Fletcher-1-rus (1185917), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е. добавляется следующее выражение: 0.5неб11.„„(г7+ г7 '). После линеаризации /.„,Р~ модифицированный вариант соотношения (10.20) представляется в форме М„и~+'+ 0.55/'1/,"~(и,"и~+') — тЕ, и~" — та см/л,(и1и~+ )1 = = М„и~ + О.бт Ж/.ахи~. (10.25) 443 6 10.1, Одномерное уравнение Бюргерса Таблица 1О.1. Различные схемы, расчет по которым включен в программу ВПВО МЕ Описание Схема ВВЦП (10.6) Двухэтапная схема Лакса — Вендроффа (10.13), (10.14) Явная четырехточечная схема со сдвигом вверх по потоку (10.6)„ (10.7) Кранк †Николс, конечно-разностная; б = О, д = 0 в (1О 20); обозначение С)Ч-ГРМ Кранк †Николс, конечно-элементная; б = 1/6, д = 0 в (!0.20); обозначение СК-РЕМ Кранк — Николсон, массовый оператор; б = 0.12, с) = 0 в (10.20); обозначение СХ-МО Кранк — Николсон; 4-точечная, вверх по потоку; б = О, я = 0.6 в (!0.20); обозначение С)Ч-4РУ Обобшенная схема Кранка — Николсона плюс добавочная диссипация Параметр ти подбирается эмпирическим путем.
Подключение к программе схемы (10.25) реализуется при МЕ = 5. Различные параметры, используемые в программе В(1)(тх, описываются в табл. 10.2. Вычисление точного решения по. формуле (10.24) осуществляется в подпрограммах ЕХИДН (рис. 10.5) и ЕРчРС (рис. 10.6). Типовая форма выдачи результатов, полученных по программе В1)гчсх с применением схемы ВВЦП, показана иа рис. 10.7. Если коэффициент вязкости имеет значение т = 0.2, то характерное число Рейнольдса ячейки равно )с„п = и(1)бх/т = = 1.О. Это наводит на мысль о том, что конвективный и диссипативный члены уравнения (10.3) имеют одинаковый порядок. Решения для случая )тсен = 1.0, полученные с помощью различных явных и неявных схем, предложенных в и. 10.1.2 и 10.1.3, приводятся в табл. 10.3. Все методы дают гладкие результаты.
Схема ВВЦП является наиболее точной из явных схем, а четырехточечная схема Кранка — Николсона со сдвигом вверх по потоку и со значением д = 0.5 является наиболее точной из неявных схем. Характерные решения с вязкостью т = 0.03 ()с.,п = 3.33) приводятся в табл. 10.4. Конечно-разностная схемп Кранка— Николсона дает решение, для которого заметны покачивания 444 Гл. 10. Нелинейные задачи с преобладающим влиянием конвекции Таблица 10.2. Параметры, используемые в программе ВЩС Параметр Описание 2МАХ )т(Т1М Т1МАХ А й Б1) ХМАХ АП С АЕРН 8, БА ВСЕ(.
() ЕМ 1)Т, ПХ, Х () ЕР 1)Е .АА, ВВ, СС =1. схема ВВПП (10.5) =2, двухэтанная схема Лакса — Вендроффа (10.13), (1О.!4) =3, явная четырехточечная схема со сдвигом вверх по потоку (!0.6), (10.7) =4, обобщенная схема Краика — Николсона (10.20) =5, обобщенная схема Кранка — Николсона плюс добавочная диссипация Число точек в интервале — х „( х ( х „ Число шагов по времени Время сравнения с точным решением х,„в (!0.22) Искусственная диссипация т, в (!0.25) Характерное число Куранта, С = и(!)51/Ьх Вязкость т в (!0.3) з = тбЦЬхт, з = т,Са (табл.
10.5) Характерное число Рейнольдса ячейки, и(1)бх/т о в (10.6) б в (10.20) ААЬх,х Зависимая переменная, и в (!0.3) г" в (10.3) Точное решение, и в (!0.24) Коэффициенты-множители прис" ! и т.д. в явных схемах; коэффициенты-множители при и" ! и т. д.
