Fletcher-1-rus (1185917), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Групповой вариант исследовался также авторами работы (СЬг!з!!е е! а!., 1981), которые называли его «аппроксимацией произведений». Оии показали, что для представительных модельных задач групповой вариант оказывается теоретически столь же точным, как и обычный вариант метода конечных элементов. Общий вывод, который можно сделать, исходя из содержания данного параграфа, сводится к тому, что групповой вариант метода конечных элементов должен быть предпочтеи обычному варианту этого метода с целью достижения приемлемой экономичности, если дискретизация осуществляется по отношению к нелинейным уравнениям гидроаэродинамики (гл. 11) 467 $10.4. Двумерные уравнения Бюргерса с числом измерений более одного.
Однако нет оснований ожи- дать, что использование группового варианта приведет к умень- шению точности решения. 9 10.4. Двумерные уравнения Бюргерса 10.4.1. Точное решение Как и в случае одномерного уравнения Бюргерса, точные решения могут быть построены (Р!е1сЬег, 19836) с помощью преобразования Коула — Хопфа. При двух измерениях преобразование Коула — Хопфа связано с введением одной функции Ф, через посредство которой входящие в уравнения (10.57) и (10.58) функции й и б выражаются по формулам — 2т (дФ/дк) — 2т (дФ)ду) Ф Ф В результате уравнения (10.57) и (10.58) преобразуются в одно-единственное уравнение которое представляет собой двумерное уравнение диффузии (8.1).
При задании надлежащих граничных и начальных условий уравнение (10.60) имеет точное решение, которое при помощи формул (10.59) может быть использовано для формирования точных решений уравнений (10.57), (10.58). Главный интерес представляет стационарное решение уравнений (10.57), (10.58). Поэтому будут отыскиваться точные решения стационарной части уравнения (!0.60), т.
е. даФ даФ (10.61) (10.60) Подобно тому как одномерное уравнение переноса имеет свой многомерный аналог ($9.5), так и одномерное уравнение Бюргерса может быть обобщено на многомерный случай. Двумерные уравнения Бюргерса имеют вид дй дй дй г дай дай х — + й — + о — — т ~ — + — ) = О, (10.57) д( дк ду ~ дка дуа 1 — + й — + й — — ч ~ — + — ) = О. (10.58) дд дд дд / деа даа Х д( дк ду ~ дка дуа 1 Двумерные уравнения Бюргерса совпадают с двумерными уравнениями импульсов для ламинарного течения несжимаемой жидкости (п. 11.5.1), если в последних пренебречь членами с давлением. 468 Гл. 10.
Нелинейные задачи с преобладающим влиянием конвекини где коэффициенты аь ..., аз, а также параметры Л и хе подбираются так, чтобы придать надлежащие особенности точному решению. Если воспользоваться формулами (10.59), то соответствующие точные решения уравнений (10.57), (10.58) принимают вид тч (а,.(. а у -1-Ла, [е 1««'1 — е ам «'1] сов (Лу)) (10.63) (а, -1- а х -1- а«у -1- а,ху + аз [с~г««'1 -1- е ~ г«а] соз (Лу)) — Зч (аз + аах — )саз [е" 1««'1 -1- е "<" »В] Мп (Лу) ] д— (а, + аз«+азу 4-а«ху -(-а,[е 1«»а+е "М «1]соз(Лу)] (! 0.64) Типичный вариант точного решения для стационарного «течения» с очень большим внутренним градиентом показан на рис.
10.12. Это решение получено при следующем выборе параметров: а, = а, = 1.3 Х 10", аз = а, = О, аз = 1.О, Л = 25, хо = 1 и = 0.04. (10.65) Точное решение (10.63), (10.64) особенно полезно для того, чтобы оценить степень точности различных алгоритмов [Е!е1с)1ег, 1983с], как показано на рис. 10.11. 10.4.2. Схемы расщепления Разработка схем расщепления для многомерных уравнений, например двумерных уравнений Бюргерса, идет по пути, близкому к тому, который был указан в $ 8.2, 8.3 и 9.5. Дополнительное усложнение вносит при этом нелинейность.
