Fletcher-1-rus (1185917), страница 68
Текст из файла (страница 68)
9. Линейные задачи с преобладающим влиннием конвекпнн возникают. Разностная схема со сдвигом против потока дает вместо (9.45) следующий алгоритм: (1 + Рсеп) Тт ~ + 2 (1 + 0.5/зсеи) 71 Тте~ = О. (9.50) Из (9.48) видно, что схема против потока имеет вещественные собственные числа при всех значениях )т„п. Решение с использованием разностной схемы против потока для и/а = 20 и Лх = 0.2 показано на рис.
9.6. Как и следовало ожидать, осцил- ьо 0.5 -0.5 0.5 ьо Рнс. 9.6. Решение уравнения конвекпни — диффузии по схеме с разностями против потока. ляцин в решении отсутствуют, но решение не является достаточно точным. Разложение уравнения (9.50) в ряд Тейлора показывает, что оно аппроксимирует (9.42) только с точностью 0(Лх). С точностью 0(Лх') (9.50) аппроксимирует уравнение оТ изТ и — „— а(1+ 0.5/т„п) —,=О, (9.5!) т. е.
использование разностей против потока приводит к появлению искусственной диффузии 0.5/тсеосе, аналогично тому, как при использовании конечных разностей против потока для уравнения конвекции тоже возникала искусственная диффузия (см. (9.13)). Практически для получения достаточно точного решения из (9.51) вытекает ограничение 0.5/с„н « 1, которое является более жестким, чем (9.49). Если при х =!.0 вместо условия Дирихле поставить граничное условие Неймана, то характер решения существенно не изменится.
Для больших значений и/а схема центральных разностей (9.45) приводит к решениям с еще большими осцилляциями, чем показанные на рис. 9.6. з 9.3. Стационарное уравнение звз 9.3.2. Схемы с разностями против потока ловы!ленного порядка точности Именно колебательный характер решений, получаемых при использовании трехточечных центральных разностей для представления //Т/с/х в (9.42), и диссипативная природа двухточечной схемы с разностью против потока (9.50) наводят на мысль, что для получения более точного решения необходимо использовать четырехточечное представление для дт///х. При и) 0 таким представлением может быть следующее: — =аТ/ +ЬТ/ !+сТ/+Т/ //т (9.52) Следуя процедуре п.
3.2.2, получаем следующую схему: и т. — т. 4(т — зт + зт — т /+! ! — ! + ( /-2 / — ! / /+!) +Р(а а) (953) !/х Зох Зох Для отрицательных значений и соотношение (9.53) заменяется ма и р,-е р!г,— вр +и — р ох за + Здх + Уравнение (9.53) умышленно записано в виде модификации трехточечной схемы центральных разностей. Параметр // определяет степень модификации. Разложение в ряд Тейлора около /-го узла дает Т/, — ЗТ/, + ЗТ/ — Т/е ! — = ~ — Лх — „, + О.ббх — „, + ...1 . Таким образом, модификация может быть использована для нейтрализации отдельных членов разложения в ряд Тейлора для полного уравнения.
В частности, при выборе //= 0.5 исключается член Ххаг/аТ/с/ха и схема (9.53) становится схемой порядка 0(бх'). В свете сказанного выше о связи раскачки решения с дисперсией и производными четного порядка можно ожидать, что использование (9.53) с // = 0.5 и вместе с соответствующей дискретизацией для с(аТ/с(х' приведет к более точному решению с меньшей раскачкой, чем (9.45). Использование формулы (9.53) при дискретизации (9.42) приводит к следующему неявному алгоритму: Ревят/ и [! + (// + 0 5) Реев) Т/ ! + (2+ //Рее!!) Т/ Ч вЂ” ~)+ ( — ", — 0.5) Р„!!~Т/„=О, (9.54) который сводится к (9.45) при // = О.
Структура (9.54) при'.водит к решению более сложной четырехдиагональной матрицы. 384 Гл. 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции Таблица 9.2. Решение уравнений (9.42), (9.43) с использованием (9.54) и грубой сетки !.о о.о 0.2 0.0000 ~ 0.0003 ~ 0.0018 ~ 1.0000 0.0 0.0000 Точное решение — 0.0328 — 0.0003 0.0002 0.0032 — 0.3279 — 0.0760 0.0597 0.1491 1.0000 !.0000 1.0000 1.0000 о=о 41=0.5 д =1.0 4) = 1.5 0.0164 0.0000 0.0000 0.0004 0.1148 0.0058 0.0036 0.0222 0.0 0.0 0.0 0.0 Случай 4? = 0.5 приводит к значительно более точному решению, хотя все еще слегка осциллирующему. Видно, что с увеличением 4? решение становится более гладким, но с увеличением диффузии, подобно решению, полученному по двухточечной схеме против потока (9.50), показанному на рис.
