Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Эти три значения вычисляются затем через пять значений на предыдущем слое ! = (Л/ — 2)т и т. д. В конечном счете ио вычисляется, и очевидно, через значения им= Ф(тй), т = — М. — Л!+ 1, ..., — 1, О, 1, о ..., У, в точках сетки, принадлежащих отрезку — !/г ( х (1/г на оси Ох Если г = т/6 ( 1, то этот отрезок содержит точку х = 1, значение в которой определяет и(0, 1), и[0, 1) = 4Р(1).
Условие Куранта, Фридрихса и Леви при г( 1 выполнейо. ЗАДАЧИ 1. Решение уравнения теплопроводности и4 = и , †( х ( ос, ! ) О, имеет вид !а — Ьч ч! 1 Г 1 Может ли существовать сходящаяся разностная схема, аппроксимирующая эту задачу и име|ощая вид ип+' — ил т т т = Л (а-гит-г+ а-!и~-!+ "ои + а!и .н+ "ги +г). где а! — некоторые постоянные, если т = 6? 2. Система уравнений акустики до дш — + — =О, д! дк !.ло, — оо(х(со дш ди — + — О, д! дх о(х,О)=~р(х), ш(х,О)=4)(х) пРиемы пОстрОения РАзностных схем (Гл. т '22О .имеет решение вида !р (х — !) + ф(х — /)+ !р(х + !) — ф(х+ !) ° ! в(х, !) 2 <р (х — !) + ф(х — !) — !р (х + !) + ф (х+ !) 2 ! в (х. !) Может ли оказаться сходящейся разиостная схема вида От аж Ва!+! аз!а Р+! Р т + Ь О Р)О, 1 = О, ~ ), ....
! Ват! а Р— вж о„,+! — ва! + =О Ь ва =ф(х,„), в =зр(хв)) Сопоставьте области влияния начальных данных для разностной ренциальной задач. 3. Задача Коши ди ди — — — =О, /)О, — ао<х<ао, д! дх и диффе ц (х О) = е'ак — ао < Х < ао. имеет решение и (х !) стасе!ах Соответствующая разностная схема цР! ! цР цР цР— =О, Р=О, 1 т й а юаат Iа имеет решение Р [) + !аа)Р !ааж которое при р = !/т, ю = х/Ь стремится к решению дифференциальной задачи при й- О, каково бы ни было фиксированное т т//! Между тем прн т ) 1 разностная схема не удовлетворяет условию Куранта, Фридрихса н Леви, необходимому для сходимости.
Объясните кажущийся парадокс. ГЛАВА 8 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 5 25. Спектральный анализ разностной задачи Коши Мы изложим широко применяемый способ Неймана исследования разностных задач с начальными данными. В этом параграфе ограничимся случаем разностпой задачи Коши,с постоянными коэффициентами, а в $26 частично распространим результаты на случай переменных коэффициентов. 1. Устойчивость по начальным данным. Простейшим примером разностной задачи Коши может служить неоднократно встречавшаяся выше задача Положив <р", р = О 1, ° ° [Т(г) — 1, 1'"' = ф, пг=О, ~1, запишем задачу (1) в форме Е иглг = [(м и Определим нормы 11 и~иг 1~о, и 1[ [~иг [1г„равенствами 1 икп ~[п„— — гпах гпах [и' [, 1~ )~иг [[ли — — гпах [ гР [+ шах [ рР [, Р$ м м,к Тогда условие устойчивости задачи (2) 1[и~И~1[пи ~ (с 1 Ггиг[[гл (2) (3) примет вид гпах[и" [<с~гпах[гР 1(+ шахг(чг" [], Р =О, 1, .' ., [ТИ, (4) ~.ип(ымь т И ~' ' ' ' ' ' (1) — =грг', р ==-О, 1, ..., [Т/х1 — 1, и' =гр, пг=О, ~ 1, ...