в неявных схемах Элементы четырехдиагональной матрицы (10.21) Вектор, содержащий о" в (10.21) Промежуточное явное решение; первый этап решения по схеме Лакса — Вендроффа Предназначено для и"+~ после возврата из подпрограммы ВА)т(ЗО). В1ИЕИ $10И Н (65), НЕ [65), Х (65) ЗРАР днАХ - 1 Р1 3.141592654 ХЗТ = -ХНАХ 00 1 д 1,3ИАХ Ад д-1 Х(Л ХЗТ + Адеох Н(д) = О. НЕ(д] О.
Н[1) 1.0 НЕ(1) 1.0 ВО 2 д = г,днАР ТТ(Х(Л .ЬТ. 0.]0(д] 1.0 ЭТ(АВЗ(ХЮ] .ЬТ. 1.0Е-04)НЫ) = 0.5 Ы ХЮ ХВ -Ы ХА м Ы - Т1НАХ Ро ЗОАТ(0.25*РП РР ЗОАТ(Р1*Т1ИАХ*АЬРВ] ХВ - ХВ*РЕ/РР ХА ХА*РО/РР ЗНВА РРеЕХА ЗНИВ РРаЕХВ ВШ( О. 5е Ьвд-О. 5*Т1ИАХ) /АЬРИ ХЕ[ВНЕ .ОТ. 20.)ВНИ ЭО. 1Р(ШП[ .ЬТ.-20.)ВШ[ -20. ЗШ[С м ЕХР(ВШ0 НЕЮ м ЗВИА/[ЗНИА + ЗНИСевовв] СОИТХИНЕ ВЕТНВИ ЕИВ дисперсионного типа, особенно за ударной волной. Схема Кранка — Николсона с конечными элементами и четырехточечная схема Кранка — Николсона со сдвигом вверх по потоку дают для указанного случая гладкие и точные решения.
Ударная волна расползается примерно на девять узловых точек, так что численные алгоритмы могут без труда уловить наличие резкого градиента и. 1 2 Э С 4 С 5 С б 7 в 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 С 1$ 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2$ С 29 С 30 С 31 32 33 С эа 35 Эб Э7 ЭВ 39 ао 41 г аг аз б 10.1, Одномерное уравнение Бюргерса ЗНВАОНТ1ИЕ ЕХЗН(дНАХ,Х,Н,НЕ,ВХ,ХИАХ,А3 РВ,Т1ВАХ] ЗЕТЗ ТВЕ 1И1Т1АЬ Н ЗОЫ)Т10И И(В 91ИАЬ ЕХАСТ (НЕХ) ЗОЬНТ10И ЕАРС СА СНЬАТЕЗ ТИЕ СОИРЬЕНЕИТААТ ЕААОА РНИСТ10И САЬЬ ЕВРО[ХА,ЕХА] САЬЬ ЕВ(РС(ХВ,ЕХВ] Рис.
10.6. Распечатка подпрограммы ЕХЯН. 446 Гл. )О. Нелинейные задачи с преобладающим влиянием конвекпии В АВ8 )Х) 1Г)В .ЬТ. 4)СОТО 1 О - 1.О оото 2 1 С ЕХР)-В~В) Т 1./)1. + 0.3275911*В) 0.254829592"т - 0.2$4496736 т т + 1.421413741 Т ты 1 - 1.453152027*Т*Т*Т*Т + 1.061405429*т~т~т*т*т В 1. - Вьо 2 1Г)Х .ЬТ. 0.)в -В ЕЯС 1. - В вктоди еип Рис. )0.6. Распечатка подпрограммы ЕЦРС. В принципе можно построить схемы с пониженной дисперсией, следуя при этом процедуре, изложенной в 9 9.4 и связан- РВОРАОАтхмо Еяоск кАТВ!Впвсевк еопАт10я) ВЕ 1 ГТС$ П|ГГЕВЕЯСгко Оявх 21 яття 2о с .25 ох .200 пт .оэо хнах Х.оо $ .25 АЬРИ= .200Е+00 ВСЕЬ= .1.0 )~ .00 ЕИ .000 $А= .ОООЕ+00 АА .12500 .00000 ВВ .00000 .00000 СС вЂ .12500 .00000 хиттгаь зоьпттоя, тти = .ооо х -2.000-1.800-1.600-1.4оо-1.200-1.000 †.аоо -.6оо -.4оо -.2оо .400 .600 .800 1.000 1.200 1АОО 1.600 1.800 2.000 П 1.ООО 1.ООО 1.ООО 1.ООО 1,ООО 1.ООО 1.ООО 1.ООО 1.ООО 1.ООО П= .ООО .ООО .ООО .ООО .ООО .ООО .ООО .ООО .ООО Г1ЯАЬ $0ЬПТ10Я, Тги 1.000 Х -2.000-1.$00-1.600-1.400-1.200-1.000 -.800 ".600 -.400 †.200 Х= .400 .600 .800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .997 .991 .Ю5 .940 П= .5$$ .407 .247 :132 .063 .027 .010 .003 .000 пк 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .996 .9$9 .973 .937 ВЕ .591 .409 .247 .132 .063 .027 .011 .004 .000 Вив ЕАВ .14106Е-02 Рис.
