Fletcher-1-rus (1185917), страница 76
Текст из файла (страница 76)
10.1. Формирование неоднозначного решения невязкого уравнения Бюр- герса (10.2). решениям. На рис. 10.1 дается схематическая иллюстрация того, как происходит этот процесс. Конвекция переносит волну слева направо, и на рисунке показаны решения для последовательности значений времени 1 = О, 1„ 1з. Точки на волне, где значения й больше, подвергаются более быстрой конвекции и в конечном итоге опережают участки волны, конвектируемые с меньшими значениями й.
Чтобы уравнение (10.2) имело единственное решение (и приносило результат, имеющий физический смысл), необходимо посгулировать возникновение ударной волны (линия аЬ на рис. 10.1), при переходе через которую й изменяется разрывным образом. Сравнимая с этой схемой эволюция волны для «вязкого» уравнения Бюргерса (10.1) показана на рис. 10.2. Вязкий член тдзй/дхз производит двоякое воздействие.
Во-первых, он уменьшает амплитуду волны при возрастании 1 (точно так, как и для уравнения переноса). Во-вторых, он предотвращает развитие многозначных решений, подобных показанным на рис. 10.1. $ 10.1. Одномерное уравнение Бюргерса Рис. !0.2. Эволюция решения уравнения Бюргерса (10.1). в работе ]Р!е1сЬег, 1983а]. В п. 10.1.4 с помощью уравнения Бюргерса демонстрируются различные вычислительные алгоритмы для расчета течений с преобладающим влиянием конвекции. Существует альтернативный подход к обращению с нелинейным конвективным членом.
Он требует, чтобы уравнение (10.1) было переписано в консервативной, или дивергентной, форме дй дР дай — + — — т — =О, дг дк дка (10.3) где Б = 0.5 й'. Группы членов наподобие г" естественным образом возникают при выводе уравнений, определяющих течение жидкости (п. 11.2.1), и нередко подвергаются прямому моделированию в вычислительных алгоритмах, особенно при исследовании течения сжимаемой жидкости ($ 14.2 и 18.3). Та же идея используется и прн формулировке группового метода конечных элементов Я 10.3).
Наличие нелинейного конвективного члена в уравнении (10.2) способствует также вознкновению побочного эффекта Вышеупомянутые особенности делают уравнение Бюргерса очень подходящей моделью для проверки работы вычислительных алгоритмов для описания таких течений, где предвидятся либо очень большие градиенты, либо ударные волны. Роль этого уравнения как средства для проверки действия вычислительных алгоритмов облегчается за счет применения преобразования Коула — Хопфа [Со!е, 1951; Нор1, 1950], позволяющего строить точные решения уравнения Бюргерса для многих комбинаций начальных и граничных условий.
Примеры использования уравнения Бюргерса с такими целями приводятся 432 Гл. 1О. Нелинейные задачи с преобладающим влиянием конвекнии (а11аз1пп). Если начальное условие й(х, О), относящееся к (10.2), разлагается по соответствующим компонентам Фурье, как это было сделано при выводе уравнения (9.30), то последующая эволюция решения, определяемого уравнением (10.2), приведет к быстрому расширению спектра длин волн с заметными амплитудами, реализуемому через посредство произведений компонент Фурье, появляющихся из-за наличия нелинейного члена йдй/дх. Когда решение строится на сетке с размером ячейки Лх, наименьшая длина волны, которую можно различить, равна 2Лх. Энергия, связанная с волнами, длина которых меньше 2бх, выявляется в связи с волнами большой длины. Это явление называется побочным эффектом [Напптппд, 1973).
К сожалению, коротковолновые вклады в решение, подвергнутые побочному эффекту, искажают истинный характер длинноволновой части решения и даже могут привести к неустойчивости (которую называют нелинейной неустойчивостью) в тех случаях, когда интегрирование уравнений проводится на очень больших интервалах времени, как, например, при численной реализации прогноза погоды. Следует напомнить (й 9.2), что при наличии любого вида диссипации — физической или численной — амплитуда коротковолновой части решения весьма существенно уменьшается; в этом случае ошибки, порождаемые побочным эффектом, оказываются минимальными.
Именно такая ситуация складывается для большинства инженерных задач гидроаэродинамики, когда, как правило, имеет место физическая диссипация. Однако многие классы геофизической гидродинамики характеризуются конвекцией волновых пакетов при очень малой физической диссипации или ее отсутствии. В этих условиях побочный эффект, а также нелинейная неустойчивость, может представлять серьезную проблему. 10.1.2. Явные схемы Конечно-разностное представление уравнения (10.1) в соответствии со схемой ВВЦП имеет вид Дополнительный множитель и" у конвективного члена пред! ставляет собой локальное решение в узле (1, и).
Это решение имеется в нашем распоряжении, а поэтому различные схемы (например, схема Дюфорта — Франкела и др.), предложенные 4 1О.1. Одномерное уравнение Бюргерса 433 для решения линейного уравнения переноса ($ 9.4), могут быть применены и к решению уравнения Бюргерса. Представления об ошибке аппроксимации и о модифицированном уравнении также могут быть распространены на нелинейные уравнения типа уравнения Бюргерса.
