Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Это требование можно записать такими равенствами: ар+аз+а,+а г =О, ) (азг + аг + а-г) И = О, (аогг + а, + а,) И' = О, ! (16) Решение системы (!6) определено с точностью до множителя. Дополним эту систему уравнением аогИ = 1, (17) которое выражает естественное, хотя и не необходимое ограничение на выбор оператора Рг: коэффициент при (йи) в выражении Р»Ли равен единице.
В правые части равенств (6), (7) можно было бы добавить произвольные слагаемые Ог(йз), Ог(И'), 0»(Иг), 0»(йз), но мы считаем их равными нулю, как условились. Решая систему уравнений (!6), (17), получаем коэффициенты а', а г, аг, аг, которые были уже нами приведены: ! г 1 — г 1+г гИ И ' ' 2И ' ' 2И 1 дз гИ ' При этих значениях коэффициентов остаточный член равенства (15) гИ гИ йг, (и)а = йи -1- — (йи)г + — (Ли)„+ 0 (изгой', агйз.
а —,И') =— 2 2 Р„йи+ 0(из зйз д,йз д Иг! как бы мы ни выбрали оператор Р». Справедливость последнего утверждении доказывается тем, что среди функций и(х, Г) существуют такие, для которых и, и, и»ю Ли, (Ли) „, (йи) г принимают в любой фиксированной точке (хз, Г,) любые, независимые друг от друга, наперед заданные значения и, и„, и„х о о о "хг (Ли)о, (йи)о, (Ли)о. Такой функцией является, например, многочлен удовлетворяет оценке 1 О (алглйл, а ~аз, а,йл) 1 м, А (глаз -1- Лл) где А — некоторая постоянная, зависящая только от ллаксимума абсолютных величин производных третьего порядка функции и(х,г). Это можно записать также в форме )Лл1и1и — Ралр),"„~ (А(г'+!) Л-". Итак, мы установили, что с точностью до несушествениых изменений только одна разностная схема ваиш' =1 П-~- ! П ипл иЛ иП пл+! Лл — 1 т и" +, — 2и" + и" 2» [9 2 (фг+ фа)] С-лт (17.) 1 и,„=- ф(шй) ч среди всех разностных схем вида а лн а ~л~ + а ~им 1+ азию + а1им<.л = Рагр 1~, Ваи'ь' = ио„= ф (ша) аппраксимирует дифференциальную краевую задачу (4) на решении и(х,() последней со вторым порядком относительно а.
Во всех рассмотренных до сих пор в этой главе примерах разностных схем Ьпи)ш =11п) оператор 1.ь который отображает пространство К, в пространствоРя, задается явными формулами. Но ЧаСтО ОКаЗЫВаЮтСЯ ПОЛЕЗНЫМИ Раэ- Фг Гу' постные схемы, в которых оператор Ь описывается тем или иным более сложным образом. В даль- АУЛ нейшем мы еще встретимся с задачамн, где такие схемы возникают естественным образом. Изложенные приемы построения разностных схем остаются применимыми и в случае задач с пере- Рис. 14.
менными коэффициентами, в случае нелинейных задач, в случае сеток с переменным шагом Например, в случае неравномерной сетки, изображенной на рис. 14, для замены производных, входящих в дифференциальное уравнение и„„+ увм = сл(к, у), разностными отношениями с целью построения разностной схемы можно воспользоваться л'о Уг' ам) постноаниа лппвокснмннмюшнх пдзностных схем 199 пРиемы пог»Рогиия РАзиогтиых схем (гл. г 200 формулами и (хт+ь Ул) — и (хт Чл) и (хт, Уп) — и (хт-ь Ул) Лхт Лхт Лхт+ Лхт + 2 + — (Лх — Лх,)и,„+ О[(Лх + Лх,)е], и(хт уп+~) — и(хт,ул) и(хт ул) — и(хт, ул-1) ЛУл д'и ЛУл-~ + ЛУл + ЛУл-~ 2 + — (Лу„— Лул,) + О ((Лул + Лул 1) ), отбросив в них остаточные члены. Указанные формулы проверяются с помощью разложений Тейлора (2).
Методом неопределенных коэффициентов можно убедиться в единственности этих формул: с точностью до несущественного произвола есть только один набор коэффициентов а ь а,, аи при котором для любой достаточно гладкой функции и(х, () имеет место формула д'и (хт ул) = а,и (х „ул) + а,и (х, ул) + + а,и (х л ь ул) + О [гпах (Лх „Лх )) с остаточным членом первого порядка малости относительно гпах[Лх -ь Лх 1 Формулы вида д и (ХХ„У ) =а-,и(Х мм ул) + аии(Хт, ул) + -(- а,и(хт+ь ул) + О ( [щах (Лх, -~ Лх )1') с остаточным членом второго порядка малости при Лхл, 1 Ф чл Лх не существует.
Для более точной замены производной разностным отношением здесь необходимо привлечь более трех точек сетки. 3. Схемы с пересчетом, или схемы предиктор-корректор. При построении разностных схем, аппроксимируюгцих нестационарные задачи, может быть использована та же идея, которая лежит в основе конструкции схсм Рунге — Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений,— идея пересчета.
