Fletcher-1-rus (1185917), страница 75
Текст из файла (страница 75)
426 Гл. 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции 9 9.7. Задачи Одномермое линейное уравнение конвенции 5 9.1) 9.1. Получите выражение для погрешности аппроксимации, указанной в табл. 9.1 для схемы Лакса — Вендроффа. 9.2. Примените анализ устойчивости по Нейману к схеме Краина — Николсона (9.22) с массовым операторам и убедитесь в выполнении условия 6 ( 0.25 для устойчивости схемы. 9.3. Примените программу ТКА!ч' для решения задачи о конвекции синусоидальной волны с помощью схемы Кранка — Николсона с массовым оператором и сравните полученные решения с приведенными иа рис.
9.2 — 9.4. Численная диссипацию и дисперсмя (9 9.2) 9.4. Примените анализ Фурье (п. 9.2.1) к одномерному уравнению конвекции для следующих схем: (1) схемы с разностями против потока, (2) схемы Лакса — Вендроффа, (3) конечно-разностной схемы Кранка — Николсона при С = 0.8 н Дх = 0.5.
Получите результаты, эквивалентные приведенным в табл. 9.9, причем для этого рекомендуется составить программу расчета на ЭВМ. Проанализируйте решения, показанные на рнс. 9.2 — 9.4,. относительно фурье-разложений. 9лй Примените метод модифицированных уравнений: (1) к схеме с разностями против потока, (2) к схеме Лаков — Вендроффа, (3) к конечно-разностной схеме Лакса — Вендроффа для анализа одномерного уравнения конвекции и подтвердите результаты, приведенные в табл.
9.1. Сравните расчетные характеристики с анализом Фурье задачи 9.4 и результатамн, показанными на рис. 9.2 — 9.4. 9.6. Постройте обобщенную трехслойную схему, эквивалентную (8.26),. для одномерного уравнения конвенции. Примените метод модифицированного уравнения с произвольными у и 6 и определите, имеется ли возможность их оптимального выбора для минимизации ошибок, связанных с дисперсией и диссипацией.
Внесите изменения в программу Т)!АХ, включив в нее эту задачу, и проверьте ее действие на задаче о конвенции синусоидаль-. ной волны. Стационарное уравмение конвекцин — диффузии ($9.3) 9.7. Включите схему центральных разностей (9.45) и схему с разностями против потока (9.50) в программу расчета и подтвердите результаты,. приведенные на рис. 9.5 и 9.6. 9.8. Проведите расчет по программе, составленной в задаче 9.7 с граничным условием Неймана г!Т(г(х = 9 прн х = 1.О. Выберите я таким образом, чтобы точное решение было близко к решениям, приведенным на рис.
9.5 и 9.6. Сравните решения с полученными для случая, когда задано. граничное условие Дирихле. 9.9. Получите симметричные пятиточечные схемы для г(Туях и УТТг)хт, минимизируя ошибку аппроксимации, оставляя в каждом выражении по одному параметру Примените эту схему к решению конвективного уравнения диффузии с граничным условием Дирихле (9.43). Используйте точное решение (9.44) для получения требуемого граничного условия.
Измените подпрограммы ВА)4гАС и ВАХБОВ для решения системы с полученной в результате пятндиагональной матрицей. Полученные решения сравните с приведенными в табл. 9.2 и определите, будет ли выбор двух подходящих параметров. приводить к более точным, но устойчивым решениям. 5 9.7. Задачи Одномерное уравнение перемоса ($9.4) 9.10. Примените метод модифицированного уравнения к дискретизациям Лакса — Вендроффа н Кранка — Николсона для одномерного уравнения переноса и подтвердите результаты, приведенные в табл. 9.3. 9.1 1. Для явной четырехточечной схемы с разностями против потока, т, е. (9 7!) с заменой 0 5 (7" + Т" +г) на 71" в пространственном операторе, воспользуйтесь методом модифицированного уравнения для определения оптимальной величины д.
Примените анализ устойчивости по Нейману для определения критериев устойчивости. Проведите расчет по программе ТКАН с оптимальным д, если схема устойчива, при условиях, данных в табл. 9.6, н сравните полученные результаты. 9.12. Измените программу Т)(АЫ, включив в нее трехслойную чисто неявную схему (табл. 9.3). Решите задачу о распространении температурного .фронта (п. 9.4.3) для повышенных чисел Рейнольдса ячейки н онределите эмпирически границу, до которой не появляются осцнлляцнн решения.
По.вторите все расчеты по схеме Кранка — Николсона с конечными разностямн н конечными элементами. .Двумерное урввненне переноса ($9.5) 9.13. Примените метод модифицированного уравнения к схеме Кранка— .Николсона с массовым оператором для двумерного уравнения переноса (9.81) н определите оптимальные значения 6 и 5„ в (9.86) для минимизации днс.перснонных ошибок. 9.14. С помощью программы ТНЕ)(М сравните приближенную фактори.зацию с помощью конечно-разностной схемы АР-РРМ, четырехточечной схемы с разностями против потока (АР-4Р()) (д = 0.5) п метода конечных .элементов (АР-РЕМ) для числа итераций, достаточных для сходнмостн.
