Fletcher-1-rus (1185917), страница 81
Текст из файла (страница 81)
10.3.1. Формулировка одномерного группового варианта Применение группового метода конечных элементов будет проиллюстрировано на примере одномерного уравнения Бюргерса, представленного в консервативной форме (10.3). Отдельные приближенные решения, эквивалентные (5.44), вводятся для й и Р в уравнении (10.3) в виде и= ~ ф,и, и Р= ~, фсРс, с (10.48) (10.49) где через гс обозначается значение г" в 1-м узле. Подстановка в (10.3) и вычисление интеграла (5.5) от невязки, взятой с весовой функцией Галеркина, приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
В случае равномерной сетки эта система записывается в виде М, ~ — „1 + 1.лРс — И.„ис — — О, где М„= ( —, —, — ), 1.„= ( — 1, О, 1)/2 Лх и 1.„„= (1, — 2, 1)/саха. При этом предполагается, что интерполяционные функции фс в формулах (10.48) являются линейными. Если дискретизация по времени соответствует схеме Кранка — Николсона, то соот- $10.3. Групповой метод конечных элементов 461 ношение (10.49) дает алгоритм по схеме (10.20) при б = 1/6 и г) =О.
Если в выражение Е,Е1 подставить зависимость Е; от иь то результат принимает вид (иг+ иг- ) Ь„Р,=0.5("1 1+и'+~)'( 2ах Применение обычного метода конечных элементов к уравнению (10.1) приводит к следующей дискретной форме конвективного члена: ди (иг ~+ и1+ игэ,) ( иг+1 — иг ~ ) Дискретизация линейнвх членов ди!дх и д'и/дхэ дает тот же результат, что и в (10.49). м.в вв ьв ав Х Рис. 1О.!О. Сравнение результатов применения обычного и группового методов конечных элементов к решению одномерного уравнения Бюргерса при 1 = 2.0. СК-ЕЕМ(С) — схема Краина — Николсона для обычного метода конечных элементов; С)Ч-РЕМ(С) — схема Кранка — Николсона для группового метода конечных элементов. Дискретная форма представления, к которой приводит обычный метод конечных элементов, сочеталась с разностной формой Кринка — Николсона для моделирования производной по времени, и полученное на такой основе решение одномерного уравнения Бюргерса обозначается на рис.
10.10 как С)х)-ЕЕМ(С). Групповой вариант метода конечных элементов включается в программу расчета в форме соотношения (10.20) при б = 1/6 и д = О. Соответствующее решение обозначается на рис. 10.10 как СХ-ЕЕМ(П). 462 Гл. !О. Нелинейные задачи е иреобладающим влиянием конвекции Решения, показанные на рис. 10.10, основаны на данных для 41 узловой точки, разделенных одинаковыми пространственными интервалами в интервале — 2.0 ( х < 2.0, и соответствуют граничным и начальным условиям, рассмотренным в п.
10.1.4. Число Рейнольдса ячейки )г„н основанное на и(!), равно 5. Решение с помощью обычного метода конечных элементов обнаруживает область за ударной волной, где имеют место более значительные колебания, чем для решения по групповому методу конечных элементов.
В других зонах вычислительной области оба решения идентичны. Поведение решений, полученных с помощью обычного и группового методов конечных элементов в применении к одномерному уравнению Бюргерса, сравнивается в работе [Р1е1сЬег, 1983с) с точки зрения численной сходимости. В случаях линейной, квадратичной и кубической интерполяций оба варианта дают сравнимую точность. При одном пространственном измерении и тот и другой варианты подобны друг другу в смысле экономичности. 10.3.2. Формулировка многомерного группового варианта Применение группового метода конечных элементов демонстрируется здесь на примере двумерных уравнений Бюргерса (10.57), (10.58).
Эквивалентная дивергентная векторная форма представления этих уравнений имеет вид дя дР дб Г дгя дгя 1 — + — + — — т ~ — + — х! — 8 = О, (10.52) дг дх ду Х дхг дуг / где е(=(и, о), Р=(иг, ио), 6=(ио, ог), 8 (Оби(и +о) Од (и'+о) ~. (!0.53) У У 'Наряду с приближенными решениями для и и о теперь вводятся добавочные приближенные решения для групп и', ио, о' и для составляющих вектора 8. Типовое приближенное решение (в случае применения прямоугольных элементов) имеет вид (10.54) где рг(й, г)) — билинейные интерполяционные функции (5.59).
Член (ио)г представляет собой значение комплекса ио в 1-м узле. $ !0.3. Групповой метод конечных элементов Применение метода Галеркина с конечными элементами согласно процедуре $ 5.3 позволяет получить дискретизированные уравнения (10.55) М»ЕМ4% „=КН5 где КНЗ = — М„Э Ь„Г вЂ” М„Э 1.„~ + + т(М„Э 7.„е+ М„Э 7. „) Я+ М Э Мв8. (10.56) Стоит отметить подобие структуры полученных уравнений и уравнений (9.85). В этом состоит особенность группового варианта; а именно на уровне, на котором проводится дискретизация, уравнения являются линейными, хотя и неопределенными. Если узловые группы выразить через неизвестные узловые переменные, то возникает нелинейность, но зато система становится определенной.
Как свидетельствует наличие тензорных произведений массового и разностного операторов, например Мк Э Е,Р, в правой части (10.56), групповой вариант метода конечных элементов приводит к девятиточечной дискретизации производной др/дх. Строго говоря, эта дискретизация является всего лишь шести- точечной, так как один из элементов оператора Е, равен нулю.
