Fletcher-1-rus (1185917), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Это совпадает с осцилляциями температурного фронта на рис. 9.11. Четырехточечная схема с разностями против потока дает ошибку в фазе для промежуточ- 4 9.5. Двумерное уравнение переноса ных длин волн, компенсируя ее значительным затуханием коротковолновых возмущений. Из приведенного на рис. 9.11 соответствующего решения для температурного фронта видно, что эта схема приводит к небольшим осцилляциям и сглаживанию профиля температуры. Схема Кранка — Николсона с массовым оператором сохраняет амплитуду, так же как и конечно-разностная схема, но, кроме того, дает хорошее согласование по фазовому углу. Следовательно, резкий профиль температур на рис.
9.11, соответствующий этой схеме, ие является неожиданным. Хотя вариация параметра 6 в схеме с массовым оператором и параметра д в четырехточечной схеме против потока являются довольно эффективным средством уменьшения дисперсионных ошибок, их влияние вытекает из дискретизации различных членов исходного уравнения (9.56). Массовый оператор связан с производной дТ/д1, а четырехточечная разность против потока — с конвективным членом ид77дх. Отсюда следует, что стратегия выбора оптимального массового оператора непригодна для одномерного стационарного уравнения конвекции— диффузии (9 9.3).
Однако в случае многомерных уравнений переноса массовый оператор появляется в методе конечных элементов в связи с недифференцируемыми пространственными направлениями. Следовательно, механизм изменения 6 в массовом операторе для уменьшения дисперсии имеет место как для нестационарных, так и стационарных многомерных уравнений переноса ($9.5). Аналогичный приведенному выше фурье-анализ для обычных конечно-разностной и конечно-элементной схем выполнен в работе «Р1пдег, Огау, 19771 для одномерного уравнения переноса. Фурье-анализ схемы, основанной на использовании представлений Тейлора — Галеркина, в применении к одномерному уравнению переноса выполнен в работе [Попеа е1 а1., !984).
В данном параграфе использовались различные аналитические методы, анализ устойчивости по Нейману, метод модифицированного уравнения и фурье-анализ для исследования некоторых общепринятых схем решения задач с преобладающим. влиянием конвекции, а также для построения улучшенных схем..
в 9.5. Двумерное уравнение переноса Дополнительные трудности, возникающие при анализе многомерного уравнения переноса, сравнимы с теми, которые имеют место при переходе от одномерного уравнения диффузии к многомерному. В двумерном случае уравнение переноса имеет 410 Гл. 9. Линейные аадачи с преобладающим влиянием конвекпии вид дТ дТ дТ даТ даТ вЂ” + и — + о — — а — — а — =О. (9.81) д1 дх ду " дка а дуа Явные схемы для уравнения (9.81) устойчивы при более жестких условиях, что было справедливо также и по отношению к явным схемам для двумерного уравнения диффузии.
Так, например, двумерный вариант схемы ВВЦП (9.58) приводит к алгоритму где г, = а„Ж/Аха, С„= иАГ/Ьх, г, = а,МАуа. С, = пбг/Ау. .Анализ устойчивости алгоритма (9.82) по Нейману дает сле.дуюШие условия 1Н(пбшагз)1 е1 а1., 1984): (г +за) ~(0.5, — + — (2. С2 С2 ал аа (9.83) .Если г, = г„= г, то для устойчивости должно быть г ( 0.25, что в два раза меньше, чем в одномерном случае. Другой серьезной проблемой многомерного случая является введение искусственной диффузии, в частности искусственной перекрестной диффузии, вводимой схемами первого порядка.
Как мы уже видели, использование разностей первого порядка по времени и разностей против потока для конвективных членов приводит к появлению членов с искусственной диффузией и дисперсией. В двумерном случае эквивалентная разностная схема вносит члены с искусственной диффузией с коэффи- циентами а„' = — О.бибх (ф— 1), а'„= — 0.5ойу (ф— 1). (9.84) Ошибки, вносимые этими членами, особенно велики, когда вектор скорости направлен под углом 45' к координатному направлению [бе Ъ'аЫ Рач1э, Ма!1(пзоп, 1976].
Этот вопрос более .подробно будет обсуждаться в п. 9.5.3. Т~,+ац =(г + 0.5С ) Т1" ь а+ (1 — 2г — 2га) Т~, а+ + (г — 0.5С„) Т1ч.ь и + (за + 0.5Са) Т1, а 1+ + (га — 0.5Са) Т1, а+ь (9.82) $9.5. Двумерное уравнение переноса 9.5.1. Методы расщепления При использовании неявных схем для двумерного уравнения переноса удается избежать трудностей выполнения условий устойчивости, присущих явным схемам, но возникает проблема получения эффективного решения неявных разностных уравнений, точно так же как и для уравнения диффузии.
