Fletcher-1-rus (1185917), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В силу указанных свойств уравнение (10.35) имеет исключительно простое стационарное решение й„=0.5[1 — 1Ь ( '~ )]. (10.36) Уменьшение т приводит к обострению градиента, центрирован- ного в точке х= О. Уравнение (10.35) можно записать в консервативной форме дй дР дай — + — — т — =О, д1 дл дха $10.!. Одномерное уравнение Бюргерса Таблииа 10.8.
Изменение среднеквадратичной ошибки в зависимости от г„для решения уравнения (10.39) при т 0.008 га Средненаад ратнчнаа ашнбна !ло ~ !ло ~ ьто ~ кзо' (Ю.зо) ~ О.0084 ~ О.0093 ~ 0.0123 ~ 0.0Р31 Таблица 10.9. Решения уравнения (10.39) с использованием неравномерной сетки при га !.3 и т 0.08 0.799 1.000 0,500 0.201 0.040 0.004 0.996 0.960 0.000 и, точное Ошибки, приводимые в табл. 10.8, указывают на то, что использование дискретизации для дР/дх в соответствии с левой частью формулы (10.30) способствует уменьшению точности с увеличением г,.
В противоположность этому использование формулы (10.31) вызывает уменьшение среднеквадратичной ошибки при достаточно больших г,. Однако повышение точности при этом не слишком велико. При г„= 1.3 оба упомянутых решения сравниваются с точным решением в табл.
10.9. При х = 0.0 оба решения точны, а наиболее заметные вклады в среднеквадратичную ошибку приходят из четырех точек: х = ~0.221, ~0.809. Для применения метода неравномерных сеток к «реальным» задачам о течении жидкости обычно необходимо провести большое число численных экспериментов с целью наилучшего выбора коэффициента изменения сетки г„, а также и схемы дискретизации. При решении нестационарных задач с большими и,(10.30) ~ 0.999 ~ 1.001! 0.993) 0.807 0.500 ~ 0.193! 0.0071~ — 0.001~20а001ф0.0161 и, (10.31) ~ 0.999 ~ 1.002 ! 0.967 ~ 0.788 ~ 0.500 ) 0.21 2 ) 0.033 -0.002! 0.001 ~ 0.0068 456 Гл.
1О. Нелинейные задачи с преобладающим влиянием коивекиии местными градиентами может оказаться необходимым ввести сетку, адаптирующуюся к локальному решению. Иначе говоря, область локального измельчения сетки может изменяться во времени. Подобного рода методы введения адаптивных сеток [ТЬогпрзоп, 1984; ТЬошрзоп е1 а1., 1985) находятся за пределами данной книги.
Введение неравномерных сеток может потребоваться также и там, где вычислительная граница не совпадает с локальным характером сетки. В работе (!ч(оуе, 1983] предлагается обзор традиционных приемов разрешения подобных ситуаций. Более совершенный подход к решению задач с нерегулярными гра. ницами связан с использованием обобщенных криволинейных координат (гл. 12), при введении которых вычислительная граница автоматически совпадает с сеточной линией.
$10.2. Системы уравнений Материал, изложенный в $10.1 и в предшествующих главах, относится к случаю существования единственного определяющего уравнения. Однако гидроаэродинамические явления обычно описываются посредством систем уравнений (гл. 11). Исключением является течение невязкой несжимаемой жидкости, описываемое уравнением Лапласа ($ 11.3). Цель данного параграфа состоит в том, чтобы рассмотреть систему определяющих уравнений и применить к ней типовые приемы дискретизации, которые ранее уже применялись к случаю одного определяющего уравнения, Одномерное неустановившееся течение' невязкой сжимаемой жидкости определяется системой из трех уравнений: неразрывности (п.
11.2.1), импульсов в направлении х (п. 11.2.2) и энергии (п. 11.2.4). После введения подходящих безразмерных переменных (п. 14.2.3) система уравнений может быть записана в форме — + — =О, дч дГ де дл (10.40) где ри рп +— р ри т (т 1) + 0.бриз . (10.41) ( Р, + 0.бриз) и В (10.41) р — плотность, и — скорость, р — давление, у — от- ношение удельных теплоемкостей. 457 $ !Онй Системы уравнений Хотя зависимыми переменными являются р, и и р, дискретизация применяется непосредственно по отношению к ч и Г.
Это будет проиллюстрировано здесь применительно к двух- этапной схеме Лакса — Вендроффа (10.!1), (10.12). В применении к уравнению (10.40) при этом получим е1!+!м = 0.5 (Ч! + Ч!+!) — 0 5 — „(Гг+! — Р!), (10.42) (10.43) На каждом этапе построения решения величины р, и и р вычисляются по выражениям (10.41) для ч, так что можно найти и компоненты Г. В работе [К!ор1ег, Мсасае, 1983] используется подход с помощью модифицированного уравнения, ставящий целью корректировку основной (дисперсионной) ошибки в результате применения схемы Лакса — Вендроффа к решению уравнений Эйлера (10.40), моделирующих одномерную задачу об ударной трубе (задача 14.8).
Полученная авторами схема является более точной, ее решения имеют меньшую тенденцию к колебакиям, но, как правило, для обеспечения устойчивости этой схемы требуется задавать весьма малые значения Аг,„. Для решения систем уравнений можно строить и неявные схемы. Так, например, схема Кранка — Николсона в применении к уравнению (10.40) будет иметь вид Ч!+' — Ч,". = — 0.25 — 1(Г!+! — Г! !) + (Г!„+!' — Г!+!')1 (10.44) Чтобы получить линейную систему алгебраических уравнений для АЧ"+', нелинейные члены Г"е' разлагаются в ряды типа ! Г"+' = Г" + А лч"+ + ..., (10.45) где А(=дГд/Ч) представляет собой матрицу Зм',3, вычисляемую с помощью (10.41).