Как преодолевается подобное усложнение, будет показано ниже с помощью обращения к двумерным уравнениям Бюргерса, представленным в консервативной форме (10.52). Уравнения (10.55), (10.56), представляющие собой дискретизированную форму уравнения (10.52), соответствуют как групповому варианту дискретизации с конечными элементами, так и конечно-разностной дискретизации, если массовые операторы представить в таком виде: М»=(б» 1 25»с б«) Мн=(бу 1 25»~ бн) (10 66) Приводимое ниже точное решение уравнения (10.61) обеспечивает значительную свободу контроля над соответствующими решениями для скоростей, удовлетворяющими уравнениям (10.57) и (10.58). Имеем О = а, + азх+ азу+ азху+ аз [еа1«-«1+ е-"<»- 1] соз(Лу), (1О 62) $10.4.
Двумерные уравнения Бюргерса 469 как в (9.86). Выбор б, = б„= 0 дает обычную трехточечную конечно-разностную дискретизацию; выбор же значений б„=ба —— е дает групповой вариант метода Галеркина с конечными элементами, основанный на билинейной интерполяции. Было бы возможно ввести трехслойную дискретизацию по времени для уравнения (10.55), как это было сделано при выводе схемы (9.87).
Однако здесь нас интересует использование псевдоиестационарной формулировки ($ 6.4) с целью получения решения для стационарного состояния. Поэтому мы воспользуемся приводимым ниже вариантом двухслойной чисто неявной (т = О, 6 = 1) дискретизации по времени для уравнения (10.55): М„Е М„ф~,, =ВНЗ"". (10.67) Такая дискретизация приведет к схеме расщепления, эквивалентной расширенному методу Ньютона (и. 6.4.1). Желая получить из уравнения (10.67) линейную систему уравнений для Дй"+', необходимо провести линеаризацию нелинейных членов г, С и $ в выражении (10.56) для КНБл+', для этого осуществляется разложение в окрестности и-го временнбго слоя, что дает Р"+' = Рл+ А дй"+'+ Сгл 1= Сел+ Вдйл+~+ Вл+1= 8л + С Дйл+1+ (10.68) где А, В и С вычисляются на основе выражений (10.53) в виде ((Зи + п~) 2ив дч ( ' ~ ) (, 2ис (ие+ Зае) (10.69) После подстановки в уравнение (10.67) появляется возможность построить следующую приближенную факторизацию: [М, + Д1 (Е,А — тЛ„л — 0.5М„С)1 Дп' „= Дг КНЗ", (10.70) [М„+ Дг (Е.„ — тЕ„н — 0.5М„С)[ Дп"+' = Дц' .
(10.71) Тот факт, что в уравнения (10.70) и (10.71) входят матрицы Якоби А и т. д., делает уравнения блочно-трехдиагональными вдоль сеточных линий, параллельных осям х и у соответственно. Так как матрицы А и т. д. зависят от решения, возникает 470 Гл. 10. Нелинейные задачи с преобладающим влиянием конвекнии необходимость в проведении новой факторизации блочно-трех- диагональной системы на каждой итерации п.
Эффективное решение блочно-трехдиагональной системы строится с помощью блочного алгоритма Томаса (п. 6.2.5). Анализ устойчивости по Нейману применяется к схеме (10.70), (10.71) после временного замораживания значений А и т. д. Этот анализ показывает, что алгоритм схемы расщепления (10.70), (10.71) является безусловно устойчивым.
На практике использование чрезмерно большого шага по времени может привести к нелинейной устойчивости. Схема расщепления имеет ошибку аппроксимации порядка 0(ЛА Лх', Лу'). Поскольку нас интересует только решение для стационарного состояния, можно рассмотреть такие модификации вида левых частей уравнений (!0.70) и (10.71), которые позволили бы достичь стационарного состояния при уменьшенном обьемс вычислений. В пределе стационарного состояния ВНЕ" = О, так что никакая модификация левой части не может оказать влияния на решение для стационарного состояния, даже если она и повлияет иа нестационарное решение. Предпочтительная стратегия сводится к такому выбору формы левых частей, чтобы на каждой итерации построение решения было наиболее эффективным, однако чтобы можно было избежать существенного увеличения числа итераций, необходимых для достижения стационарного состояния.