Про.делайте это для трех маршевых алгорнтмов: (а) Т = О, 9 = 0.5; (Ь) у О, 5 = 1; (с) Т = 0,5, (! = 1 н на сетках ! 1 Х 11 н 2! Х 21. 9.15. На основе табл. 9.12, решения задачи 9.14 н дополнительных реше.ний, полученных нз программы ТНЕЙМ, сравните вычислительную эффективность трех методов прнблнженной факторизации: конечно-разностного ме.тода (АР-Р(УМ), четырехточечной схемы с разностями против потока (АРМР(() н метода конечных элементов (АР-РЕМ). Глава 10 Нелинейные задачи с преобладающим влиянием конвекции В гл.
9 были рассмотрены линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции. Как было показано там, процесс дискретизации уравнений, и в особенности их коивективных членов, требует особой осторожности во избежание появления фиктивных членов с высшими производными (если иметь в виду модифицированное уравнение), которые по своей величине могут оказаться сравнимыми с членами' определяющего уравнения, важными по своему физическому смыслу. Эта проблема особенно серьезна при введении двухточечных разностей со сдвигом вверх по потоку.
Установление связи производных высокого порядка в модифицированном уравнении (п. 9.2.2) с процессами диссипации и дисперсии позволяет построить более точные вычислительнгяе алгоритмы. Например, четырехточечные системы со сдвигом. вверх по потоку позволяют избежать чрезмерных осцилляпий, связанных с дисперсией (п. 9.3.2 и 9.4.3), без введения нежелательной диссипации, как в случае двухточечной схемы со сдвигом вверх по потоку. Конвективные члены, входящие в уравнение энергии (п. 11.2.4), являются линейными, если известно поле скоростсй.
Однако конвективные члены уравнений импульсов (п. 11.2.2 и 11.2.3) сушественно нелинейны. В данной главе рассматриваются дополнительные осложнения, связанные с нелинейной конвекцией. Подходящую для этой цели модель обеспечивает одномерное уравнение Бюргерса, так как оно обладает конвективной нелинейностью той же самой формы, что и уравненг>т Навье — Стокса для несжимаемой жидкости (9 11.5), и допускает легко вычислимые точные решения для разнообразных комбинаций начальных и граничных условий.
В процессе применения анализа устойчивости по Нейману конвективную нелинейность необходимо нейтрализовать. Эзо осуществляется путем временного замораживания коэффициентов при производных, фактически зависящих от решения. При анализе нелинейных вычислительных алгоритмов можно воспользоваться методом модифицированного уравнения [К!ор1ег,, й 1О.1. Одномерное уравнение Бюргереа МсКае, 1983), однако появление произведений производных высшего порядка делает процесс построения схем повышенной точности менее конкретным и надежным (п.
10.1.4), чем это было для линейных уравнений (п. 9 4.3). Нелинейный характер конвективных членов обусловливает появление больших градиентов зависимых переменных. Это наводит на мысль об использовании неоднородных сеток, локально измельченных в окрестности быстрых изменений решения. Влияние неоднородности сетки на ошибку аппроксимации и точность решения кратко анализируется в п. 10.!.5. Этот вопрос более подробно обсуждается в гл. 12. Определяющие уравнения гидроаэродинамики (гл. 11) обычно имеют структуру систем, являясь при этом нелинейными. Дополнительные осложнения, связанные с построением вычислительных алгоритмов для систем нелинейных уравнений, подвергаются предварительному рассмотрению в $ 10.2.
Как мы видели ранее (гл. 5), метод Галеркина с конечными элементами приводит к точным и экономичным алгоритмам для решения линейных задач с преобладающим влиянием конвекции (п. 9.1.4, 9.4.3 и $ 9.5). Однако учет конвективной нелинейности является потенциально неэкономичным в условиях многомерности или при использовании интерполяции повышенного порядка. Недостаточная экономичность может быть преодолена за счет применения группового метода конечных элементов; описание этого метода дается в $10.3.
Схемы расщепления, рассмотренные в 9 8.2, 8.3 и 9.5, распространяются на двумерные уравнения Бюргерса в п. 10.4.2. Как и их одномерный вариант, двумерные уравнения Бюргерса допускают без труда строящиеся точные решения, по крайней мере для предельного стационарного состояния, позволяя тем самым осуществлять прямые оценки точности конкретных вычислительных алгоритмов (п.
10.4.3). 9 10.1. Одномерное уравнение Бюргерса Одномерное уравнение Бюргерса [Вцгдегз, 1948] имеет вид — + и — — и — =О. ди дй дей д1 дх дха (10.1) Уравнение Бюргерса аналогично уравнению переноса (9.56), если не считать того, что здесь конвективный член является уже нелинейным. Это та же самая форма нелинейности, которая имеет место и в уравнениях импульсов (п. 1!.2.2 и 11.2.3). Чтобы подчеркнуть упомянутую связь с уравнениями импульсов, коэффициент диффузии а из уравнения (9.56) был заменен 430 Гл.
1О. Нелинейные задачи с преобладающим влиянием конвекнии на коэффициент кинематической вязкости т в уравнении (10.1). Более глубокий анализ уравнения Бюргерса проводится в работах [г!е1с)1ег, $983а; %Ы()заш, 1974]. 10.1.1. Физическое поведение Если из уравнения (10.1) удалить «вязкий» член, то в результате получим невязкое уравнение Бюргерса дй дй — +й — „=О, дг дх (10.2) которое можно сравнить с уравнением (9.2). Наличие нелинейности в уравнении (10.2) позволяет развиваться непрерывным Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
