Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Д о к а з а т е л ь с т в о получается прямой подстановкой выражения (37) в уравнение и начальное условие (31) с помощью равенств (34) и (35). Следствие. Если в (31) функция ~ре = — О, то ФР(а) =0; в силу (38) имеем УР(а) = ЛР(а)Ч" (а), а из (37) следует и' = 1 Л'(а) гу(а) е" да. (39) Аl 2п 4 о Интегральными представлениями (37) и (39) можно пользоваться для анализа свойств разностной схемы (31). Определим нормы равенствами 11ие!!'= ~ (ие ~г; 'ги'А1Ц =гпах 11ие1), ГП Р 1ф 1'= Х1ч (' (ф(!а=Х!ф )'. 11 )чм 1(Є— — ! 1 = 11 ф 11+ гпах 11 фа 1).
Р (40) где интегрируемая с квадратом функция БР(а) определяется ренуррентным соотношением ПР+'(а) =Л(а) ПР(а)+ „,, Ф (а), р =О, 1, ... (38) 3,?есь пгивмы исслвдовхнип тстопчпвости !гл. в 234 Теорема 2. Для устойчивости раэностной схемы (31) по начальным данным, т. е.
для выполнения неравенств (ие!!((с!~и'~1, р=О, 1, ..., [ — ~, при произвольном и" =ф, !(ф!)( сь, и при гбач = — 0 с постоянной с, не эависяи(ей от й (и от т = т(й)), необходимо и достаточно, чтобы спектр Л = Л(а) лежал в круге (10): (4! ) ! Л (а) ! ( 1 + с,т, где с, не зависит от Ь (и от т). Доказательство. Сначала установим достаточн о с т ь. При условии (41), очевидно, (42) /Л(а)/Р(! ! +с т!™ч'ечт Из представления (39) в силу равенства Парсеваля и неравен- ства (42) следует евт(!иа)(=-с!)иь!!.
Н е о б х о д и м о с т ь. Покажем теперь, что из невыполнения (4!) при любом фиксированном с, следует неустойчивость. Использовать неограниченность при т- 0 решения ий=Л (а)е", р=О, ..., [ — ~, имеющую место в этом случае, для доказательства неустойчивости при выбранной норме (40) нельзя, так как (есч ) не принадлежит пространству сеточных функций, у которых сумма квадратов модулей их значений ограничена. Для доказательства неустойчивости заметим сначала, что всегда можно выбрать интегрируемую с квадратом функцию У(а) так, чтобы выполнялось неравенство зп вк — ~ ! Л (а) !зе ! (т'(а) (~да) )гпах ! ! Л(а) !зе — е! — ~ ! У (а) !'да, (43) о о где а) 0 — произвольное.
В самом деле, если шах!Л(а)1= а $25! спектРАльнын АнАлиз РАзностной злдАчн ко!пн л% =]Л(а") ], то положим 1, если а еи [а — 6, а'+ 6], с!(а) = О, если а И [а* — б, а'+ б]. Благодаря непрерывности функции ]Л(а) ['Р при достаточно малом б = б(е) будет выполнено (43). Если (42) не выполнено, то найдется последовательность п» и соответствующая последовательность т» = т(й»), при которых с» †= [гпах! Л(а, Ь») ]]!т""! — оо при й — л оо.
О Положим е = 1 и выберем У(с») так, чтобы выполнялось (43). За последовательность (и" ] примем последовательность коэф- фициентов Фурье функции У(а). Тогда (43) при р = [Т!т] при- мет вид []и™[!)~(с» — 1)[[из[[, с»- оо, при й-»0, что и означает отсутствие устойчивости по начальным данным. Т е о р е м а 3. Для устойчивости разностной задачи Коши (31) при сделанном выборе норл! (40) необходимо и достаточно, чтобы вь!полнялся спектральный признак устойчивости (41). Д о к а з а т ель с т в о. Необходимость очевидна, так как при невыполнении этого признака в силу теоремы 2 нет устойчивости по начальным данным.