Как отмечалось в п. 6.2.5, т скалярных трехдиагональных систем могут быть решены более эффективно, чем одна блочно-трехдиагональная система уравнений размерностью т Х пе. Уравнения (10.70) и (10.71) могут каждое в отдельности рассматриваться так, как если бы это были две последовательно решаемые трехдиагональные системы. Для этого в формулах (10.69) следует вычеркнуть члены, не попадающие на диагональ. Дополнительная экономия может быть получена за счет замены формул (10.69) на А ( 1). В (е (), с (, )( 1).
п072) Это означает, что одинаковые левые части могут быть использованы для каждой из скалярных компонент уравнений (10.70) и (10.71). Иначе говоря, левая часть должна подвергаться факторизации (подпрограмма ВАХРАС) лишь один раз для двух решений (подпрограмма ВАХ601) с различными правыми частями Л( ЙНЯ1 и ЛгРчН8з. Формулы (10.72) вместе с уравнениями (10,70) и (10.71) являются составной частью программы ТФВ13КС (рис.
10.13). 1 гс зс ас 5 С 6 7 8 9 1О 11 12 ЗЗ 14 15 16 17 ЗВ С 19 20 21 22 23 24 С 25 26 С 27 28 29 зо З1 зг зз 34 35 36 37 38 39 40 41 аг 43 аа 45 46 47 ав 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 ТЧВОВО АРРАХЕЗ АРРВСХ1НАТ10Н ГАСТОВ16АТ108 ТО ЗОЬ78 ТЕЕ 8ТЕАОУ 2-0 ВОВОЕВЗ' ЕЯОАТ1088 ГОВ 0(Х,У] АНО Ч(Х,П 01НЕН6108 Вп(21,21),ВУ(21,21) 0(21.21),Ч(21,21),ОЕ(21,21), 1ЧЕ(21,21),8(5,65),880(65),ООО(65),ВВЧ(65],ООЧ(65].сх(З),ст(3], 2СХО(4),СУО(4),ЕНХ(3),ЕНТ(3),ВНХ(3,3],ОНУ(3,3],А(5] соннон ох,от,ве,нх,ку,сх,схо,су,суя,онх,ону,енх.ену,вп,ву,п,ч ОРЕНП,Г1ЬЕ 'ТУВОВО.ОАТ') ОРЕВ(6,Г1ЬЕ 'ТЧВВАО.ОПТ') Аейо(1,1)нх,нт,не,1тнАх,1РВ,Вет,охду ВЕАОП,2)ЬТ1Н,ЕР8,ВЕ,ЕН1,ЕН2 ВЕИ>П, 3 ) (й (д),8=1, 5),И 1 ГОВНАТ(515,3Г5.2) 2 ГОВНАТ(5Е10.3) 3 ГОВНАТ(2Е10.3,4Г5.2) НХР НХ - 1 НХРР НХР - 1 НУР Нт 1 НУРР НТР " 1 АН = НХРР*НУРР САВВ ЕХВОВ(ОЕ,УЕ,А,АЬ) СХП) = -0.5/ОХ СХ(2) О. СХ(3> 0.5/ОХ СУП) = -0.5/ОТ Ст(2) О. Ст(З) 0.5/ВТ СХОП) = ОХ/ОХ/3. схО(г> = -з.
схоп> СХЯ(3) = "СХО(2) СХО(4) -СХО П) суо(п от/от/3. сто(г) -3.*стоп] СУО(3) -СУО(2) СТО(4) "СТОП) ССХ = 1./ОХ/ОХ/ВЕ ССУ 1./вт/От/ВЕ 18(не .Ве. г)ох о. 1Г(НЕ .НЕ. 2)ОУ = О. ЕНХП! = О. ЕНУП) О. 1Г(МЕ .ЕЯ. 3)ЕНХП) = ЕН1 1Г(НЕ .ЕЯ. 3)ЕНУП) ЕН2 ЕНХ(2) 1. — 2.*ЕНХП) ЕНХ(3) ЕНХ П) ЕМУ(2) = 1.
