Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами — [й((х, у) †] + — [й,(х, у) †] = (р (х, у), (х, у) ~ 0, и 1„= ф(з), где Й((х, у) и ий(х, у) — положительные в прямоугольнике 0 гладкие функции, разностную схему можно построить анало- гично. Используя во внутренних точках сетки 0й замену вырад / ди Х д / ди Х жений — ' ~й — ) и — ~й — ) разностными отношениями дх~ (дх) ду~ йду) по приближенным формулам д Г ди (х, у) д [>г( (х, у) д Л хи(х, у)— 1 (й ( ! й(2 ) и(х+й,у) — и(х, у) = — [(г> й — я(х — Ь/2 у) '" "] > У й — [й,(х, у) ' ]=Л„„и(х, у)—= = — [йг(х у+Ю) й — йе(х у — 1(/2) ах,у Ь РАзностнля гхгмА дчя зллтчп дцрихле ЗОЗ получим разностную схему (2) вида й ',",'ци"'+ йл„"„'и~и' = 1р (тй, пй), (птй, п)т) еи 0~л, ) мм и)г —— зр(з „), (тл, пй) еБ Гл.
Пользуясь формулой Тейлора, можно убедиться в том, что имеется второй порядок аппроксимации. Можно было бы доказать устойчивость построенной схемы, преодолевая некоторые дополнительные трудности, по сравнению с рассмотренными нами при разборе примера. На практике, при решении конкретных задач, обычно ограничиваются обоснованиями принципиального характера на модельных задачах, типа проведенного выше. Конкретные суждения о погрешности получаются, как правило, не из теоретических оценок, а из сравнения между собой результатов расчетов, выполненных на сетках с различными значениями шага Ь.
После того, как разностная краевая задача, аппроксимирующая дифференциальную, построена, нужно еще указать не слишком трудоемкий способ ее решения. Ведь при малом Ь задача (2) есть система скалярных уравнений очень высокого порядка. В разобранном нами примере решение разностных уравнений — сложная и интересная задача, но мы отложим ее рассмотрение до Я 35, 36. ЗЛДЛЧИ 1. Доказать, что если во внутренних точках области 0л функция и1ю удовлетворяет уравнению й и1М) =О, ш, п=1,2,..., М вЂ” 1. (юл, л! Л(Л=1, то либо и!"! прииилгает всюду на 0л одинаковые значения, либо наибольшее и наименьшее значения функции и!"! не достигаются ни в одной внутренней точкесетки0л (усиленный принцип максимума). х.
Если во всех внутренних точках области 0ь выполнено условяе Льи'"! ~ О, причем хотя бы в одной точке неравенство строгое, то и1ь! не достигает своего наибольшего значения нн в одной внутренней точке. 3. Рассмотрим разностную схему Еьи!ю = РА1 вида "ыь 1, и + ньь чь1+ пт — 1, я + наь я-1 — 4нма = ф(пгЛ, лй), (тй, пй) гм 01„ ьлн = ( и „=111(г „) на Г'„О, 1, ч Е, я л ф (пЛ), и=(,..., М вЂ” 1. эллиптические ЭАЛАчи (гл. 1г Эта разностная схема аппроксимирует задачу (рис. 43) дзи дзи — + — <р (х, у) дх' ду' (х.
у)я0, (», у) ~я Риз (х, у) ~ИГ~з1. и(х, у))„и, 4ч(з), ди ~ — = 4ь(з), дл) р~ а) Доказать, что при любых ~р(тЬ, лл), Рис. 43. зр,(з «), фз(пэ) задача тли'л~ = рм имеет единственное решение. б) доказать, что если гр(тИ, пЛ) неотрицательно, а $~(з ) и зрз(пИ) неположительны, то и~л~ неположительно. в) Доказать, что при любых у, зуг и $з имеет место оценка вида шах ! и„щ ! ~ с (шах ! <ртл ! + шах ! 4>, (злщ) ! + шах ! ~рз (пИ) 1), гл, л т,л ела, ла) т гро л ! где с — некоторая постоянная, не зависящая от д Вычислить с.