При применении анализа устойчивости по Нейману дополнительный множитель ил у конвективного члена временно замораживается, 1 так как анализ устойчивости, строго говоря, применим только 1.0 0 -1.0 0 х 1.0 -1.0 О х Рнс. 10.3. Точное решение уравнения Бюргерса. 1.0 к линейным уравнениям. Несмотря на то что применение ана. лиза по Нейману к нелинейным уравнениям не поддается строгому обоснованию, выяснилось, что на практике такой анализ эффективен. Вполне очевидный вариант применения схемы ВВЦП к уравнению (10.3), эквивалентный (10.4), принимает вид цл+ цл ел лл,„(ц» 2цл 1 цл ) 31 + 2ал Ьла О.
(10.5) Алгоритм, составленный на основе (10.5), является составной частью программы Вайса (рис. 10.4) для случая МЕ = 1. Потенциально более точная модель конвективного члена строится с помощью четырехточечной дискретизации со сдвигом вверх по потоку. Такая модель применялась к эквивалентному линейному конвективному члену в п. 9.3,2 и 9.4.3.
Четырехточечная дискретизация дг/дх со сдвигом вверх по потоку вводится посредством замены (Рьег — га г)12Лх в уравнении 23 К. Флетчер. т. 1 '59 60 61 62 63 64 6$ С бб С 67 С 6$ 69 С 7О 71 72 73 74 '7$ 76 77 7В 79 во $1 $2 С аз с Вб С 05 Вб 07 С вв с $9 С 9О 91 '92 '93 94 95 '96 97 9$ 99 2ОО 101 Ьоз ]ОЗ 304 105 106 )О7 1ОВ 109 31О 111 112 11З 60то 11 10 йй(1) Ем + 0.5ий ВВ(1] 1.О - 2.О*ЕМ - $ СС(1] КМ+ ОЛ $ 11 ВЕ1ТЕ (6, 12) йй, ВВ, СС 12 Роюат(( йй ',зтвл,' вв ',зтвл, сс ' зтвл,д змзтзйывк ц змо ктйьойтк вкх сйьь кхзи(дВ]х,х о,ок,вх,хмйх,йьзи,тзмйх] (В(1) 0(1) 00(дмзй) 0(дмйй) ВО 14 д 1,дмйх ВОЫК-15 1З й(х,д] О.
14 соитзиок ВЕ1ТЕ(6.15) Т1Н 15 Ройийт(' 1ИХТ1йь $0ЬОТ10Н, Т1Н ',Р5.Ы вй1ТЕ(6,161(Х(д),д 1,дмйх] ВЕ1ТЕ(6,17] (0(д1,д 1,ЛЯХ) 16 РОЮ(йт(' Х ',12Р6.3] 17 Роймйт(' 0 ',12Р6.3] мййсв воьотзои зи тзнк ВО 27 И 1,МТ1Н 1Р(ИЕ .СТ. 3)60ТО 21 КЗРЫС17 $СИЕИЕ$ 1Р 1 1$ 1РЬТР .ЕО. 1]ЕР(1] 0.5*0(1]*0(1) 1Р(1Р .ЕО.
2)ЕР(1] ~ 0.5*09(1)*ВВ(1) КР(2) - КР(П ЕР(3) ЕР(2] ХР(19 ЛО. 1]КР(4) ОЛ"0(2)*0(2] 19(1Р .Ео. 21ЕР(41 0.5*Во(2)*ВВ(2) ВО 20 д 2,дмйР 1Р (Нк . ЕО. 3) ЕР (1) ЕР (2) ЕР (2) ЕР (3) ЕР (3) ЕТ (4) зв(1Р .В). 1)ЕР(4] 0.5*]Я(д+1)*в(д+1) ХРПР ЛО. 2)ЕР(4) 0 5*\В(д+1)*(В(д+1) ВВМ ви(0(д"1) - 2 ° «0(д] + 0(д+1)) 1Р[НЕ .Ик. 2 .Ой. 1Р .ЕО. 2)60ТО 19 дР ° д+1 1РЫ .ЕО. ЛВР)дР ° д ВВН 0.5*ВОН+0.5*3~02(д) "2.*0(д+1)+003Р+Н]+0.5*(0(дР)-0(д)) 19 (В(д) 0(д] + йй(1Р) ЕР(21 + ВВ(1Р)*ЕР(31 + Сс(1Р] "ЕР(4) + ВВИ 1Р(не .ЕО.