Для доказательства достаточности установим, что при каждом й ) 0 справедливо неравенство ]!и»+']]((1 + с,т)!]и»[]+ с»т щах[]фл][, л (44) из которого, очевидно, следует справедливость при всех 1, р ) ! ) 0 неравенств (1 + с 1т) ]! ил+ ' ! [! ~ ((! + с ! т) ~~ ~ ]! ил ! !! + с»т (1 + с т) Р ° !п ах [! !р" [!. л Суммируя левые и правые части этих неравенств по 1' = О, 1, ..., р почленно и отбрасывая одинаковые слагаемые в левой и правой частях, можно написать ]]ил+1]]((1+ с т)"+']]иь]]+ с тр(! + с т)'!пах!!!р" ]]( л ((1+ с т)е'т ]]й]]+ с»Те'т!пах!! !р" [](~ сопз1 ![!!»1][я». л ппиемы нсследовлнии гстоич1!вости !гл. а гтз Отсюда, ввиду произвольности р=О, 1, ..., !и — 1 — 1, следует устойчивость.
Для доказательства неравенства (44) воспользуемся интегральным представлением решения (37) и рекуррентным соотношением (38), откуда ПЬ+'= ~ И+'(а)Е а"'йа= ! !/2п Г = — ~ Л(и)17е(п)е|атг(п-(- ~ . е а'"с!а. (45) т Г Ф~(а) /2п Ь~Е-'а+ Ьо+ Ь-~е!а Таким образом, сеточная функция (и~+') аргумента т представлена в виде суммы двух сеточных функций, записанных в виде интегралов по параметру со. В силу равенства Парсеваля, для норм этих двух сеточных функций можно написать оп ! ГГ, 1Ь Л(а)Уь(а)е'а г!а = Ц1Л(а) 0е(а) 1'о!а) (( о оп 1'6 е~гпах1Л(а)1~~ ! 0~(а) !ог(а~ ~((1+ с т) ! ие 11; а о еп е з/2п .! Ь!е оа+ Ьо+ Ь ~е!» — В ..-::.",.. ~'"1. <, к 1! ~Ф'()~'е ] гп!п1Ь!е '«+ Ьо+ Ь-~е'а1 а о — 11ф 11(тс,шах!1 р"!1. ппп1 Ь,е ~~+ Ь, + Ь,е'а1 а а В силу двух последних оценок для норм слагаемых, входящих в правую часть равенства (45), получаем оценку (44), завершающую доказательство.
йш) спектральным лнллнз рлзностноп злдлчи коши 237 Можно показать, что если за норму принять не (40), а равенство))ип)(= знр(и" ~, то спектральный признак (Л(а) ! ( 1 (- + с~т перестанет быть достаточным признаком устойчивости. Для разностной задачи Коши в случае системы уравнений этот признак также лишь необходимый признак устойчивости. Интегральным представление»~ (37) решения разностной задачи Коши можно воспользоваться не только для исследования устойчивости, но и для выяснения других свойств разностной схемы. Если, например, спектр Л = Л(а) при а чь 0 лежит строго внутри единичного круга, то решения игал = Лп (а) егом, отвечающие а~О, при переходе от слоя к слою гасятся, умножаясь на Л(а). Из формулы (39) видно, что при (Т(т) = р получается сеточная функция, отвечзющая функции Л»(сс)ф(а), которая сосредоточена на длинных волнах (а 0). Разностная схема «выглажнвает» начальные данные.
б. Выглаживанне разностного решения как действие аппрокснмационной вязкости. Л(ы видели, что спектр разностной схемы г«ы ит и»«+! ит и+1 и = О, т = О, Ш 1, ... т а р=О, 1,..., (Тут) — 1,. и =ф(х ), я=О, -~-1, ..., аппроксимирующей задачу Коши — — — = О, — «о < х < со, 0 < Г < Т, ди ди д! дх (47) и (х, 0) = ф (х) — ао < х < со, ди ди д'и — р д! дх дх' (48), есть окружность Л = 1 — г+ гег», 0 < а < 2п. При г < 1 каждой точке а Ф 0 соответствует точка спектра Л(а), )Л(сс) ( < 1. Это значит, что каждая гармоника и,„= е, заданная в качестве начальных данных, гас гаь»а сится, умножаясь на Л(сс), при каждом переходе со слоя на слой; решение с течением времени выглаживается, так как при малых аа (низкочастотные гармоники) погашение слабее.
Отметим, что решение дифференциальной задачи (47) и(х,!)= ф(х+ Г) с течением времени не выглаживается — оно получается из начальных данных сдвигом влево. При этом решение задачи (47), отвечающее начальному >словию и (х, 0) = е и". есть и (х, 1) = еГ"»его" н множитель его» по модулю равен единице. Вычислительный эффект выглажнвания решения, имеющий место при использовании разностной схемы (4б), можно понимать как проявление пппроксимиционной вязкости, присущей этой схеме. Объясним, что мы понилгаем под аппроксимационной вязди ди костью. Если уравнение — — — = 0 считать простейшей моделью уравнед! дх ний движения невязкого газа, то уравнение 238 ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВИНИЙ УСТОИЧИВОСТИ <Гл. э естественно считать моделью уравнений движения вязкого газа с вязкостью, равной р ) О, выглаживающей решение.
