Fletcher-1-rus (1185917), страница 74
Текст из файла (страница 74)
тнеинеь еитдт РВОВьен: ЗРт Рон, нх,ит 11 11 не 1 1тндх = 25 Оди = .5О ВЕтд = 1.ОО отти = .2ОО Хвьт = 2.ОО РЕ ЛО ВЕ=1ОО.О 9 .Об ДРТЕИ 20 1ТЕИАТ10ИЗ, ИНЗ-ИВЗ .857Е"05 ИНЗ-ЕИЕ .180Е-01 С/Ь ТЕНР = .459 .744 .881 .945 .975 .988 .995 .998 .999 1.000 ЕХ ТЕНР .493 .786 .909 .962 .984 .993 .997 .999 .999 1.000 Рис. 9.15. Типичная выдача из программы ТНЕКМ. В табл. 9.12 и на рис. 9.16 приведены решения на центральной оси для относительно грубой сетки. Среднеквадратичные ошибки, приведенные в табл. 9.12, основаны на решении вдоль центральной линии во всех точках, кроме 1 = 2, так как вблизи входа х = О пригодность полуточного решения становится сомнительной.
В табл. 9.12 и на рис. 9.16 приведены также результаты ТЕМ расчета, полученные с использованием дискретизации д(иТ)(дх четырехточечных раз+ яг-гвм ностей против потока вместо 0 ИГ-4РО оператора Е в уравнении е МГ-ГЕН (9.94) и эквивалентных ему — точное решение (9.88) и (9.89). Это та же са- мая четырехточечная дискре° В тизация с разностями против потока, которая обсуждалась х в и. 9.3.2 и 9.4.3. Корректное рассмотрение двумерной задаРис. 9.16. Сравнение решений для температуры вдоль пеитральиой ли- чи в целом означает, что четыиии (обозиачеиия см. в табл. 9.12). рехточечная дискретизация с разностями против потока будет вводиться также и для д(иТ)ду. Но это не было сделано в программе ТНЕКМ, поскольку в данном примере о = О, и, следовательно, член д(оТ)(ду не влияет на решение.
Четырехточечная схема с разностями против потока неприменима в точке 1= 2 из-за тРУдностей заданиЯ подходЯщего значениЯ Те и Ясно, что все методы дают хорошее согласие с полуточным решением ввиду грубости сетки. Особенно хорошо согласуется л Р й С) С) О Ю С) Оъ <О 8 О О О Ю С> С> С> С~ х О О. Ю О О О О Й з й О О фо 1! хх. а 1'- хо О 1~ О., с р. ОО С3 Х О х(~ :Р, О.д, х Р О Р'. О С ! ы Х О х х х О Х О х х ю х х "И О Х"О о 'б Е х х х О У ! х х Ф 3 ) Ф О $ а й.
а ! О ~ О. О " !! х сз З х цО, О. и х О Х О х а о х ! О х 6 щ х О О О Х бЪ х х х е. з х Й х О Ц х х М щ О ~Х ~й~ Е 422 Гл. 9. Линейные задачи с преобладакнним влиянием конвекнии линейный метод конечных элементов со стационарным модифицированным уравнением, решение которого в действительности и находилось.
Относительные характеристики построения массового опе-. ратора и четырехточечной дискретизации с разностями против потока для конвективных членов можно сравнить, если рассмотреть стационарное модифицированное уравнение для схемы,. которая включает в себя свойства обоих вариантов. Запишем это уравнение где д, и ду — свободные параметры, введенные в четырехточечную схему с разностями вперед, применяемую для дискретизации членов д(иТ/дх) и д(пТ)/ду соответственно. Параметры б„и 6„заменяют 6 в определениях М„и Му (9.94).