пгивмы г1сследовлг1гги тстоичивости !гл, ь 222 удовлетворяло условию гпах [ил [(сгпах[ич [, р=О, 1, ..., [Т[т), (6) 1Б м при произвольной ограниченной функции и"„ = ф . Свойство (6), необходимое для устойчивости (4) задачи (1), называют устойчивостью задачи (1) относительно возмущения начальных данных. Оно означает, что возмущение(и'), внесенное в начальные данные задачи (!), вызовет возмущение (ил) решения задачи (!), которое в силу (6) не более чем в с раз превосходит возмущение начальных данных, причем с не зависит от й.
2. Необходимое спектральное условие устойчивости. Для устойчивости задачи Коши (1) по начальным данным необходимо, чтобы условие (6) выполнялось, в частности, если (иь') есть какая-нибудь гармоника и" =е'", т=О, ~1, ..., Ф где а — вещественный параметр. Но решение задачи (5) при начальном условии (7) имеет вид и" =Л~е"", (8) где Л=Л(а) определяется путем подстановки выражения (8) в однородное разностное уравнение задачи (5): Л (а) =! — г + тег", г = — = сопя(. т л (9) Для решения (8) справедливо равенство гпах [ ие [ =1 Л (а) [я гпах ! и'„' [.
м РФ Поэтому для выполнения условия (6) необходимо, чтобы при всех вещественных а выполнялось неравенство 1 Л (а) [Я ( с, р = О, 1, ..., [Т/т), или [Л(а) [~ (1+ с1т, (10) где с не зависит от а (и от т = г1г, г = сопз1). Условие (4) должно выполняться при произвольных (ф ) и (~рч). В частности, для устойчивости необходимо, чтобы оно выполнялось при произвольных (ф,„) и грл = — О, т.
е. чтобы решение задачи — р = О, 1, ..., [Т[т) — 1, (5) и' =ф т= О, ~1, ч м! спектрхльиып хихлиз рхзностиоп зхдхчи коши 22З где с~ — некоторая постоянная, не зависящая от а и т. Это и есть необходимое спектральное условие Неймана применительно к рассматриваемому примеру. Спектральным оно называется по следующей причине. Существование решения вида (8) показывает, что гармоника (е" ) является собственной функцией оператора перехода ир+' =(1 — г) ир + гир „т = О, ~ 1, который в силу разностного уравнения (5) ставит в соответствие сеточной функции (и"), т = О, .+1, ..., определенной на слое !р = Рт сетки, сеточнУю фУнкцию (иее'), т= О, ~ 1, ..., опРеделенную на слое !ре1 = (р+ 1)т. Число ),(а) = 1 — г+ ге" является соответствующим этой гармонике (е' ) собственным числом оператора перехода. Линия, которую пробегает точка Х(а) на комплексной плоскости, когда а пробегает вещественную ось, вся состоит из собственных значений и является спектром оператора перехода.
Таким образом, необходимое условие устой ч и васс т и (10) можно сформулировать так: спектр оператора перехода, соответствующего разностиому уравнению задачи (5), должен лежать в круге радиуса ! + с1т иа комплексной плоскости. В нашем примере спектр (9) не зависит от т. Поэтому условие (10) равносильно требованию, чтобы спектр Х(а) лежал в единичном круге (11) ! А (а) 1 ( 1. Воспользуемся сформулированным признаком для анализа )стойчивости задачи (1). Спектр (9) представляет собою окружность с центром в точке 1 — г и радиусом г на комплексной плоскости.
В случае г ( 1 эта у . окружность лежит внутри еди- ох с пичного круга (касаясь его в точ- й ке ), = 1), при г = 1 совпадает с единичной окружностью, а при г ) 1 лежит вие единичного Рис. 20. круга (рис. 20). Соответственно необходимое условие устойчивости (11) выполнено при г(1 и не выполнено при г ) 1. В п. 3 5 21 мы исследовали рассматриваемую разностную схему и показали, что при г ( 1 оиа устойчива, а при г ) 1 неустойчива. Таким образом, необходимое условие устойчивости Неймана оказалось в данном случае достаточно чувствительным, чтобы в точности отделить случай устойчивости от случая неустойчивости.
