Fletcher-1-rus (1185917), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Нелинейные эадачи е преобладающим влиянием ионвенпии где в применении к уравнению Бюргерса А;+ьм = и/+ыэ =0.5(и;+игы) и т. д. Схема (10.10) обладает ошибкой аппроксимации порядка 0(Иэ, /1хэ) и устойчива при ) и,„б//Ьх] ( 1.0. С учетом явного появления якобиана А после полушагов / — 1/2 и /+ 1/2 схема (10.10) является в вычислительном плане менее экономичной, чем эквивалентный алгоритм (9.16) для линейного уравнения конвекции. Более экономичный метод вычисления получается в результате замены схемы (10.10) на эквивалентный ей двухэтапный алгоритм и/+цэ = 0.5 (и"; + и/+/) — 0.5 — „[Р/+/ — Р/), (!0.11) л+/ л а/ и/ = и/ а (Р/е//2 Р/ — //2). (10.12) Формула (10.11) дает возможность получить промежуточное решение и' ...
обычно на временном слое (и+ 1/2)М, позволяюшее вычислить Р;.е,/э и т. д., подставляя результат в правую часть формулы (10.12). Двухэтапная схема (10.11), (10.12) эквивалентна схеме (9.16), если Р = и. Для упрощения программирования значения Р при 1+ 1/2 вводятся в память на место Р(/). Это сделано в программе ВПВО (рис.
10А) для варианта МЕ = 2. В историческом плане [ЮсИшуег, Мог1еп, 1967] двухэтапный алгоритм (10.11), (!0.12) оказался весьма успешным для предсказания поведения невязкого сжимаемого потока. Попытки распространить его на изучение потока с вязкостью, сделанные, например, в работе [Т)эопппеп, 1966], были не столь удачными из-за формального снижения точности до порядка 0(5/, бхэ). В итоге результаты для стационарного состояния были достаточно точными, но шаг по времени подвергался ограничению, связанному с условием устойчивости Куранта— Фридрихса — Леви.
При решении нестационарных задач шаг по времени необходимо было подвергнуть еще более суровому ограничению, чтобы добиться приемлемой точности. Обобщение алгоритма (10.11), (10.12), сделанное Томменом и ставяшее своей целью дискретизацию уравнения (10.3), можно представить в форме х//+//, = 0.5-[и/" + и/+') — 0.5 —,' [Р/+/ — Р/) + + 05э [05 (и', — 2и,". + и",) + 05(и/л — 2и" + и" )], (!0.13) ил+/ /л 'Р Р )+з(ил 2ил+ил ) (!0 !4) а/ 439 й 10.!. Одномерное уравнение Бсоргерса где в = тсхс/Л»'.
Эта схема включена в программу В1)КО (МЕ = 2). Из рассмотрения формулы (10.13) видно, что расчет члена с вязкостью охватывает четыре узловые точки; это вызывает необходимость задания добавочных граничных условий для вычисления ис+ь Схема (10.13), (10.14) приводит к устойчивым решениям, если 61(АвЫ+ 2т) ~(Л»е. (! 0.15у Как указывается в книге [Реуге1, Тау!ог, 1983], явный и практически приемлемый критерий получения устойчивого решения имеет вид сх! ( Л»',с (2о + [А [ Л») . Совокупность формул (10.13), (10.14) можно интерпретировать в качестве одного из членов семейства фу, введенного в работе [Еега(, Реуге(, 1975[.
Это семейство методов обсуждается в книге [Реуге(, Тау1ог, 1983[. Родственное семейство 5а для расчетов по невязкому уравнению Бюргерса обсуждается в п. 14.2.2. Параметр у определяет пропорцию распределения при вычислении члена с вязкостью, который в формуле (10.13) центрируется в узловых точках ! и 1+ 1. В случае схемы Томмена а = р = у = 0.5. Общая классификация разностных схем для решения не- вязкого уравнения Бюргерса (10.2), включающая в себя и семейство За, дается в работе [!'апеп!со е! а1., 1983[. Эта классификация охватывает также и неявные схемы, причем относится, в частности, к уравнениям Эйлера для одномерного неустановившегося течения (!0.40), (10.41). Яненко и его соавторы описывают и дают ссылки на работы в отношении многих схем советского происхождения, малоизвестных западным авторам.
10.с.З. Неявные с»емьс Применение неявных схем к нелинейным уравнениям типа уравнения Бюргерса не является столь же непосредственным„ как в случае линейных уравнений (гл. 9). Вариант неявной схемы Кранка — Николсона в применении к уравнению (10.3) принимает вид л+! = — 0,51., [Рс" + Рс"+') + 0.5т! „(ис + и!+'), (10.16) где Дпл+! = ил+! цл 7. = ( 1 0 1)с!2 Л» и 7-„„= (1' 2, )с!'!» Чтобы воспользоваться чрезвычайно эффективным алгоритмом Томаса (п.
6.2.2), необходимо свести соотношение (10.16) к трехдиагональной линейной системе уравнений относительно 440 Гл. !О. Нелинейные задачи с нреобладаннцим влиянием конвекции решения и~+~. Наличие неявного нелинейного члена Ру~~ ставит при этом серьезную проблему. Указанную проблему можно, однако, разрешить таким же путем, который использовался при введении поправки к решению ЬТ;"+'', когда рассматривались схемы расщепления ($8.2). А именно, проводится разложение Рг"+' в ряд Тейлора в окрестности п.го временного слоя. Тогда Р,""'= Р;"+ б! ~ — '"~" + 0.5 М' ~ ~',~~" + Р~+' = Р~ + А би,"+' + О (цг'), или тде А=(дР/ди)! +и"; применительно к уравнению (10.3). В результате схему (10.!6) можно превратить в следующий трех- диагональный алгоритм: ивы — = — 0.57., (2Р! + и," ци,""') + 0.бтра (и!" + и!+') (10.17) В процессе вывода формулы (10.18) член Е,Р!" сократился.