- З.~ЕНУП) ЕМУ(3) ЕНУП) 80 4 1 1,3 ОНХП,1) ССХ"ЕНУП) онх п,г> = -г..онхп,з] ОНХП,З) = РНХП,1) ПМУП,1) = ССУ*ЕНХП] ОНУ(2,1) = -2.*ОНУП,1) 4 ОМУ(3,1! ОМУП,1) Рис. 10.13. Распечатна программы ТФВ(])(б (Начало). 60 61 62 63 64 65 66 67 6$ 69 70 71 72 7З 74 С 75 С 76 С 77 7В 79 ВО $1 $2 вэ Вв $5 $6 $7 вв $9 90 91 92 Зэ 94 95 96 97 9$ 99 АОО 101 гог ЭОЭ ЭО4 1ОЗ 106 1ОТ С ЭОВ 109 11О 111 112 11З С 114 115 С 116 117 11В С 119 С 12О С н',гззю' МЕ и е «',213,' ИК ,213,' мк ", яха',Рв.г т ' 2РВ.Ф Л САЬЬ АВЗВУ(ВИЗУ,АНЗЧ,НЕ,УТ1Н) 1Р(АНЗУ .ЬТ.
ЕРЗ)ООТО 34 ЭР(АН$0 .ОТ. 1;ОЕ+04)ООТО 34 ТВ101АООНАЬ ЗЧЗТЕН$1М ТИЕ Х"01АЕСТ10И Рис. ! О. (3 (Продолжение). 1$(НЕ .ЕО. 1)ЧА1ТЕ(6,5)ИХ,ИТ,МЕ,1ТНАХ ЭР[нк .ЕО. 2)чй)тк[6,6)их,ит,ик,зтнвх 19(не .ео. 3)чй1те[6,7)их,ит,нк,1тнвх 5 РОВНАТ( 2-0 ВПАВКВЗ КОПАтХОМЭ АР-РОМ, Ий,ит. 112,' 1ТНАХ '.13) 6 РОАНАТ[' 2-0 ВУАОЕВЗ ЕОУАТ10ив АР-490, МХ,ИТ 112,' 1ТНАХ ',13] 7 РОВНАТ[' 2-0 ВУАОЕВЗ ЕОУАТ10ИЗ АР-ИО, ИХ,ИТ В 112,' 1ТМАХ ',13] чйзтк(6,$)вкт,отзм,ак,охдт,ких(1).кйт[1) В РОАНАТ(' ВЕТА '.Р5.2,' 071М®',Р5.3,' ВВ ',Р5.1, 1,' 07 ',94.2,' ких ',95.3,' кнт ° 'фтв.э) ВВ1ТЕ(6,9)[А(д),д 1,5],АЬ,РХ,ВТ 9 РОВНАТ(" А ',2Е10.З,ЗР5.2,' АЬ ',Р5.2.' ВХ,В ОЕМЕААТЕ 1И1Т1АЬ $0ЬУТ10М 00 10 д ~ 1,МХ Ч(1,д) ЧЕ(1,д) ч(мт,д) чх(мт,д) У[1,д) Ук(1,д) 10 У(ВТ,д) ° ПК(ит,д) 00 12 Х 2,ИЧР П[й,1) Ук(Х,1! П(Х,ИХ) ° ПК(К,ИХ] Ч[Х,1] Чк(Х,1) Ч[К,ИХ) Чк(К,МХ] 00 11 д ° 2,ИХР Ад д-1 У(к,д) У[Х,1) + 0.5*АЭ~ВХ*(П(Х,ИХ] "У(Е,1)) 11 Ч[й,д] Ч(Х,1)' + 0.5*вд*ВХ*(Ч(Е,ИХ)-Ч(Х,1).) 12 СОИТ1МУЕ 1РПРА .Ьк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