Пересчет позволяет повысить порядок аппроксимации, получаемый по исходной схеме, не использующей пересчета. Кроме того, в случае квазилинейных дифференциальных уравнений пересчет дает дополнительную возможность получения так называемых дивергентных схем, о которых будет идти речь в $ 30. З гг! построение аппроксимпрхющнх рхзностных схем 201 Напомним идею пересчета на примере простейшей из схем Рунге — Кутта численного решения задачи Коши для уравнения (18) Если значение ур в точке (р = рт уже вычислено, то для вычисления ур+1 находим предварительно вспомогательную величину у чу пользуясь простейшей схемой Эйлера (схема «предиктор») г)9) а затем осуществляем корректирующий пересчет по схеме ар.~.1 — р р ~ (~р+ч*' ур.р'ь)' (20) Вспомогательная величина у,, найденная по схеме первого порядка точности, позволяет приближенно найти угловой коэффициент интегральной кривой в середине отрезка [(р,(р~,] и получить ур„1 по формуле (20) с большей точностью, чем это было бы по схеме Эйлера (19).
Мы уже отмечали в п. 4 $ !9, что все соображения остаются в силе, если у, у, у ~, будут конечномерными векторами, а ) — вектор-фуикцией. 1)о можно пойти и дальше, а именно считать у, ур, урна элементами функционального пространства, а [ оператором в этом пространстве. Например, задачу Коши — "+А — =О, — оо<х<оо, 0<1<Т, ) ) (21) и (х, 0) = гр (х), — оо < х < оо, А=сопя(, можно считать задачей вида (18), если положить у(1) = и(х,(), так что при каждом 1 под у надо понимать функд цию аргумента х, а под операцией [ понимать оператор — А —.
дх ' Приведем пример разностной схемы с пересчетом для задачи (21). П р и м е р. Пусть сеточная функция иР = (и" ), т = О, ~1,..., при данном р уже вычислена. Найдем вспомогательную сеточную.функцию йР+П =(й,'„"', ), т = О, ~-1, ..., отнесенную р моменту времени 1ррь=(р+'/г)т и к точкам х„.рч, =(т+ ~/г)й, воспользовавшись следующей схемой первого порядка точности: + А +' =О, т=О, ~1, ... (22) 202 11РИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ (гл.
т Затем осуществим коррекцию и найдем ин+' с помощью схемы +А ~ ", ~' =О, пт=О, ~1, ... (23) Исключая йя+1* из уравнений (22), (23), получим схему ин~ — и„, и„,+1 — и,„,, т и„, 1 — 2и,„+ и,н и+1 Р Р Р Р з Р т + 2Л 2 IИ ' (24) и' =зР(х,„), т=О, ~1, ...; р=О, 1, ..., (1!Т) — 1. Эта схема при А = — 1 совпадает со схемой (!7').
Случай А Ф 1 несущественно отличается от разобранного. Схема (24), а значит, и схема с пересчетом (22), (23) имеют второй порядок аппроксимации по Л; т = г)з, г = сопз1. 4. О других приемах. Назовем еще два весьма важных нщнроко применяемых приема построения разностных схем. Первый из них основан на использовании записи дифференциального уравнения, для которого строится разностная схема, в форме кинтегрального закона сохранения». Необходимость в использовании этого приема естественным образом возникает при расчете так называемых обобщенных решений, не обладающих достаточным числом производных или даже вообще разрывных.
Возникающие разностные схемы носят название дивергентных нли консервативных. Способ построения дивергентных схем излагается в главе 9. Второй прием основан на использовании той или иной вариационной постановки дифференциальной краевой задачи, решение которой надо вычислить. Этот прием часто называют методом конечных элементов, а возникающие разностные схемы — вариационно-разностными илн проекционно-разностными.
Этот прием позволяет строить разностные схемы на нерегулярных сетках, более мелких там, где решение меняется более быстро. Вариационно-разностным схемам посвящена гл. !2. ЗАДАЧИ Ь Для решения задачи Коши + — =ш(х, 1), — со(х(ео 0(1(Т, ди ди д! дх и(х,о) 0(х), — ео<х<ае воспользоваться сеткой х = ть, !ч = ит, Ь = т н построить разностнунз схему вада Как надо опРеделить и, и, цо, а! и йгт, чтобы з порядка йг? 2. Для задачи Коши ди Г ди ди Х вЂ” — — + — =гр(х у,!), — оо< д! Хдх ду ) и(х,у,О)=ф(х,у), — < воспользоваться сеткой х = тй, у = ий, (р —— аппроксимирующую ее разностную схему.
3. Для задачи о теплопроводности ди дги — — — оо < х < аа, дт дхг ' имела место аппроксимация х, у < оо, О < Г < Т, х.у(ао рт и построить какую-либо О~гц Т, (25) и (х, О) = ф (х), — оо < х < ао рассмо~реть разностную схему л!! цл цл+! 2ца+! 1 л+! — и +(1 о) т — ! ш+ т+! йг из =ф(тй), где о — параметр, и" — значение искомой функции в точке (х,„= тй, ! = пт) сетки. а) Показать, что при любом о ил!ест место аппроксимация на гладком решении и(х, !) с порядком 0(т+ Лг), б) Подобрать н так, чтобы аппроксимация была 0(та+ й'). в) Связав шаги сетки соотношением т/Ьг = г =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