5 35. Метод установления 1. Идея метода установления. Для вычисления решений мно- гих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматривают последние как резуль- тат установления развивающегося во времени процесса, расчет которого часто оказывается проще, чем прямой расчет равновес- ного состояния. Мы проиллюстрируем применение метода установления при- мером алгоритма для вычисления решения разностной задачи Дирихле Л„„и л+ Л„ни „=~р(хло ул), и ! «ф(з,), аппроксимирующей дифференциальную задачу Дирихле —, + — ", =аз(х, у), 0~;х, у<1, (2) и! =яр(з).
В случае задачи (1), которым мы будем заниматься, удается провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье. Отметим сразу же, что для решения разностных эллиптических задач, подобных задаче (!), разработаны гораздо более эффективные итерационныеметоды; некоторые из них будут изложены в Я 36, 37. Способы точного решения задачи (1), выдерживающие обобщения на случай переменных кбэффициентов и областей с кри- метод тстлновлвния 305 и "+' — и' "=Л„,и„'„+Л„„и'„— ~(х, у„), ы1,=р( ). и" „=Ф,(х„, у„). (4) Рассмотрим также простейшую неявную разностную схему ив+' — и" =Л„,иР+'+ Л„„иР„' — р(х~, у„), иР+~ ~ =$(г ) пал ~~0 х т уи)' (5) волинейной границей, например метод исключения Гаусса, при сколько-нибудь больших М становятся неудобными и не применяются.
Изложим сначала наводящие соображения. Решение и(х,у) задачи (2) можно понимать как не зависящую от временитемпературу в точке (х, у) пластинки, находящейся в тепловом равновесии. Функции ~р(х, у) и ф(з) означают в таком случае соответственно распределение источников тепла и температуру на границе. Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распространении тепла дУ д'0 дЧУ вЂ” = — + — — ~р(х, у), д1 дх' ду' и ~„ = (з), и (х, у, О) = р,(х, у), где ср и ~р те же, что и в задаче (2), а ~ра(х, у) произвольно. Поскольку источники тепла ~р(х, у) и температура на границе ф(з) не зависят от времени, то естественно ожидать, что и решение (l(х, у,() с течением времени будет меняться все медленнее, распределение температур 0(х,у,() в пределе при ( -э-со превращается в равновесное распределение температур и(х, у), описываемое задачей (2).
Поэтому вместо стационарной задачи (2) можно решать нестационарную задачу (3) до того времени 1, пока ее решение перестанет меняться в пределах интересующей нас точности. В этом и состоит идея решения стационарных задач методом установления. В соответствии с этим вместо задачи (2) будем решать задачу (3), а вместо разностной схемы (1) для задачи (2) рассмотрим и сопоставим три различные разностные схемы для задачи (3). Именно, рассмотрим простейшую явную разностную схему 1гл.
и ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗХДАЧИ зоо Наконец, исследуем схему переменных направлений (12) 5 31: отл л1л 1 = — [Л„й о+ Л„„ио — ф(хт, у„)), , о.ь! д "то ~ол 1 = — [Л й + Л и'~' — ф(х у )1 ="..~, =ф('..) = ф (х, ул). (6) ио+~ ) тл л и „ Будем считать, что фа(хт, у„) задано так, чтобы на границе выполнялось равенство Фо! т ф(з ).
(7) (ио л) для и'=(ио ) Вычисление ио+' =(ио+„') по уже известному ил = схемы (4) осуществляется по явным формулам. Вычисление ио+' =(ио+') при уже вычисленном по схеме (6) требует решения задачи ио+! ло Л ио+'+Л илю — =ф(х, у ) — —" лл тл ОО тл т ( т' л) Т ио"„'~„= ф(з л). (8) ео =но и тл тл тл между сеточной функцией ио =(илл) и точным решением и = = (и л) задачи (1), сушествование которого доказано в $ 34. Выясним условия, при которых погрешность ел л решения ио„ нестационарной задачи стремится к нулю с ростом р, а также характер этого стремления к нулю; выберем оптимальным об- Эта задача ничем не проще исходной задачи (!). Поэтому простейшую неявную схему не имеет смысла использовать для приближенного вычисления.
