Fletcher-1-rus (1185917), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Следовательно, большое значение ч, в соотношении (10.25) не влияет на решение нигде, кроме ближайшей окрестности ударной волны. Более разумный прием исследования состоит в том, чтобы сделать и, функцией решения, принимающей существенно отличное от нуля значение только вблизи ударной волны. Этот прием обсуждается в п. 14.2.3. Расчет одномерного уравнения Бюргерса применительно к внутреннему слою, подобному ударной волне (т. е. тонкому), может быть проведен с помощью спектральных методов (9 5.6). Непосредственное применение спектрального метода Галеркина приводит к решению, обнаруживающему глобальные колебания для случая девятичленного решения с полиномами Лежандра при ч = 0.01 [Р!е1с)гег, 1984].
В работе [Ваэдечап1 е1 а!., 1986) построены решения при ч =0.01/и с использованием спектрального тау-метода и метода коллокаций (псевдо- спектрального, см. п. 5.6.3) на основе полиномов Чебышева. Установлено, что без применения преобразования координат следует использовать 256 точек коллокаций и тем самым избежать появления решений колебательного типа. Делается вывод о том, что спектральные методы в силу их глобального характера не столь хорошо пригодны для расчета тонких внут. ренних слоев, как локальные методы типа метода конечных разностей или метода конечных элементов. 10.!.5.
Неравномерная сетка Когда во внутренней области течения или вблизи границ возникают очень большие градиенты, то для получения более точных решений требуется измельчение расчетной сетки. Однако если сетка остается равномерной во всей вычислительной области„ то измельчеиие сетки может оказаться неэкономичным с точки зрения стоимости вычислений, в особенности для многомерных задач. Очевидная альтернатива состоит в том, чтобы ввести сетку, измельчаемую только на тех участках вычислительной области, где ожидается появление резких градиентов.
Техника построения подобного рода сеток обсуждается в гл. 13. Здесь мы изучим вопрос о применении неравномерных сеток к решению од- $ !0.1. Одномерное уравнение Бюргерса номерных стационарных задач, в первую очередь ставя своей целью противопоставить ожидаемое улучшение точности решения благодаря локальному измельчению сетки возможному снижению порядка ошибки аппроксимации. Уравнение конвекции — диффузии ($9.3) дат и — — а — =О, дх дха (10. 28) в котором и и а — постоянные, а граничные условия имеют вид Т(0) = О, ! (1) = 1, при больших значениях и/а порождает очень большой градиент вблизи точки х = 1 (рис. 9.5).
Локальное измельчение сетки вблизи х = 1 может быть осуществлено за счет того, что размер ячейки изменяется по закону геометрической прогрессии. Иначе говоря, хг, — х;=г„(хг — х,)=г„бх, (!0.29) где г. — коэффициент изменения сетки. Для конкретного примера, показанного на рис. 9.5, значение г„меньше единицы, что как раз и требуется, если желательно расположить больше узловых точек вблизи границы х = 1.0. Как правило, значение г„сохраняется постоянным либо во всей вычислительной области, либо в ее ббльшей части. Трехточечное представление производной с)7~с(х общего вида для случая неравномерной сетки, приводящее к наименьшей ошибке аппроксимации, может быть построено с помощью методики, описанной в п. 3.2.2.
Разложение в ряд Тейлора всех компонент этой трехточечной дискретной формулы в окрестности точки хг дает (тр» — т,у.„+г (т, — т,,) (1+ г„) ах Г ит ах' иат г аха т а'т где коэффициент г, выражается согласно (10.29) и где Лх; = = х; — х; ь Это представление имеет второй порядок, однако вносит добавочную ошибку третьего порядка, исчезающую в случае равномерной сетки (г„= 1.0).
Применение к уравнению (10.28) метода Галеркина с конечными элементами и с линейной интерполяцией (см. п. 5.3.1) приводит к «трехточечному» представлению с(Т/с(х. Разложение в ряд Тейлора для комплекса, соответствующего конечно- 462 Гл. 1О. Нелинейные задачи е преобладающим влиянием конвекнии э лементному трехточечному представлению ЙТТг(х, имеет вид Т;„, — Т! ! нТ ох! г1~Т ах! г + 1 г!зТ (1+г)Ьх. г!х 2 " охз 6 г +1 г!х' ' '= — + — '(г — 1) — + — ' ' — + (10.31) При таком представлении возникает диссипативный член первого порядка, знак которого зависит от того, возрастает или уменьшается размер ячейки сетки по направлению положительного отсчета х. Очевидно, если величины (г, — 1) илн Лх, не малы, то влияние этого диссипативного члена при больших значениях и/а может быть существенным, если сравнивать его с влиянием члена аФТ/дх' в уравнении (10.28).
Трехточечное представление г1зт/г(хз в (10.28), минимизирующее ошибку аппроксимации, соответствует следующей форме разложения в ряд Тейлора в окрестности точки х;: Г !зт ах, дзТ ххз гз -1- 1 л4Т + ~ (г 1) а + ~ ч + ° ° ° 1 ° (1О 32) гх+ 1 Левая часть формулы (10.32) является также и результатом линейной галеркинской конечно-элементной дискретизации производной с!зТ/с!хз. Очевидно, что применение неравномерной сетки ведет к появлению ошибки аппроксимации первого порядка.