Здесь мы рассмотрим типичный случай приложения метода расщепления к двумерному уравнению переноса Применяя метод Галеркина с конечными элементами (9 5.3) с билинейными прямоугольными элементами к уравнению переноса (9.81), получим М„З М„~ —,1 = ( — иМ„(9 1.„— оМ„З Е„+ а,М„З Л„„+ д! зьа +а„М„З1„е1Т; а, (9.85) где 1., ( — 1, О, 1)/26х, 1.„», О, — 1)т/2бу и М„=( —,, —, — ) для равномерной сетки. Операторы 1.„„1.аа и Ма даются формулами (8.30) и (8.31). Уравнение (9.85) можно сравнить с (8.29).
Дополнительный член в (9.85) возникает из-за наличия коивективных членов. Однако массовые операторы по направлению в конвективных членах ведут себя так же, как и для днффузионных членов. Другими словами, для метода конечных элементов они оказывают влияние на операторы 1.„и 1,„в перпендикулярном направлении.
Это следует из тензорного произведения З и формы операторов М„и М„. Уравнение (9.85) можно обобщить, если ввести определение Мл=(бх, 1 — 26, бл), М„=(6„, 1 — 26, ба)т (986) где 6, и 6„— параметры, которые могут выбираться из условий минимизации дисперсионных погрешностей аналогично тому, как это делалось в п. 9.4.3 при выборе б в уравнении (9.21). Выбор 6, = 6„= 0 дает трехточечную конечно-разностную схему, выбор 6„= 6„=!/6 приводит к линейной конечнозлементной схеме. При использовании трехслойного представления для дТ/д1 уравнение (9.85) можно привести к виду Лтл+1 л -! М,ЗМ„~»+у) ат, — у ~', 1=» — 6) 11Н8" +рГхН8"", (9.87) где ГхН8 = — (Ма З(и/.„— а„1.,„) + М,З(о1.„— аа1,„„)]Т! а.
412 Гл. 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекнии Та же самая схема была использована для разностного представления (8.26) уравнения диффузии. Вводя то же расщепление, которое применялось к (8.29), получим следующий двухступенчатый алгоритм для решения двумерного уравнения переноса: ~М„+ — Ы(иЕх — а„7.хх)~ЬТ(,а=( + ) ЙНЗ + + ( 1+у ) М, Э МуЬТЬ м (9.88) [Му + ( — ) б( (а1.„у — ан7.„а)~)ЬТ,", а' = АТь м (9.89) Ясно, что включение конвективных членов, т. е. иТ.„и пЕю не избавляет от необходимости эффективного разбиения (9.82) на совокупность трехдиагональных подсистем уравнений на каждом слое расчетной сетки.
Алгоритм (9.88), (9.89) аппраксимирует уравнение (9.81) с ошибкой 0(А(з, Ахз, Ауз); при этом для двухслойной схемы у = О, р = 0.5, а для трехслойной у = 0.5, р = 1. Та же точность достигается независимо от того, используется ли линейная конечно-элементная схема или трехточечная конечно-разностная схема для вычисления операторов М„, М„, Ех„ Т.„„, Т.ю 7.ню Однако коэффициенты в выражении для ошибок аппроксимации будут разными в разных случаях, причем конечно-элементный метод дает более точные решения.
Анализ устойчивости схем (9.88) н (9.89) по Нейману дает квадратное уравнение (в случае трехслойной схемы) для коэффициента усиления О, решение которого легко находится численно. Результат расчета показывает. что при р ) 0 обе схемы безусловно устойчивы как в случае аппроксимации с помощью бесконечных элементов, так и с помощью конечных разностей. 9.5.2. ТНЕйМ: задача о проникновении тепла Метод расщепления, сформулированный в п. 9.5.1, здесь будет использован для решения задачи о втекании холодной жидкости в горячий двумерный канал с сечением очень большого удлинения.
Вдали от боковых стенок канала распределение температуры существенно двумерное и описывается стационарной формой следующего уравнения энергии: — + — + — — а„— — а — = О, (9.90) дТ д (иТ) д (оТ) дзТ дзТ д1 дх ду " дхз н дуз где а, = а„= а — коэффициент термодиффузии. Уравнение (9.90) записано в нестационарном виде для использования 4!З $9.5. Двумерное уравнение переноса где То и Т вЂ” температура на входе и на стенке, и — средняя осевая скорость, Ке, Рг — числа Рейнольдса и Прандтля соответственно (п. 11.2.5). Такой выбор х' и других безразмерных — =О дТ дх и =13(1-92) п=О Т=О и=!а(1-н о=О Рис. 9.!2. Расчетная область в задаче о проникании тепла.
переменных удобен тем, что температурный профиль развивается почти на одном и том же интервале х' для различных Яе. Если указанные выше безразмерные переменные подставить в (9.90), то получим то же самое уравнение в штрихованых переменных с коэффициентами !о !.6 ох Ргпеа' оп Рг ' (9.92) В дальнейшем штрихи у безразмерных переменных будут опус- каться. Для расчетной области, показанной на рис. 9.12, зададим следующие граничные условия: Т(0, у)=0 при х=О, дТ вЂ” =0 при х=х,„, дх Т(х, ~ 1)=1 при у= ~!. (9.93) стратегии псевдостационарных решений ($6.4). Если компо- ненты скорости и и и известны, то уравнение (9.90) представ- .ляет собой линейное двумерное уравнение переноса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