Будучи преобразованным к трехдиагональной форме, соотношение (10.18) может быть записано в виде а!и!"+1'+ Яиг+' + с!"и,"Д = г(г, (10.19) где а! = — 0.25 (цг/цх) иг ~ — 0.5з, й! =1+э, с; = 0.25 — иге1 — 0.5г, ц аг н Ьх и з=чМ/гдх. 4 = 0.5зи! 1 + (1 — з) и~ + 0.5аи!е1 Очевидно, коэффициенты а" и с" являются функциями й и поэтому на каждом шаге по времени должны вычисляться заново.
Однако форма соотношения (10.19) позволяет осуществить непосредственное использование алгоритма Томаса (п. 6.2.2). Неявная схема (10.18) имеет ошибку аппроксимации порядка 0(Л(з, бх') и является безусловно устойчивой в смысле Неймана. Линеаризованная схема Кранка — Николсона (10.17) может быть обобщена так, чтобы включить в нее массовые опе- или аз!"'+ 0.5 Ьг14., (и7и","') — ъ 7.,и,"+'] = и~ + О.бт 517.„и~. (10.18) 44Р $ !ОЛ. Одномерное уравнение Бюргерса раторы и четырехточечную дискретизацию конвективного члена со сдвигом вверх по потоку (п. 9.4.3). Следуя (9.69) и (9.71),.
обобщенный вариант дискретизации уравнения (10.3) по схемеКранка — Николсона записывают в виде н" М„1 ! ) = — 0.51.н! (2Р! + и! Лиг+') + 0.5И.„„(и! + и!+'), (10.20) где Мн — — (Ь, 1 — 26, Ь), а 1,,'~Р определяется формулой (10.6) при йоложительном и. Ошибка аппроксимации для схемы (10.20) имеет порядок 0(Л1а, Лх').
В четырехдиагональной форме представление (10.20) сводится к соотношению е";иг+а + ага!~! + Ьгиг~ + с,"и,"+! = а!,", (10.21р где ч 4 о! ь е! = — — иг-ю 6 ах а! = — (0.25+ 0.54) — и," !+ Ь вЂ” 0.5з, ЬУ! = 1+ О.бд — и," — 26+ з, с! = !х0.25 — — л! — и! 1+ Ь вЂ” 0.5з, л / ох аг и 61 ох а!! = (б + О 5з) и! ! + (1 — 26 — з) и! + (Ь + 0 5з) и!+ !. Четырехдиагональная система уравнений (10.21) может решаться с помощью обобщенного алгоритма Томаса (п. 6.2.4). На практике четырехдиагональная система (10.21) сводится к трехдиагональной форме (строкн 134 — 144 на рис. 10.4), после чего подпрограммы ВАЫРАС и ВАЫ501 применяются обычным способом.
Обобщенный алгоритм Кранка — Николсона (10.21) включается в программу Вс)кО при условии, что МЕ = 4 или больше. Устойчивые решения системы (10.21) получаются при Ь ( 0.25 и д ) О. Как можно было ожидать на основании изложенного в п. 9.4.3, выбор специальных значений Ь и д будет уменьшать колебания, связанные с дисперсией. Этот вопрос затрагивается в п.
10.1.4. 10.1.4. В1!!(О; сравнение численных результатов В данном пункте различные явные (п. 10.1.2) и неявные (п. 10.1.3) схемы будут применены к решению задачи о распространении ударной волны, процесс которого определяется 442 Гл. 1О. Нелинейные задачи с преобладакипим илиянием конаекции «вязким» уравнением Бюргерса (10.3). При 1= 0 ударная волна находится в точке х = О. Начальные условия имеют вид иа (х) = й (х, 0) = 1.0 при — х,„~~ х ~ (О, ио(х)=й(х, 0)=0 при 0(х~(х,„. (10.22) Следующие граничные условия задаются при х = ~х,„: й( — х,„, 1)=1.0, й(х,„, 1)=0. (10.23) При указанной комбинации начальных и граничных условий уравнение (10.3) имеет точное решение, представляемое в виде й = ) 1(х — $)Яе ознеос($ ) е-е'неос(й (10.24) I~ 00 Ф $ 6($; х, 1)= ~ ио(в')й$'+ ' и Ке=1/т. о Выражение (10.24) представлено на рис.
10.3 в форме графиков для двух значений Ке. При использовании выражения (10.24) в качестве точного решения необходимо ввести ограничения на время и на наименьшее значение ке таким образом, чтобы граничные условия (10.23) были совместимы с точным решением. Различные схемы, описанные в п. 10.1.2 и 10.1.3, включаются в программу В1)мсл (рис. 10.4), причем реализация той или иной схемы осуществляется в зависимости от значения параметра МЕ в соответствии с табл. 10.1. Выбор параметров б = 1/6, 4 = 0 дает схему Краина — Николсона, соответствующую групповому методу конечных элементов. Введение формулировки, связанной с этим методом ($10.3), необходимо для осуществления явной дискретизации независимой переменной г". Для построения решений уравнения (10.3) с малыми значениями вязкости ч желательно ввести в правую часть соотношения (10.16) некий член с искусственной диссипацией; т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