224 пРиемы исследования устойчивости [Гл. 8 В общем случае задачи Коши для разностных уравнений и систем разностных уравнений необходимый спектральный признак устойчивости Неймана состоит в том, что спектр Л = = Л(а, А) разностной задачи при всех достаточно малых Ь должен лежать в круге 1Л1~ (1+ а (12) на комплексной плоскости, как бы мало ни было заранее выбранное положительное число е. Заметим, что если для рассматриваемой разностной задачи спектр окажется не зависящим от Ь (и от т), то условие (12) равносильно требованию, чтобы спектр Л = Л(а, 6) = Л(а) лекал в единичном круге |Л(а)~<1, (12') Под спектром разиостной задачи в условии (!2) понимается совокупность всех Л = Л(а, и), при которых соответствующее однородное разиостное уравнение (или система уравнений) имеет решение вида ио = [Л(а, Г1)]о(иое'о'о) т = О, ~ 1, ..., (13) П р и м е р 1. Рассмотрим разностную схему „~Н.! РО „о оо — (х 1) и",„= ф(х ), р=О, 1, ..., (Т(т) — 1, т =.
О, ~ 1, ... где ио — число (единица), если речь идет о скалярном разностиом уравнении, и числовой вектор, если речь идет о векторном разностном уравнении, т. е. о системе скалярных разностных уравнений. Если необходимое условие Неймана (12) не выполнено, то ни при каком разумном выборе норм нельзя озкндать устойчивости, а в случае его выполнения можно надеяться, что при некотором разумном выборе норм устойчивость имеет место. Аналогичный вопрос о независимости спектрального признака устойчивости от выбора норм мы уже оосуждали в связи с разностными схемами для обыкновенных дифференциальных уравнений в 3 !5.
3. Примеры. Рассмотрим ряд интересных разностиых задач Коши и применим для анализа их устойчивости спектральный признак Неймана. Начнем с разностных схем, аппроксимирующих дифференциальную задачу Коши — — — (, 1), — «, О<1<т,1 дг дх (14) и(х, О)=ф(х), — оо<х<оо, ! Подставляя выражение вида (8) в соответствуюшее однородное разностное уравнение, после простых преобразований получим Л(а) = 1+ г — ге-". В силу этой формулы спектр представляет собою окруж- ность с центром в точке 1+ г и радиусом г (рис.
21). Ни прн каком г спектр не лежит в единичном круге. Условие устойчивости (12') всегда не выполнено. ее В $ 24 уже было установлено, что прн любом г не выполнено необходимое условие сходимости (и устойчивости) Куранта, Фридрихса и Леви, П р и м е р 2 Рассмотрим следуюшую разностную схему цо+~ цн не ОФ 2л'( -' 2'г л Рг' (15) цо — ф не гн' о Р ц,н~, — ц,н 2Л аппрокснмируюшую задачу (14) со вторым порядком относительно Ь ($22).
Для нее Л = Л(а) определяется из уравнения Л вЂ” ! е!а — е 'а т — — — — (е2а — 2 + е еа) = б. т 2Л Обозначим по-прежнему г = т/Ь. Заметив, что ееа е-еа 2! = з!па, е2а 2 -1- е еа з(п —, 2 а 2* получим Л = 1+ 1гз(па — 2г'з1п' —, 2 ' 2а 2 ' ! Л (а) !' = (1 — 2г2 з!Н2 — ) + ге з!Н2 а. (16) После простых преобразований найдем 1 — ! Л !' = 4гц з!пе — (1 — г2) . 2 (17) Условие Неймана выполнено, если правая часть неотрицатель- па, г ( 1, и не выполнено при г ) 1. 3 С.
К. Гонуное, В. С, гнбеньнна 5 2я спектРлльный лнАлиз РлзнОстнОН злдлчи кОши 225 ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВЛИИЙ УСТОЙЧИВОСТИ !Гл. е П р и м е р 3, Рассмотрим следующую разностную схему ии+1 Р а Р ит ит " Н-~ / иина т за — Р (18) иа ф(х ) для той же задачи Коши (!4). Подставляя в уравнение (!8) выражение (8), после сокращений получим уравнение для Х: Л вЂ” ! е~а — е 1а =0 2Л /е/л о О / Ьт или — оо <х<оо, 0</<Т, — оо < х < оо. Х(а) =! +1 ( — ейп а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