Наконец, вычисление ио+' = (иол') по уже известным ил =(иол) по схеме (6) осуществляется прогон- нами в направлении оси Ох для вычисления решений (й,„,) одномерных задач при каждом фиксированном г~ а затем прогонками в направлении оси Оу для вычисления решений (и~~') одномерных задач при каждом фиксированном т.
Количество арифметических действий при этом пропорционально числу неизвестных. Для каждой из двух оставленных нами для дальнейшего изучения разностных схем (4) и (6) рассмотрим разность зот метод тстхновлання % 35г в заданное число раз.
2. Анализ явной схемы установления. Решение (и „) задачи (1), очевидно, удовлетворяет уравнениям " = Л„„и „+ Л„„и, — гр (х, у„), !г ф(з ) и „=и „. Вычитая эти равенства из уравнений (4) почленно, получим для погрешности ег'„следуюшую разностную задачу: р+г у е „' — е,'„„ кк~тл + ~ад~ш»' т аР+„' („ е' (9) =О, =ф(х,у„) — и „. Заметим, что сеточная функция ег „при каждом р, р = = О, 1, ..., обрагцается в нуль на границе Г. Ее можно считать элементом линейного пространства функций, определенных на сетке (х„„у„) = (т/г, ай), лг, и = О, 1, ..., Лl, и обращающихся в нуль а точках Г. Норму в этом пространстве определим, как в $ 27, равенством !! а'!! = ( Х ) ео !') В $27 мы получили представление для решения задачи (17) в виде конечного ряда Фурье.
Эта задача только обозначением неизвестной функции отличается от разностной схемы (9) для погрешности ея = (а" „). Поэтому (1О) ох где с„„— коэффициенты разложения начальной погрешности а'=(а' „) в конечный ряд Фурье, а числа )..задаются формулой 4т / .
г гп , г гв Х =1 — — гхз(ц — + яп «г 'х 2ги 2М) ' (1 1) разом шаг т и оценим объем вычислительной работы, необхо- димый для уменьшения нормы первоначальной погрешности ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ !Гл. и Числа сп,=с„ЛР, являются коэффициентами разложения погрешности ел=(ер„) в ряд Фурье по ортонормальному базису ф4"'. Поэтому ((еп)) =Д ! с 5Л~5! )У )(ае/( Д ! с 5 ~)' Отсюда видно, что (12) — <(шах ! Л,е !)Р !! ар !! (13) Г, 5 При этом всегда можно задать е' так, чтобы равенство достигалось.
Для этого нужно взятьа~=ф~ ' ~, где (»', з') — та пара номеров, при которой »пах ! Л,, ! = ! Лг 5 !. Г,а Таким образом, для стремления !!еп!!Иеп!! к нулю при р- о нужно, чтобы выполнялось неравенство »пах ! Л„! ( 1. Г, 5 Наиболее быстрое убывание погрешности получится при таком выборе т, при котором шах(Л„! принимаетнаименьшеевозмож- Г,а нос значеьие. Из формулы (! 1) находим самую левую и самую правую точки Л„,: Вт а л Л =1 — — соз —, лев — аа ам ° Вт ° а 55 Лп = 1 — — з!ив прав — аа 2М (рис.
44). Увеличивая т, начиная от т = О, мы вызываем сдвиг обеих этих точек влево. При том значении т, при котором эти точки будут симметричны относительно точки Л = О, 5 ар шах ! Л„! = 1 — 2 шпа —. г, а -/ 55 / Ллев = Лправ (14) дальнейшее увеличение т нецелесоРпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