Конкретную форму матрицы А можно получить из соотношения (14.99). После подстановки (10.45) в (10.44) и перегруппировки членов получим 025 Ь А - АЧ"+!+1бЧ!! ь!+0.25 —,х Аг+ ба + й! й! = — 0.5 — (Г!+! — Г," !). (10. 46) Уравнение (10.46) представляет собой блочно-трехдиагональную систему размерности 3)с', 3 относительно ЛЧ"+', которую можно решать с помощью блочного варианта алгоритма 458 Гл.
10. Нелинейные задачи е преобладающим влиянием конвекнии Томаса (п. 6.2.5). Размерность блока 3 к', 3 является прямым следствием числа определяющих уравнений в каждой узловой точке. Если из уравнений (10.46) получить ЛЧ"+', то решение после и-го шага по времени вычисляется по формуле Ч"+' = Ч" + ! ! + цч"+'. Устойчивость дискретизированной схемы, например (10.46), может быть определена с помощью анализа по Нейману ($4.3) так же, как это делается для скалярных уравнений. Учитывая, что анализ по Нейману применим только для линейных уравнений, целесообразно линеарнзовать уравнение (10.40) до дискретизации. Это значит, что получится уравнение — +А — „=0 дч дч дГ дх где А = — дГ/дЧ, как и было в формуле (10.45).
Анализ устойчивости по Нейману проводится согласно процедуре, описанной в п. 4.3.4, если не считать того, что вместо коэффициента усиления 6, как в (4.33), будет фигурировать матрица усиления С. Длн случая схемы Кранка — Николсона (10.46) результат имеет вид аг -1 . аг С = (1+ 051 — „А з!и О) (! — 05ю' — А з!и О). (!047) Если собственные значения матрицы С обозначить через Л, то для устойчивости требуется, чтобы было 1Л ~ ( 1.0 при любых пл Устойчивость будет зависеть от локальной величины собственных значений матрицы А в (14.32).
Если отвлечься от появления матрицы Якоби А, структура выражения (10.47) оказывается весьма похожей на то, что было при применении схемы Кранка — Николсона к линейному уравнению конвекции (табл. 9.1). Система уравнений (10.40) более подробно рассматривается в п. 14.2.3, где программа ЬНОСК формируется на основе двухэтапной схемы Лакса — Вендроффа (10.42), (10.43) и схемы Мак-Кормака (14.49), (14.50).
Типовое решение распространяющейся ударной волны показано на рис. 10.9 после 25 шагов по времени. Решение было построено с помощью равномерной сетки Ах = 0.01 в интервале 0 ~х(1.0 В момент (= 0 ударная волна располагается в точке х = 0.5; в последующие моменты времени она распространяется вправо с безразмерной скоростью ударного фронта, равной 1.195. В уравнение (10.40) вводилась искусственная диссипация с целью получения более гладкого решения. Форма членов с искусственной диссипацией приводится в формуле (!4.53).
Гру- 5 10.3. Групповой метод конечных элементов 459 бо говоря, это получается аналогично тому, как было при добавлении некоего члена к одномерному уравнению Бюргерса (10.3) с тем, чтобы получить уравнение (10.25). Однако величина ч, являющаяся эквивалентом т, в (10.25), представляет собой функцию локального решения, так что она имеет сколь- нибудь ошутимое значение лишь на ударной волне. ы Х Рис.
10.9. Профиль распространяющейся ударной волны при Ра1Р, = 1.5, у = 1.4, т = 2 в (14.53). Сравнивая результаты, показаные на рис. 10.9, с результатами рис. 10.8, мы убеждаемся, что расчетный профиль ударной волны для «реального» определяющего уравнения является менее крутым, чем для одномерного уравнения Бюргерса. Отчасти это связано с относительной сложностью реальных уравнений, а отчасти отражает сравнительную точность схем Лакса — Вендроффа и Кранка — Николсона.
и 10.3. Групповой метод конечных элементов Метод конечных элементов был применен к задаче Штурма — Лиувилля в $5.4, к одномерному уравнению диффузии— в п. 5.5.1, к двумерному уравнению диффузии — в $8.3 и к двумерному уравнению переноса — в п. 9.5.2. Во всех этих случаях определяющие уравнения были линейными.
Однако определяющие уравнения гидроаэродинамики (гл. 11) содержат, как правило, нелинейные конвективные члены. В примитивных переменных эти коивективиые члены обладают квадратичной нелинейиостью в случае течения несжимаемой жидкости и кубической нелинейностью для сжимаемо- го потока. 4ОО Гл. !О. Нелинейные задачи с преобладаюсиим влиянием конвекции Обычный метод конечных элементов связан с введением отдельного приближенного решения типа (5.44) для каждой зависимой переменной, фигурирующей в определяющем уравнении. В случае применения метода Галеркина получаются многочисленные произведения узловых значений зависимых переменных, особенно большое число которых происходит от нелинейных конвективных членов.
Эта особенность является одной из причин недостаточной экономичности метода конечных элементов в применении к многомерным задачам 1Р!е1сЬег, 1984). Однако вклад в неэкономичность, который вносят нелинейные члены, можно аннулировать за счет введения группового варианта метода конечных элементов [Е!е1сЬег, 1983Ь|. Этот групповой вариант может применяться к решению любых нелинейных задач, однако он особенно эффективен по отношению к нелинейностям конвективного происхождения. Формулировка группового варианта требует осуществления двух шагов: 1) уравнения приводятся к консервативной форме, как, например, уравнение (10.3); 2) одно и то же приближенное решение вводится для группы членов под знаком дифференцирования, например для Г в уравнении (10.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
