Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 31
Текст из файла (страница 31)
сопз(, подобрать затем и так, чтобы получить аппроксимацию порядка йл. г) При и = 0 подобрать число г = т(йг так, чтобы аппроксимацин имела порядок А'. д) Можно ли за счет выбора и прп фикгнрованноч г = — тгйг добиться того, чтобы аппроксимация на любом гладком решении была парадна выше четвертого? 4. Для задачи о теплопроводности ди д Г ди 1 — = — [и(х,!) — 2г, — ао<х<оа, 0<г<Т, д! дх ь ' дх3' ц(х, 0) = ф(х), — аа < х ( ао, пользуясь сеткой х = тй, ! ит, построить аппроксимирующую ее раз. постную схему. 5.
Для нелинейной задачи о теплопроводности ди д Г ди Ч вЂ” = — [и(и) — д1, — оо<х<оо, 0<г<Т, дГ дх 1 дх )' и (х, 0) = ф (х), — аа < Х < оо, пользуясь сеткой х, = тй, Г = пт, построить аппроксимиьпующую ее явную разностную схему. Выписать формулы для вычисления и! ! по этой схеме. 6. ДОКаэатЬ, Чта Прн ОГраНИЧЕННОй СЕтОЧНОй фуНКцИИ ир = (ито) СУШЕ- ствУет и единственна огРаниченнаЯ сеточнаЯ фУнкциа ир~~ = (цто+ У, опРедер+! ляемая разностной схемой ил+' — ио ип+' — ир+' — О, т=О, ~1,... т 2Ь 6221 ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ РАЗНОСТНЬгХ СХЕМ 203 ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РЛЗНОСТНЫХ СХЕМ (гл. т 204 7.
Докааати. что схелга с пересчетол» для задачи (25), в которой значения г РЕ»й» решеиия <йа„') иа громежуточ»»ок» слое определяются по неявной схеме порядка аппроксимапии 0(т+ й») йРЧ.Г» 2йят'Ь 1 йРЧ»l» о, я=о. ~1, й» йя+ Г* — ил щ и» т/2 а решение <и~+') определяется по схеме и "+' — и йя++(' — 2йд+»» + ип+" й» т л» обладает аппроксимапией порядка 0(т'+й») иа гладком решеиии и 2 23. Примеры конструирования граничных условий при построении разностных схем Рассмотренные в $ 22 примеры были подобраны так, чтобы не возникало вопросов относительно построения разностных краевых условий.
Их без труда удавалось получить из дифференциальных граничных условий так, чтобы разностные условия при подстановке в них [и)л выполнялись точно. Здесь мы рассмотрим более сложные в этом смысле при»меры. Пример 1. Длязадачи и т — и„=-»р(х, 1), и (х, 0) = тр(х) при построении разностной схемы воспользуемся разностным уравнением ми+1 „ -1 им ~»и ""',„" -' — р(шй, .), (2) и=1, 2, ...; Па=О, ~1, ...; Т=г»т.
Чтобы вычислить решение уравнения (2), надо задать не только и', ие тр (птй), пт = О, (з) и(тй, т) =и(тй, 0) + тат(тй, 0)+ 0(т'). но также и', т=О, й-1, ... Тогда из разностного уравнения (2) при и = 1, 2, ... можно последовательно вычислить и"-, т = О, -+1, ..., затем иа, пт = О, +1, ..., и так далее. Значения и' должны быть заданы близкими к ПРИМЕРЫ КОИСТРУИРОГЗИИЯ ГРОИИЧИЫХ УСЛОВИЙ 205 % 231 Поскольку и, = и„+ Ли, Ли — = и, — и„= ~р(х, 1), и(х, 0) = ф(х), то и (тй, т) = и (тй, 0) + т (и„+ Ли] „+ О (т') = ~=о =ф(тЬ)+т(ф'(тй) + <р(тй, 0)]+ 0(то).
Таким образом, отбрасывая член 0(т'), можно положить и' = ф(тЬ) + т(ф (тй) (-~р(тй, О)]. Ясно, что разностная схема (4) от о-1 О\ П$ ' — ~р(тй, ит), 2т и" = ф(тй), и',„= ф (тй) + т [чг (тп) + гр(тй, 0)] йоиы! = (5) аппроксимирует дифференциальную краевую задачу (1) с порядком 6'. Нетривиальность этой схемы состоит в том, что разностное уравнение (2) имеет второй порядок по 1, в то время как дифференциальное (1) — первый. Поэтому потребовалось конструировать второе разностное краевое условие (4), не возникающее непосредственно из заданного краевого условия для дифференциальной задачи. Приведем другой пример, в котором построение разностных граничных условий нсочевндио. П р и м е р 2. Рассмотрим дифференциальную краевую задачу и,— и„=<р(х, Е), 0<х<1, 0<1<Т, Т.и= и(0, х)=фо(х), 0<х<1, (6) и (й 1) = ф, (1), 0 < 1 < Т. Любое решение дифференциального уравнения задачи (6) одно- значно определяется, если известно его значение в одной точке на каждой из прямых х-1-1= сопз1.
