Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Следовательно, Щ([[йв[!"У<(1+ С'Ь)" (е' = М,, =1, 2, ..., Ь и устойчивость доказана. П р и м е р 2. Рассмотрим схему за + и» ер» и 1~ 2 Л) (20) ие —— а, и, = р, которая при а = а, р = (1 — АЬ) а+ Ь)р, аппрокспмирует со вторым порядком относительно Ь задачу Коши (!). а С. К. Г»АУ»ав, В. С, Ребе»»в»В !зо сходимОсть, хппРОкснмхцпя и устоичивость ггл. 5 нормы 1! !]ив и !! ° ]]Ра введем равенствами 11 и!м !!и„= шах ! и„], ! фа 1 !! Р'!!Р„= ~ а ~ =шах(!а!, !])1, !пах]ф„!]. Ра Для исследования устойчивости постараемся записать разностную схему в форме (13) и свести доказательство к получению оценки !1Щ1г(С. ПеРепишем Разностное УРавнение (20) в виде и„+, — — и„, — 2АЬиа + 2йф„.
Тогда пара равенств и+, =и-! — 2Айи„+ 2йр„, и„= и„ (21) выражает компоненты вектора у„через компоненты вектора ва — 1 ° ~ аа+1] (-2АЛ !) ~ аа ]+ й ~ зфа ] Мы записали задачу (20) в форме (13), где Введем норму в двумерном пространстве у, которому принад- лежат уа и р„, по формуле ([р](! =!пах(!О], 1~!). Тогда нормы !! инв !!иа !1)НЧ !!Ра !! Ра !]Г !! У!'О !!Г Записи его в форме (13) мешает то, что оно связывает не два, а три последовательных значения: и„ь и„, и„+ь Чтобы преодо- леть зту трудность, положим !з2 сходимОсть, АппвоксимхшЗя и устойчивость !Гл.
5 где у 4 — 2ВЬ' 2 — АЬ 'т Г 2Ь' Яь=)( 2+ Аь 2+ Аь ) Р = ~ 2+ Аа ' (26) 1 В силу условий и,=а, ' ' =Ь (см. (22)) вычислим век- И тор ув. [а+ эа~ (27) чем и завершим приведение исследуемой разностной схемы к виду (13). Газ Легко видеть, что если норму вектора [р1 определить как гпах()х(, 1р1), то нам не удастся так просто доказать устойчивость с нашим оператором Йь так как 1~)7ь!1-2 и 110„~1" — »ОО. Поэтому норму в пространстве У определим не так, как в примере 2. Именно, положим ([ 1~~ =гпах[1 а~, ! (~.
~ [~ ~ ( =шах[!а), ) б!!. Сведем задачу вычисления нормы оператора в пространстве У„ к этому случаю: !(а)/ !/( 1 'О )[а]// [а]! где Я = ( ! „„) . Покажем, что для любого линейного пре/ ! п образования Т, действующего в пространстве У, справедливо равенство !)Т!|У„=(!БА 1У. В самом деле, Мы поставили значок 6 при У, чтобы подчеркнуть, что норма теперь зависит от Ь.
При сделанном выборе норм между !!им)пм 11)<">!)„, )р„11г„, !~у,~)ь„выполнены соотношения (17). Остается проверить выполнение условия 1~ кь !~у„( С, п = 1, 2, ..., АГ. Нам известна формула (!9), выражающая норму оператора через элементы задающей его матрицы, если норма в пространстве У задана формулой ДОСТАТОЧНЫИ ПРИЗНАК УСТОИЧИВОСТИ ф И1 1ЗЗ Далее, !Тл~(, 3 Т !! „== гпах-!! — г —" — — гпах л "га амг !!Зтл-'Зл!! Теперь заметим, что Так как Я =( ), то !— 2В „2 — АЬ 2+ ЛЬ 2+ АЬ ~'та~ 2В 2А „ / 2+ АЬ 2+ АИ Поэтому ! + Сгг ~~гпах[~ ! 2+ Ай п~ + ~ 2+ Аа ~ 2+Ай уз~+~ ! 2 Ай й~) В частности, при достаточно малых й этому условию удовлетворяет, очевидно, число С = ! + 2 ~ А~+ 2~ В ~.