При начальном условии и(х,О) = =. е решение уравнения (48) имеет вид <ак и (х, 1) = е во<тле<ели» = )л (а 1) е<о" При р = 0(т) и 1 = т гасящий гармонику е<о" множитель л(а, 1) мои«но записать так: алтл )л (а, т) = ! — Иа«т + <ат — — + о <т'). 2 (49) Будем предполагать, что решение и'"! разностной задачи можно доопределить вне сетки так, чтобы полученная при этом гладкая функция и<и<(х,<) была равнол<ерно по и ограничена вместе со своил<и производными до четвертого порядка. Тогда в точках сетки (х,1), пользуясь формулой Тейлора, можно написать 0 и< <(х, 1+ т) — и<И<(х, 1) и<И! (х+ и, 1) — ино(х, 1) т и ди< <(х, Ь ди<и<(х, 1) 'т д и<и<(х, 1< +— д1 дх 2 д<« И д и<И! (х, 1) — + И'в<и! (х, 1).
(50) Здесь и далее е,, в~», ез — равнол<ерно по И ограниченные вместе со <и! <и! <и! своими производными функции. Из равенства (50) следует, в частности, <и«и! ди ди + <и! д< дх Дифференцируя это тождество по 1, получим д « ! д < ди< ! 1 де<и! д и< ! де<и! де<и! дти<и! — — — )+и — ' +и — '+и='= — +ие", <и! дР дх д1 ) д1 дх' дх д1 дх' Подставляя выражение для дли<л<<д<л в равенство (50) и отбрасывая члены второго порядка малости, получим дифференциальное уравнение вида (48): д(7<И! д(<<И< И вЂ” т дзЦ<И! д1 дх 2 длл которое будем рассматривать не на сетке, а всюду при 1 ) О. Таким образом, разностное уравнение (46) оказалось в «ос<левин»< совпадающим» с дифференциальным приближение»« (5!), которое есть уравнение вида (48) с малой вязкостью р = (И вЂ” т)(2.
Эта вязкость носит название иппронсимиционной, так как появилась в результате аппроксимации задачи (47) разностной задачей (46). Дифференциальное уравнение (5!) сглаживает начальные данные в основном так же, как схема (46). Действительно, если 4/(х,О) = е<и", то к моменту 1 = т эта гармоника, в соответствии с форл<улой (49), умножится на И вЂ” т ' а«т' и 7»(а, т) = ! — а т+1ат — — + о(т )= ! + йтт — — а т+ о(т»). (52) 2 2 2 $25! СНБХТРАЛЬНЫИ АНАЛИЗ РАЗНОСТНОИ ЗАДАЧИ КОВИ 239 Прн йж=а""(х„„=егеж по разностной схеме (46) получим в момент 1 = т ту же гармонику, умноженную на множитель а'Ьт ч )С (а) = 1 — г+ ге!па = 1 — г+ г (1 + !ад — — ) + о (Ьт) 2 г Ь = 1 + 1ат — — а'с + 0 (т') 2 который совпадает с множителем (52) с точностью до беснонечно малых второго относительно т (нлн й) порядка.
ЗАДАЧИ 1. При канин значениях параметра о ) 0 разностная схема, аппроксимирующая задачу Коши для уравнения теплопроводности ир~ — ир М Р! а и +,— 2и +и, и +! — 2и +и Р+! Р+! Р+! Р Р Р !2 + (1 а) 62 ие задано, т = О, -1- 1 удовлетворяет спектральному признаку устойчивости Неймана при любом г = т/йзу 2. Удовлетворяет ли спектральному признаку устойчивости следующая разностиая схема: !р (хяь 1р), р ~ 1, и я+' — ил и!и ил! и +,— 2ир+и 1 Р Р Р н е =зр т=О, Ш1 и где зр~~~=и(х,О)+т ' и(х,О)+т т' =зр(х )+тгр" (х )? ди (х, 0) дти (х, 0) Эта разностная схема аппраксимирует задачу Коши (19) для уравнения теплопроводности с порядком 0(т' + 6'). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