Числа Рейнольдса ячейки определяются в виде иах ооу сс сап, к — ° Асс п, у сс, — а ° с (9.98) В рассмотренном примере о = О, так что /асса, „= О. В противоположность случаю для уравнения конвекции — диффузии )сссн, с является функцией координат. Из (9.97) ясно, что при выборе д, =да=0.5, 6, = 6„=0 либо д„= с)у = О, 6„= бу = — ' производные третьего порядка,. дающие дисперсию, будут исключены. Однако последующее рассмотрение диссипативных членов с производными четвертого порядка несколько отличается, особенно для больших чисел Рейнольдса !с„н.
Оба метода дают положительную диссипацию, но в случае схемы с массовым оператором диссипация стремится к нулю с увеличением числа Рейнольдса ячейки, тогда как для случая четырехточечной схемы с разностями против потока это не имеет места. Результаты табл. 9.12 представляют. решение уравнения (9.97). д (иТ) д (оТ) дат д'Т вЂ” + — — а — — а — + дк ду дха У дуа + (ибх'/6) ((1 — 2д„— 66„) —, + +(0 +(66.— 0.5)/)7.и, ) д,,~+ + + (пбуа/6) ((! — 2д — 66 ) — + +(чу+ (66у — 0.5)//сссн.у) д с ) + ...
= О, (9.97)з э 9.5. Лвумерное уравнение переноса 9.5.5. Поперечная диффузия 423 При использовании двухточечной схемы с разностями про. тив потока для конвективных членов в одномерной задаче воз:.никает искусственная диффузия а' = 0.5 иЛх (табл. 9.1 и 9.3) для одномерной задачи. В случае многих переменных влияние искусственной диффузии удобнее рассматривать в связи с локальным направлением потока. Так, в случае двух переменных коэффициенты искусственной диффузии вдоль потока и в поперечном к потоку направлении представляют больший физический интерес, чем коэффициенты искусственной диффузии вдоль координатных направлений.
При а = ах = а„ и и = о = сопз! двумерное стационарное уравнение конвекции — диффузии можно записать в виде дх + д (дхт д ) дТ дТ деТ деТ (9.99) :Будем предполагать, что для дискретизации производных дТ/дх и дТ/ду используется двухточечная схема с разностями против потока, а для дискретизации д'Т/дх' и с!еТ/ду' — трехточечные центральные разности. Разложение в ряд Тейлора членов полученного в результате дискретизации разностного уравнения показывает, что оио с точностью 0(Лх', Лу') аппроксимирует уравнение дТ дТ деТ деТ "д + д (а+ах) дх' (а+ив) д ' — — О, (9.100) и'де а„'=О.баях, а„'=0,5вбу.
Ясно, что уравнение (9.100) является непосредственным обобщением одномерного уравнения (9.51) с той разницей, что оно содержит искусственную диффузию по координатным направлениям. В уравнении (9.100) удобно перейти к координатной системе, связанной с касательным и нормальным к потоку направ.лениями. В результате получим дТ Г деТ д'Т Х е деТ, д'Т р деТ ч — — а !х — + — ) — а' — — а' — а' —, (9.101) дв ~ дв' дле ) л две лл де до л дле а'де а' = 0.5д(бх созва+ Лу з!ива), а1„= О.бс/(Лу з!п а — Лх сова) з!п 2а, а'„= Оба (Лх сова з!пе а+ /ху з!п а созе а). В уравнении (9.101) з и и означают координаты по касательной и нормали к локальному направлению потока 424 Гл.
9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекпии соответственно. Кроме того, скорость равномерного потока д направлена под углом а к оси х, так что (9.102) и=дсоза и п=дз!па. Первые три члена в уравнении (9.101) являются результатом непосредственного преобразования уравнения (9.99). Последние три члена описывают искусственную диффузию. В случае Лх = Лу видно, что а„' будет максимальным при а = 45' и нулевым, если направление потока совпадает с осью х или у. И наоборот, искусственная диффузия вдоль линий тока максимальна при а = 0 или 90' и минимальна при а = 45'. С первого взгляда может показаться, что искусственная диффузия вдоль линий тока представляет большой интерес, так. как при Лх=Лу ]а,'~ >а„' для всех а в интервале 0 ( а < (90'.