9.6. На мелкой сетке при 4? = 0.5 получаются наиболее точные решения (не показаны). Эквивалентное дифференциальное уравнение, в действительности решаемое по схеме (9.54), можно получить разложением в ряд Тейлора в окрестности узла ?. В результате дт а» и т дхз 4(4Т вЂ” — — 1-+ (1 — 24?) — —, + )?се!4 4!Х 6 4(хо 1 '4 йхз 4(4Т й»4 4(зТ + 4(24? — )7 ) 12 ! 4 + ! — 104?) !20 дхз ' '.
=О. (9.55) Для практических задач, для которых типичны малые значения а/и, величина ??см! имеет порядок 0(1) или больше. Это Для этой цели эффективным является использование обобщенного алгоритма Томаса (и. 6.2.4) с ? = О. Требующиеся для этого дополнения к подпрограммам ВАРГАС (рис. 6.18) н ВА)ч)$01 (рис. 6.19) указаны на распечатках программ рис. 9.8 в строках 126 — 133. Численное решение уравнения (9.54) с граничными условиями (9.43) можно сопоставить с точным решением, данным формулой (9.44). Типичные результаты, полученные иа грубой сетке с Ах = 0.2, ??„44 = 4, для различных значений 4? приведены в табл.
9.2. Случай 4? = 0 совпадает с решением по трехточечной схеме центральных разностей (9.43), которая приводит к осциллирующему решению, изображенному на рис. 9.5 и 9.6. $9.4, Одномерное уравнение переноса означает, что формальная ошибка аппроксимации, вносимая представлением (9.42) для производных, может различным образом влиять на точность решения уравнения (9.54). Так, при дФ0.5 третий член в (9.55), по-видимому, будет оказывать наибольшее влияние на точность решения. Отсюда следует, что для задач с малым коэффициентом диффузии а конвективные члены, подобные иг(77с(х в (9.42), должны аппроксимироваться более точно, чем диффузионные.
Результаты, приведенные в табл. 9.2, согласуются с (9.55). Видно, что увеличение д ведет к положительной диссипации. Однако следует помнить ($ 9.2), что разложение (9.55) является более подходящим для описания длинноволновых возмущений. Из разложения (9.55) следует, что при д = 0,5 и 17„ц = = 1.0 разностная схема (9.54) формально является схемой четвертого порядка. Однако для нелинейных задач конвекции )с„и будет зависеть от локального решения, так что точности четвертого порядка невозможно достигнуть во всей вычислительной области.
Частный случай т) = 0.375 был рассмотрен в работе [ьеопагб, 1979] в связи с двумерной задачей, описанной в п. 17.1.5. Из анализа, приведенного в $ 9.2 и 9.3, следует, что пространственные производные нечетного порядка, входящие в ошибки аппроксимации, связываются с колебанием решения, а производные четного — с диссипацией или неограниченным ростом в зависимости от знака стоящего перед производной множителя.
Тенденция вызвать колебания без потери амплитуды будет относиться к явлению типа дисперсии, хотя понятие дисперсии, строго говоря, имеет смысл только для нестационарных течений. Если данное стационарное течение рассматривать как предел нестационарного (со стационарными граничными условиями) на очень большом интервале времени, любые колебания типа дисперсии можно считать происходящими из-за баланса между влиянием дисперсии и наложением граничных условий.
9 9.4. Одномерное уравнение переноса Одномерное уравнение переноса может быть записано в виде — +и — — а — =О, дТ дТ длТ д1 дк дх' (9.5бр где Т вЂ” пассивная скалярная величина (например, температура), подверженная конвекции с постоянной скоростью и(х,1) и диффузии (рис. 1.7). Если Т вЂ” температура, то а — коэффициент 2о К.
Флетчер, т. 1 386 Гл. 9. Линейные задачи е преобладающим влиянием конвекнии термодиффузии. Для анализа численного решения уравнения (9.56) будем предполагать, что и и а в постоянные величины. Как и уравнение диффузии (гл. 7), уравнение переноса является строго параболическим (9 2.3) и для него требуются граничные и начальные условия того же типа, например (7.2) — (7.4), как и для уравнения диффузии. Однако при больших значениях и/а можно ожидать, что в уравнении (9.56) будут преобладать первые два члена. Тогда уравнение переноса будет проявлять свойства, аналогичные уравнению конвекции (9.2). Следует напомнить, что точные решения уравнения конвекции обычно имеют вид бегущей незатухающей волны (без уменьшения амплитуды).
Следовательно, при больших значениях и/а можно ожидать, что решения уравнения переноса (9.56) будут иметь вид волны со слабым затуханием. На основе анализа уравнения конвекции с диффузией, которое является предельным для уравнения переноса, можно также ожидать, что в приближенных решениях уравнения (9.56) появятся пространственные волны, если будут использованы симметричные трехточечные алгебраические представления для конвективного члена при больших и/а. В этом параграфе мы рассмотрим алгебраические схемы (ВВЦП, Дюфорта — Франкела и т. д.), исследованные ранее для уравнений диффузии и конвекции ($9.!), для того, чтобы понять, вносит ли какие-либо новые трудности в численную схему одновременное включение диффузии и конвекции в уравнение. 9.4.1. Явные схелсьс Применение схемы ВВЦП для аппроксимации (9.56) приводит к алгебраическому уравнению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