Действительно, вдоль та- кой прямой о!и ох — = ие + и, — „= и~ — и„= ~р (х, 1), а! .о а! так что и(х,1) является интегралом вдоль прямой х+ 1= сопз( от ф(х,1). Значение постоянной интегрирования определяется по величине и в заданной точке. ИРиемы постРОшсия РАзностсйых схем сгл. 7 На рис. 15 изображен прямоугольник 0 < х < 1, 0 < 1 < Т, в котором мы собираемся искать решение, и нанесено семейство параллельных прямых к+1= сопз(. Каждая из этих прямых пересекается в одной точке либо с отрезком 0 < х < 1 оси Ок, либо ) с отрезком 0 < 1 < Т прямой х = = 1, где задано и(к,т).
Таким образом, задача (6) имеет единственное решение. Приступим к конструированию разиостной схемы для вычисления решения задачи (6). Зададим л так, чтобы Мй = 1, и положим т = 22 Д г7Т' = гй, где М вЂ” целое число, г = = сопз(. В качестве сетки ЬА используем точки (тл, лт), сл = =О, 1, ..., М; л=О, 1, ...,(Т)т). Точкам )9А, не лежащим на верхней и боковых границах прямоугольника О, поставим в соответствие уравнение (й) т ип+с ип сп сп и и и и и и,— ип, т и +,— 2и +и 2ь 2 а' где Ч" =)ср( г)+ (ф +ср )1 (8) С-пп Получение этого уравнения было подробно описано в $22.
Значения и' и и" зададим равенствами и" = ф,(лсл), лс = О, 1, ..., сИ вЂ” 1, ип =АРс(лт), л ='О, 1„..., йс, йс =(Т)т), ) (9) ' =чс(0, лт), и=0, 1„..., ссс — 1. (1О) Это условие возникает при замене в равенстве ди1сС С) ди (к, О) дС вЂ” =ср О 1) дк которые аналогичны граничным условиям для рассматриваемой дифференциальной задачи. Но равенств (9) недостаточно, чтобы определить решение и" всюду на сАА. Не удается определить значения и,"+' на левой границе прямоугольника.
Поэтому дополним разностные граничные условия следующим: $23) ПРИМЕРЫ КОНСТРУИРОВЛИИЯ ГРЛ)ШЧНЫХ УСЛОВИГО 2от являющемся следствием заданного дифференциального уравнения (6), производных соответствующими разностными отношениями. Итак, мы построили разностную схему й„и)л) = 1)л)! ил+! ци /л и! а2и+л ци цл "т+! "т-! 2Ь 2 Ьо 2, ..., М вЂ” !1 'и = О, 1, ..., Л/ — 1, 1, ..., М вЂ” 1, 1, ..., Л), т =1, У„„ц)л) = ( И', и! = О, ии, т=О, ц+ — ц а-)-! л л и о о ! о ц ц и = О, 1, ..., Лà — 1, ~~+-'2" (~г+ ~4 ! ла 1)ь) = ! фо(тй), т = О, 1, ..., М вЂ” 1, ф! (пт), л = О, 1,, Л', )р(О, пт), л =О, 1, ..., Л) — 1. Выясним порядок аппроксимации.
С учетом рассмотрений $22 ясно, что невязка 61!"~, возникающая при подстановке [и)ц в разностную схему, 6лги)л = ))!')+ 6))л), в предположении доста- точной гладкости решения и(х, Г) имеет вид ! О и (Ь') = О (62), т = 1, 2, ..., М вЂ” 1; п = О, 1, ..., Лà — 1, О, т=О,!,...,М вЂ” 1, йг)л) ( О, п=О, 1,...,Л), —,ии(0, по+2)т)+ — и,„($2й,пт), л=О, 1, ..., Лà — 1, О<6)<1, 0<22<1.
Если ввести в Рл норму, положив для произвольного эле- мента д)л) ~ Ел А" а, !)! )д!Л) ))))Рл = гп ах ! )А" ! )+ гпах ~ а )+ гпах ! )ь" ! )+ гпах ) с" (, й!ГЛ) = юа. л и! л и то ) 61)л)))„„= 0(Ь) и аппроксимация окажется имеющей лишь первый порядок относительно Ь. Из выражения для 61)л) видно, 208 пРиемы постРоения РАЗ7юстных схсл! !Гл. 7 что первый порядок определяется невязкой — ви77+ — и„„= О (7!), возникающей при подстановке [и)А в дополнительное искусственно сконструированное нами граничное условие на левой боковой границе.
Остаточный член в используемой сейчас норме )~ ~)Р„ оценивается только через вторые производные решения, т. е. эта норма пе позволяет воспользоваться прн исследовании граничных условий той гладкостью решения, которая была нужна для получения второго порядка аппроксимации во внутренних точках. Приведем норму )) ))РА, при которой построенная выше разностная схема имеет второй порядок аппрокспмацпи на достаточно гладком решении и(х,1): сл' ! Сл 1п'"!))Р, =Йгпах) сл!+ьшах~ )+ л и! 'а Ьл+! Ьл л(~~! .7! + .*»"!+ *~', ' л .!~:! л л ~л и ил=и Лля этой схемы, как легко видеть, )) Ц7А!))Р„( А (галл + йз), г = т/6. При этом постоянная А оценивается через производные и(х, 1) до третьего порядка включительно.
Учет гладкости в этой норме осуществляется члепамн л+! и ( ~ Ьл+! Читатель, вероятно, заметил, что часть слагаемых в формуле, задающей новую норму в г"7л отличается от соответствующих слагаемых в первой норме множителем )7. Ясно, что если делать такие умножения нэ л и на различные степени Й произвольно, то можно добиться любого порядка аппроксимации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