Однако для большинства течений производная д'Т!дзз очень мала всюду, кроме окрестности точки торможения. И наоборот, для сдвиговых течений и пограничного слоя (гл. 16) даТ7дп' » д'Т/дзз и производная дЯТ!диз сравнима по величине с конвективным членом 4дТ7дз. Следовательно, поперечная искусственная диффузия может вносить значительную погрешность, если аппроксимация конвективных членов имеет недостаточно высокий порядок, а локальное направление потока не. совпадает с координатными линиями. В противоположность. этому методы, которые приводят к искусственной диффузии только вдоль линий тока ]Вгоо(сз, НпдЬез, 1982], весьма эффективны для построения неосциллирующих достаточно точных решений для многих гидродинамических задач.
Поперечная искусственная диффузия подробно изучалась. теоретически и экспериментально в работах [де УаЬ1 Ран!з, 1976; Ма!11пзоп, 1976; Ка!!ЬЬу, 1976; бгШ!!Ьз, МйсЬе11, 1979].. 9 9.6. Заключение В этой главе применялись последовательно различные численные методы, рассмотренные в гл. 7 для уравнения диффу" зии, к линейному уравнению конвекции, стационарному уравнению диффузии и уравнению переноса. Эти уравнения являются модельными различной степени сложности для уравнений (гл.
11), описывающих задачи гидродинамики. Соответствующие методы будут применены в гл. 14 — 18 к определяющим уравнениям гидроаэродинамики. При исследовании модельных уравнений основное внимание уделялось тому, как выделить численную дисперсию и диссипа- $9.6. Заключение 425 цию и по возможности ее регулировать. Это особенно важно при использовании алгебраических схем первого порядка точности в тех случаях, когда диффузия либо отсутствует, либо много меньше по порядку величины, чем конвекция. В другой ситуации, когда конвекция преобладет над диффузией, могут возникать нефизические осцилляции, если для дискретизации коивективных членов используется симметричная трехточечная алгебраическая формула на грубой сетке. Однако введение массовых операторов, которые привносят черты конечно-элементного метода, обеспечивает механизм контроля за колебаниями дисперсионного типа.
При использовании метода рас:щепления введенного в $ 8.3, массовые операторы оказались полезными при исследовании стационарных и нестационарных многомерных задач. Альтернативные способы контроля за осцилляциями дисперсионного типа обеспечиваются введением четырехточечной дискретизации против потока для конвективных членов.
Этот прием оказывается эффективным, хотя он часто вносит дополнительные диссипативные члены более высокого порядка, которые могут оказаться существенными на грубой сетке. Четырех- точечная дискретизация против потока может быть введена н в неявные алгоритмы, но она приводит обычно к четырех- .диагональным системам уравнений, которые могут быть решены с помощью алгоритма Томаса после сведения системы к трехдиагоиальному виду.
Это на 80 Ъ увеличивает машинное время по сравнению с тем, которое затрачивается на решение самого алгоритма Томаса. Использование четырехточечных схем, кроме того, приводит к необходимости введения дополнительных граничных условий на входе или локального сведения к трехточечной схеме. Сопоставление различных методов, использованных в данной главе, показывает и сравнительную цену эффективности метода модифицированных уравнений (п.
9.2.2) для построения улучшенных алгоритмов. Поскольку в его основе лежит разложение в ряды Тейлора, этот метод дает информацию только о длинноволновых характеристиках. Для получения коротковолновых характеристик требуется анализ Фурье (п. 9.2.1), который используется также и при анализе устойчивости по Нейману ($ 4,3). Однако если метод модифицированных уравнений допускает непосредственное обобщение на нелинейные схемы и уравнения, то при использовании анализа Фурье требуется локальная линеаризация, которая может привести к ухудшению эффективности метода для не.линейных задач гидроаэродинамики (гл. 10, 11 и 14 — 18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