Если обычный метод конечных элементов применить к уравнению (10.57), (10.58), то связующая способность окажется значительно больше. Она определяется здесь числом узловых групп, получаемых в результате дискретизации конвективного члена. Рост связующей способности будет приводить к увеличению числа операций, а следовательно, и времени исполнения.
Связующая способность возрастает с увеличением размерности, с введением более высокого порядка интерполяции, а также с повышением порядка нелинейности в определяющем уравнении. Чтобы дать правдоподобную оценку воздействия всех факторов на суммарное время исполнения алгоритма, в табл. 10.10 приводятся данные о числе операций. Уравнения Бюргерса и уравнения Навье — Стокса для сжимаемой жидкости (п. 11.6.3) обладают конвективными членами с квадратичной и кубической нелинейностью соответственно.
Из табл. 10.10 видно, что для обычного метода конечных элементов с линейной интерполяцией связующая способность возрастает как с увеличением числа измерений, так и с повышением порядка нелинейности. В отличие от этого связующая способность для группового варианта изменяется под влиянием увеличения числа измерений, но остается неизменной при повышении порядка нелинейности.
464 Гл. 1О. Нелинейные задачи с преобладающим влиянием коннекцни Таблица!0.10. Связующая способность и число операций для обычного и группового вариантов метода конечных элементов с линейной интерполяцией Обычный МКЭ Групповой МКЭ связующая способность (конвектнвная нелиней. ность) связую- щая способ- ность (конвек- тивная нелиней- ность) Конвектпвная нелиней- ность отноше- ние чисел операций (обыч- ное(труп- повое) Система уравнений число операций пля расчета невязки число операций яля расчета невязкн Квадратичная Квадратичная Кубиче- ская 828 206 Двумерная, Бюргере Трехмерная, Бюргере Двумерная, вязкая, сжимаемая, Навье — Стоке Трехмерная, вязкая, сжимаемая, Навье — Стоке 12 603 27 1 308 343 225 6 772 Кубиче- ская 217 065 27 2 349 3 375 Большая связующая способность впоследствии трансформируется в большое число операций, требуемых для расчета невязки в стационарном состоянии.
Предполагается, что системы обыкновенных дифференциальных уравнений, формируемые с помощью дискретизации, интегрируются маршевым способом по времени с использованием приемов расщепления, подобных тем, которые были изложены в $8.2, 8.3 и 9.5. Как правило, на каждом шаге по времени вычисление стационарной невязки (хНЬ в соответствии с формулой (10.56) занимает около 50 % времени исполнения. Вследствие этого подсчет числа операций для вычисления невязки на одном шаге по времени приближенно соответствует расчету полного времени исполнения. Результаты, приводимые в табл.
10.10, свидетельствуют о том, что групповой вариант метода конечных элементов становится все более экономичным в сравнении с обычным вариантом по мере возрастания порядка нелинейности или числа измерений. Применительно к трехмерному течению вязкой жидкости групповой вариант позволяет рассчитать невязку стационарного состояния с экономичностью, почти в сто раз превышающей экономичность обычного варианта. Это приближенно соответствует пятидесятикратному улучшению суммарного времени исполнения алгоритма. Если вместо линейной интерполя- $10.3.
Групповой метод конечных элементов 463 ции используется интерполяция более высокого порядка, то относительная экономичность группового варианта в сравнении с обычным вариантом метода конечных элементов становится еше больше. Относительные времена исполнения, подсчитанные для обычного и группового вариантов конечно-элементной дискретизации двумерных уравнений Бюргерса и приведенные в табл.
10.10, подтверждены на практике [г!е1с)1ег, 1983Ь). Четырехкратное улучшение, показанное в табл. 10.10, соответствует замеренному отношению времен исполнения, равному два с половиной. 0:.20 0.40 0.00 0.80 1.00 1.20 1.40 -~д РХ Рнс. 10,11. Свойства пространственной сходимости для разных вариантов дискретизации стационарных двумерных уравнений Бюргерса. 3-Е(У вЂ” трехточечная конечно-разностная дискретизация; ьРЕ(С) — обычный метод конечных элементов с линейной интерполяцией; ЕРЕ(Сг) — групповой метод конечных элементов с линейной интерполяцией. В применении к стационарному двумерному уравнению Бюргерса при и =0.1 относительная точность группового и обычного вариантов метода конечных элементов может быть оценена на основании результатов, демонстрируемых на рис.
10.11. Эти результаты были получены на равномерной сетке при Ьх = Лу. Среднеквадратичные ошибки уменьшаются по мере измельчения сетки примерно с той же скоростью и для заданной сетки имеют примерно ту же величину. Видно, что обе конечно-элементные схемы точнее, чем трехточечная конечноразностная дискретизация уравнений (10.57) и (10.58). 30 К. Флетчер, т.
1 466 Гл. 1О. Нелинейные задачи с преобладающим влиянием конвенции Суждение о сходимости схем основано на рассчитанном решении [Р)е1сЬег, 1983Ь), которое по сравнению с тем, что показано на рис. 10.12, обладает более умеренным градиентом, но с более отчетливой тенденцией развития в направлении оси х. Это решение затабулировано иа рис. 6.14. ° нм . ° м . ° н ° ~ Рис. 10.!2. Точное стационарное решение двумерных уравнений Бюргерса (10.57), (10.58).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