3]ВВ(д) ВВ(д! — 00'ЕР(Ц зо соитзивк 1Р(НЕ .НЕ. 2 .Ой. 1Р .ЕО. 2)СОТО 25 ХР 1Р + 1 6070 1$ Рис. (0.4 (нродолжеиие). 114 С 115 С 116 С ИТ ив 119 ЭХО 121 122 згэ 124 125 126 127 128 329 ЭЗО 131 зэг эээ 134 С ЭЗВ С 1Э6 С эзт ЭЭВ 139 140 141 142 звэ 144 145 146 147 148 149 С 15О 151 152 С 153 154 155 156 157 ЗВВ С 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 ЭТО 171 172 21 22 гэ 24 25 26 27 гв 29 эо ЗЭ Тй101АООПАЬ ВТВТЕН ГОН 1НРЬХС1Т 8СНЕНЕЕ П[НО .ЕО. Цозн - 0[Ц 00 22 д 2,дНАР дн д-з П<ди .Пе. ЦВЭН 0(дм-Ц А<ЦдН> 0.5*00«01Н А(г,дн) - ен - ол*в - <о.гз«с + Эл 00] о(дм) А[з,дм) 1.0 — 2.0"ЕИ + 8 + 1.5«ЯЯ«О(д) А[в,дн) ен - ол в + <о.гз с - ол со]«0<д+ц ЭГ<йе .не.
5 >сото 22 А(г,дм) А(2,дН) — 0.5«84«0(дн] А(з,дн) А(З,Л[) + ВА*О(д! А(4,дЮ = А[в,дн) - ОЛ*ЭА*0<д+Ц В(дП) АА(Ц*0(дН) + ВВ(Ц*0(д) + СС(Ц«0(д«11 В(Ц В(12 - А(2,Ц*О(Ц п(на .Во. о)сото 24 ВП) - В(Ц вЂ” А(З,Ц 0(Ц В<2> - В[2) — А[1,2]*0[ц ВЕОВСЕ А ТО ТВ101АООНАЬ ГОНИ 00 23 дн З,ОПАР днм - ди - 1 В]ЗН А(1,дЮ/А(2,дИН) А(2,0Ю А(2,дН) " А(з,дмм)«ООП А(з,дЮ А(э,дн) - А(4,ЛИ)«ВОН А (1,дИ) О. В(дИ! В(дм) — В(дНН)*ВОН СОПТ1ИОЕ А(1,Ц ° О. А(1,2) О. А(2,Ц = О. А(в,дНАГ) О.
САЬЬ ВАНГАС[й,дНАГ,Ц САЬЬ ВАИ8ОЬ[В,ОВ,А,ЭНАГ,Ц 00 26 д г,днАР 1Г(НЕ .Ье. 3)О(д) 00(д) п<не .От. 3]о[д) - 00(д-ц СОИТ1ПОЕ СОНТ1ИОЕ Нй1ТЕ(6,28)Т1ИАХ ГОВНАТ(' Г1ИАЬ ВОЬ0710П, Т1Н «',Г5 НВ1ТЕ(6,16)(Х[д),д«1,дНАХ) 881ТЕ(6,17) <0(д],д 1,Л[АХ) ИВ1ТЕ(6,2Й (ое(д),д 1,дНАХ) ГОВНАТ(' ое ', 1286.3) ВОН О. ОО 30 д 2,дИАР ВНН = ВОМ + <О(д) — ое<Л)* 2 Внв - войт<вон](АПР-Э.)] Нй1ТЕ(6,3ЦРИВ ГОНМАТЦ ННБ ЕНН=',812.5) 8ТОР ЕИР Рис. (0.4 (окончание). $10.!. Одномерное уравнение Бюргерса 43Т (10.5) на оператор ь1„"Р, который в случае положительного и имеет форму /!4!Р !+! ! — 1 1 '! ( ! — 2 ! — ! + ! !+!) (!(! 6) 2ох ЗЬх В случае отрицательного и выражение (10.6) заменяется иа / !4!Р !+! ! — ! 1 4 ( 1- ! ! !+! !+е) (10 7) 2ох Зох Формулы (10.6) и (10.7) имеют ошибки аппроксимации порядка 0(Лх') независимо от выбора г/, за исключением случаи !/ = 0.5, когда эти ошибки имеют порядок 0(Лх'). Для рассматриваемой в п.
10.1.4 задачи о распространении ударной волны явная четырехточечная схема со сдвигом вверх по потоку, соответствующая формулам (10.6) и (10.7), включена как составная часть в программу В1)Ксх (рис. 10.4) для случая МЕ =3. Уравнения, определяющие неустановившиеся одномерные течения невязкой жидкости с ударными волнами ($10.2 и 14.2), по своей структуре аналогичны консервативной форме невязкого уравнения Бюргерса, т. е. (10.8) где Р=0.5й'. Ранее к линейному аналогу уравнения (10.8) в форме (9.2) применялась схема Лакса — Вендроффа (9.16). Ввиду нелинейности функции Р замена д'й/д1е на эквивалентную производную будет значительно сложнее, чем это было в.
п. 9.1.3. Так, из уравнения (10.8) следует дхй даР д дР 1 дР дй дР ) и — =А — = — А —, д!х дхд! дх д! ) дг д! дх ' — — ( ) где А = дР/дй. В случае уравнения Бюргерса А = й. Использование вышеприведенных соотношений дает (10.9Р Если ввести подходящую форму дискретизации для д(АдР/дх)/дх, то при применении схемы Лакса — Вендроффа к уравнению (10.8) получим а+! н о! и х и! =и! — 0.5 — „(Р!+! — Р! !)+ + 0.5( — ) (Аге!м(Р!.г! — Р!) — А! иа(,Рà — Р1,)1, (10.10У .$38 Гл. 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