Итак, что гарантирует устойчивость исследуемой схемы. б. Иеединствениость канонической записи. Приведение разностной схемы к каноническому виду (13) можно осупгествпть многими способами. Полагая г ра = Три, где à — произвольное линейное преобразование пространства У, которому принадлежат у„ н р„, перейдем к записи т с г ди, = Вьд„+ йр„, г ро задано. (13') т ЗДЕСЬ Вь = Тйат ', Р„= тРм Ро' = тУ . где С вЂ” какая-нибудь не зависяшая от гг постоянная, выбран.
ная пз условия 134 сходимость, аппроксимация и кстоичивость (гл. 5 Если бы в примере 3 вместо ул=[ ~ мы положили уолл Г ил+,1 ил пл+, — ил, то прнгпли бы к записи схемы в виде (13), где и 1 и Π— 2»В 2 — ИА — 2)УВ, р„= 2 2+ИХ 2+»А / 1 2+»А ™+' Г п1~ При выборе нормы в У по формуле ~~ ]1 = шах(!а), !!)1) были бы вы- 1 р1~ полне~ы условия (!7).
Ограниченность 1)1~»(! очевидяа: Я»а!! (11 Я» ф ~((1+ Си)н ( ес, где с' выбрано из условия Г 2(!А)+1В!»] ) 2 — 1А!И Имеется произвол также и в выборе размерности пространства У. )Цы ил+2 Г ил+> 1 могла бы, скажем, вместо ул = ~ ~ положить ул = ил+>, что в " нл ил этом примере, впрочем, не упростило бы исследования устобчивосп>, Подведем итог нашим рассмотрениям. Из приведенных примеров вытекает, что для исследования устойчивости разностной схемы Е»и1»~ =~'»1 решения задачи Коши с постоянными коэффициентами удобно привести эту разностпую схему к виду (13); улы =ге»ул+ "Рл п =О> 1» ° ° ° у, задано.
Если в пространстве, которому принадлежит ул и рл, удается ввести норму так, чтобы выполнялись условия 1)и1"1!1о„(С,гпах!1 ул 11, л 1Р !(С~1)Рм!!е„, 11уо!(С 11Р"11!е„, то для устой швости достаточно, чтобы нормы степеней оператора )с» были равномерно по )з ограничены, !!)х»!!~(Сз> и =1, 2, ..., Л>', й 141 достлточныи признак устоичггпостгг 135 Для этого достаточно, очевидно, чтобы имело место неравенство 11)~.11 <1+ С А, где С' не зависит от )г. В этом случае постоянная С в определении устойчивости 11 иг"г 1(и „( С 11 ) гьг 1)р„ может быть взята в виде С = 2СхСз. (29) ЗАДАЧИ 1. Доказать устойчивость следующих разностных схем решения задачи и' + Аи = ф (х), и (О) = а. Найти константу С, входящую в определенна 11 и 1(и ~(С 11) 1(ра устойчивости.
а) "+' "+А(лй)ил=фи, л=о, 1,2, ..., Аг — 1, й иа = а. если 1 А (х) 1~ М = сопз1, а нормы введены равенствами 1)и) 11Ьа= гпах) ил ( 1)1 11(Р» — — гпах ()а), гпах1фл 11. л л ил+1 — и„ б) + Аил+г = фл 6 Нормы — нак в а). иа = а. л ""' "га "а"'+'-~1( а- — )г] -о л — 1 ) иа = а, 1им) 1и„=гпах(ил 1, 11)1~11(р = шах((а 1, гпах~ ф~(п+ — ) 6~) ). 1 игг1 ил 2. Решить задачу 1 в предположении. что ил = ~ гзг 1 л— вектор ил гг Ап Агт1 ~аг1 ~фл гг) 1 — матрица, а = 1 1, 'рл = гхг — векторы. Нормы 'ч Ам Ахз/ заданы в виде 11 иг ~ 1(ил = игах ( 11и) г ! + 1 и„г ~ ), л 11)г" 1(р, = гпах[)а 1+1а 1, гпах(~ грг г )+ ( грг„г ~)1, 1Аг (х)1~( М.
