Это следует из (3), если заметить, что м м «лт . глт х« . 1лл . ез«1 (фы '1, ф» ") = 2 ~~ з!п — з!п — )~2 ~ з!п — з!п — "~= т О «=Π— (ф(м фьо) (фн! ф(м) Любая функция о = (о „), обращающаяся в нуль на границе квадрата, разлагается в конечный двумерный ряд Фурье м-1 «тл . 1л« о „= 2 ~~ сы з!п — з!и —, м 1-1 (6) где сю — — (о, ф1О "). Справедливо равенство Парсеваля м — 1 (о о) = Х с' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