!0.7. Типичная выдача результатов, полученных с помощью В))дьз. .000 .200 .500 .000 .000 ЛОО .869 751 .$68 .753 программьг ной с формированием модифицированного уравнения (п. 9.2.2)„ а также с таким выбором коэффициентов )7 или б в соотношении (10.20), который способствовал бы уничтожению коэффициента при производной наинизшего нечетного порядка.
Нели- Если э=0.001 (тс„п — — 10), то ударная волна становится значительно более крутой (табл. 10.8 и рнс. 10.8) и имеет тенденцию к возбуждению колебаний, связанных с дисперсией. 1 2 Впввооттяе евтс)х,ввс) 3 С 4 с соивьеиеятввт еввов Гоистпн! 5 С 6 7 в 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1В о о о !! о о о о о б с о о о о о о о о о ОГ О ы сО ф $ о ОС к СО $ о" 3 о о о СО о о -и "с «~ ы о о ,о о 5 !! о й а ОВОО ам ,с '" о о ОЫО ° аОО В ОХС О о8оо оооо З38$ со С'С о о о оооо оооо — СО СО ОС СО С' СЧ СЧ оооо оооо яоя~ оооо СО 6 О со оооо С ФсО с' с' с' СО СО СО СО оооо О СО О Я С'С Со СО о о о ао8о оооо о о— 8 со о о о$88 о о -' О СО О О оооо оооо со о О О о в о !! сс ойкай ~- о о и во ы о О о о!! о сс Е сО Я ОС о о - !! О. ы О о а В о о"юи „, а,о ОВоо Сс о с' о ооо о88о оооо оо оо оооо оооо ! 8ос с о8оо оооо ! О со со \О 8ооо оооо 8 со сс с'4 .О О СО О оооо О СО СО 8о со ' о -' о оса ось О со — О оооо ОС ОО 8О Оъ8 -' о о «' 8И о о 88 о- С'С СО а ~~п о О о.
о о Я О в. ойЕЕ ~- о о о $ !0.1. Одномерное уравнение Бюргерса 449 нейный характер уравнения (10.3) приводит к появлению многих добавочных произведений, не укладывающихся в рамки дисперсионно-диссипативного образца, фигурирующего в п. 9.2.2. Если построить эквивалентную линейную схему за счет локального замораживания нелинейных коэффициентов, то получаются следующие оптимальные значения коэффициентов 6 и йч 1 (лги//Лх)т т= — + ор 12 г/.„= 0.6+ (Мит/Ьл)т (10.
27) Очевидно, эти значения представляют собой естественное обобщение оптимальных значений, полученных в п. 9.4.3 для тем- м.в нв а.в Х Рис. 10.8. Распределение скорости при 1 = 2.00 и тт н = 100. Обозначения см. в табл. 1О.1. пературного фронта с конвекцией.
Однако использование значений (10.26) или (10.27) в данном случае не является столь же успешным, как в п. 9.4.3, преимущественно в силу влияния добавочных нелинейных членов, присутствие которых не отражено в нашем анализе. На основании изложенного здесь была принята альтернативная стратегия. Она сводится к эмпирическому выбору 6 и д, а также к введению достаточно интенсивной искусственной диссипации, способной ликвидировать ббльшую часть ряби без размазывания ударного фронта по чрезмерно большому числу узловых точек.
Результаты, приводимые в табл. 10.5 и на 29 К. Флетчер, т. 1 450 Гл. !О. Нелинейные аадачи е преобладающим влиянием коиаекнии рис. 10.8, свидетельствуют об успехе этой стратегии и о том, что даже конечно-разностная схема Кранка — Николсона дает достаточно точные результаты при условии разумного применения искусственной диссипации. Однако рассматриваемый пример является весьма подходящим для использования искусственной диссипации, так как точное решение дает постоянство повсюду, кроме ударной волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