136 сходимость, АппроксимАция и устойчивость >гл. 3 а. Привести к каноническому виду: у +> = йлул + Лр, уе задано — разностное уравнение ил+» — 2»л+~ + Знл — сил Ь вЂ” 6»л=фл, л=>, 2, Г ил+в положив р» = ~ »л+~ ~. мл 5 15. Необходимый спектральный признак устойчивости В $14 мы показали, что приведение разностной схемы решения задачи Коши с постоянными коэффициентами 1 ап>м — ~>а> (1) к виду Ул+> =УСАУ»+ЛР»ю П=О 1~ ' .а у, задано (2) может быть использовано для доказательства устойчивости: при определенных условиях (условия (!7) $14) оценка !ЯА!!г~(С, и= 1, 2,, )У, (3) с1е( ()с» - АЕ) = О, !Х!<1+Сй, (4) лежал в круге где С не зависит от й. Перейдем к реализации намеченной программы.
1. Ограниченность норм степеней оператора перехода необходима для устойчивости. Описанные нами способы приведения разностных уравнений к виду (2) таковы, что в случае нулевых правых частей разностных уравнений выражение рл также тождественно равно нулю. Пусть йостоянные М> = М>(й)) О и Мз — — Мз(Ь)) О вы. браны так, чтобы выполнялись неравенства 1 и'»' )!оа > М, шах !! Ул !1, л !)Уо !1Мм МЗ!! >>А>))ра (6) (7) достаточна для устойчивости.
Здесь мы покажем, что эта оценка (3) при некоторых естественных условиях необходима для устойчивости. Покажем также, что, независимо от выбора нормы, для оценки (3) необходимо, чтобы спектр матрицы )св, т. е. совокупность корней урав- нения $151 НЕОВХОЛИМЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ 137 Уч+1 = ТТАУ откуда уч — Ауа Далее, в силу (6) и (8) ! и'А~ !!о„) М, т ах ())т,",уа (!.
(8) (9) Из определения нормы линейного оператора следует, что вектор уа из конечномерного пространства всегда можно выбрать так, чтобы при данном и было )()7„"у 1=!!)т,",(! ~у,~. Поэтому при некотором уа (зависяшем от й) тах!))7„"УД= тах))тД ° '1Ув~. (1О) При таком выборе уа в силу (9) и (1О) получим !!и'"'!Ета ~ М, тах !! )АА!! ° !! у, /!) М,МТ шах (!ЯД ' !!) '1р». (6) Из последней оценки следует, что в случае устойчивости разностной схемы (1) постоянная С', входящая в определение устойчивости !! ипп !!о„( С )! )~ы !!р„ неизбежно должна удовлетворять оценке С'~ М~Мзгпах)!К~.
(6") л Отсюда видно, в частности, что если нормы 1и<м!!оа, !)~А~!)ра и !!у„!! согласованы так, что выполнены условия (6) и (7), то условие (3) необходимо для устойчивости. Условие (3) равносильно тому, что решение (у ) однородного уравнения у„+~ = = 1тьу„ при любом уа удовлетворяет неравенству !!У !!~(С!!Уа!!. и=1, 2, ..., йГ. (11) В примерах 1 и 2 $14 числа М~ и М, можно было выбрать не зависящими от и (равными единице), как без труда проверит читатель.
Это указывает на естественность сформулированных условий. В примере 3 из $ 14 для разностной схемы (22) при использовании равенства (24) и при нормах (23) условие )!иоп!(о„ ) (последнее при условии р„= — О). Тогда при нулевых правых ча- стях разностного уравнения (или системы разностных уравне- ний) уравнение (2) примет вид 138 схолимость, лппРОксимл1!ия и усто!!чивость !ГЛ 5 > Л1! шах 1Ул!!выполняется, только если М1( !!/2.
По если изл л!сш!ть выбор нормы 1~и!"!)!и, положив !!и! !!!У»=гпах(п!Вх!и„/, шах/ " '„" !ц, (12) л л то можно положить 31! = 1, 7!!» = 1, и оценка (3) необходима для устойчивости. При таком изменении норм продолжают выполняться сформулированные в з !4 условия (!7), при которых оценка (3) достаточна для устойчивости. 2. Спектральный признак устойчивости. Для оценки ~(Щ~) можно пользоваться собственными значениями матрицы Й», т. е. корнями Л уравнения !)е1!! )㻠— ЛЕ!!= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