Подстановка левых частей формул (10.30) и (10.32) в уравнение (10.28) приводит к следующей трехдиагональной схеме: — (0.5Яеепгх+ 1)Т1, + ~0.5Яееп ' + (1 + — )]Т! + + (обй-н — — ) Т,„= О. (1О.ЗЗ) Подстановка левых частей (10.31) и (10.32) в то же уравнение приводит к несколько более простой трехдиагональной схеме (0.5Яееп + 1) 7! ! + (1 + ) 7! + (0.5)!ееп ) Т!.~.! = 0 (10.34) где !геен = и Лх;/и.
Решения, построенные на основе схем (10.33) и (10.34), были получены при и/а = 20 и 1! точках внутри интервала 0 ( х( 1 и приводятся в табл. 10.6 и 10.7. 453 6 10.1. Одномерное уравнение Бюргерса В случае равномерной сетки, когда г, = 1, число Рейнольдса ячейки /с„н = 2; этот случай графически изображен на рис. 9.5. Таблица 10.6. Изменение среднеквадратичной ошибки в зависимости от г„для решений уравнения (10.28) при и/а=20 гк Среднеквадратнчнав ошибка 0.0338 ~ 0.0276 0.0319 0.0455 (10.33) (10.34) ~ 0.0048 ~ 0.0080 0.0455 0.0! 97 Таблица !0.7.
Решения уравнения (10.28! с использованием неравномерной сетки, г = 0.8, и/а = 20 Средне- квадратнчнав ешнбка !.оо о.зм 0.922 0.970 0.027 0 2584 0.2059 0.2439 0.0312 0.0111 0 0229 0.5480 1.0000 ОЛ013 1.0000 0.5376 1.0000 0.1010 0.0615 0.0879 0.0072 0 0006 0.0035 Т, точное Т, (10.33) Т, (10.34) 0.0276 0.0080 В данном случае среднеквадратичная ошибка определяется преимущественно локальными ошибками у узловых точек, близких к х= 1. Мы видим, что уменьшение г, уменьшает среднеквадратичную ошибку (табл.
10.6), причем решения по схеме (10.34) оказываются значительно точнее, чем по схеме (10.33). В силу того что г„( 1.0, использование схемы (10.34) вносит положительную диссипацию. При использовании схемы (10.33) выбор значения г„= 0.80 приводит к минимальной среднеквадратичной ошибке решения. Это соответствует относительно однородному распределению ошибки (табл. 10.7) При коэффициентах изменения г, ( 0.80 вблизи точки х = 1.0 локальная ошибка решения уменьшается, однако она возрастает при малых значениях х. Отметим, что для более сложных определяющих уравнений и многомерных задач надлежащие значения коэффициента изменения сетки обычно попадают в интервал 0.8 < г„< 1.2.
Использование неравномерной сетки при наличии большого внутреннего градиента может быть проиллюстрировано на 454 Гл. 10. Нелинейные аахачн с преобладакппнм влннннем конвекпнн примере использования модифицированной формы уравнения Бюргерса — + (й — 0.5) — — т — = О. ' дй дй дай д1 дл дла (10.35) (10.37) где Р = 0.5(й' — й). После проведения дискретизации получим аиа+! — = И„„(и1" + Аи1+') — Л„(Р1 + — „~ Ьй1+'), (10.38) где Ь„, и Е определяются формой левых частей (10.32), (10.30) и (10.31), а п1Р1с(и = и — 0.5.
Применение представления (10.31) к дР/дх является примером формулировки на основе группового метода конечных элементов ($ 10.3), так как Р представляет собой нелинейную группу. Мы получаем следующую трехдиагональную систему уравнений относительно Ли"+'. ! (1 + Ж [Л„(и — 0.5) — чЕ„л1 ) Аи1 = ЛС (тЕ„„иг — Е„Р1 ). (10 39) Процесс интегрирования уравнения (10.39) приближается до тех пор, пока величина Ли1+' не станет пренебрежимо малой в сравнении с решением уравнения (тЕ„,и1 — Е,Р1)=0. Для ударной волны, центрированной в точке х = О, удобно ввести сетку, размер ячейки которой возрастает по закону геометрической прогрессии как в положительном, так и в отрицательном направлениях оси х, если отсчитывать от точки х = О. Решения, построенные на основе (10.30) и (10.31) для т = 0.08 и 11 точек внутри интервала — х аа (х~ х „, приводятся в табл.
10. 8 и 10.9. Для случая г, = 1.0 решения, соответствующие 1чсеп = 5, основаны на условии и(1) = 1.0. В сравнении с уравнением (10.1) сюда был введен дополнительный член, — 0.5дй/дх. При начальном и граничных условиях в форме (10.22) и (10.23) включение добавочного члена эквивалентно допущению о миграции сетки вместе с ударной волной, в результате которого ударная волна не движется по отношению к сетке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
