Fletcher-1-rus (1185917), страница 66
Текст из файла (страница 66)
затухание амплитуды волны определяется диффузионным членом, а скорость распространения постоянная. Так как и = 2п/Х, то короткие волны затухают быстрее, чем длинные. Для плоских волн, описываемых уравнением (9.27), имеем р (т) = О, д (т) = и — ()т', (9.29) т. е, амплитуда волны ие меняется, а скорость ее распространения зависит от длины волны. Если имеются волны с разной длиной, то они распространяются с различными скоростями, т. е. диспергируют. Более значительным изменениям подвергается скорость распространения коротковолновых возмущений (большие яз). Так, если р положительна, то короткие волны движутся намного медленнее. Формально теперь мы можем определить диссипацию как затухание амплитуды плоских волн, а дисперсию как распространение плоских волн различной длины с разными скоростями д(т). Говоря о роли старших производных в уравнениях типа (9.26) и (9.27), можно связать положительную диссипацию с появлением пространственных производных четного порядка, умноженных на коэффициенты переменного знака.
Аналогично уменьшение скорости распространения волны можно связать с появлением пространственных производных нечетного порядка, умноженных на коэффициенты переменного знака. При исследовании пригодности ($4.2) дискретизированного уравнения, например (9.9), кажется, что разностный алгоритм такой, как (9.10), эквивалентен исходному уравнению в частных производных плюс ошибка аппроксимации на разностной сетке. Но ошибка аппроксимации обычно связана со старшими производными четного и нечетного порядков.
Связь между диссипацией, дисперсией и старшими производными в ошибках аппроксимации будет обсуждаться в п. 9.2.2. 9.2.7. Разложение и ряд Фурье Количественные оценки диссипации и дисперсии численной схемы, вносимые тем или иным вычислительным алгоритмом, могут быть получены путем разложения точного и численного решений в ряд Фурье. Так, для частного примера, рассмотрен- $9.2. Численная диссипапия и дисперсия ного в п.
9.1.5, фурье-разложение начального условия (9.23) имеет вид Т(х, 0)= ~~)„Т е)™. Используя метод разделения переменных (п. 2.5.2), точное решение в любой момент времени можно представить в виде ряда Т(х Г) 2, Т епнм — ы)) (9.30) который восстанавливает точное решение (9.24). Фурье-компоненты в (9.30) имеют постоянную скорость и амплитуду, так как уравнение (9.2) не содержит диффузионных членов. Аналогичным образом можно записать фурье-представление и для решения конечно-разностного алгоритма, например схемы против потока (9.10), в виде Т(х, Г)= Я, Т„,е аиа))еии) -а'"')').
(9.31) Поскольку рассматриваемое алгебраическое уравнение (9.10) является линейным, фурье-компоненты его решения могут рассматриваться независимо. На одном шаге по времени Л! волна, описываемая и)-й компонентой приближенного решения, пройдет расстояние д(т)Л( с уменьшением амплитуды, которое определяется множителем ехр [ — р(т)Л1]. В течение того же промежутка времени т-я волна пройдет расстояние иЛ! с постоянной скоростью. Если к вычислительному алгоритму предъявляется требование отсутствия искусственной вязкости или дисперсии, то должно быть р (т) = О, а д (т) = и. Выражения для р(т) и д(т) можно получить подстановкой (9.31) в (9.10) и вычислением отношения амплитуд т-й компоненты фурье-представления на одном шаге по времени, т.
е. и — р)т)))+т)егт )а — а)т) и+а)я уя е- )а) о)+)'Яа )т)) а) (9 32). и -Р)а~)) )а1)я-а)г~))) а,е е Подстановка в (9.10) дает отношение амплитуд 6„= 1 + С [соз (тЛх) — 1[ — 1С яп (тЛх). (9.33) Не удивительно, что оно в точности совпадает с выражением (табл. 9.1), полученным при оценке устойчивости по Нейману разностной схемы с разностями вверх по потоку (9.10).
374 Гл. 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекпии Из соотношений (9.32) и (9.33) получаем (6! =е лпюа'=1 — 4С(1 — С) з1па(0.бтрах). (9.34) ,Для устойчивого решения р(т)) 0 неустойчивость может быть связана с отрицательной диссипацией. Кроме того, выражение (9.34) может служить мерой диссипации алгоритма (9.!0). Параметр диссипации р(т) зависит как от С, так и от множителя тбх, определяемого волновым числом.
Коэффициент затуха,ния будет наибольшим при тбх= и, т. е. для более коротких волн. Скорость распространения волн д(т) связана с фазой р относительного затухания амплитуды 6 соотношением где 4а — изменение фазы т-й волны на одном временнбм шаге. Для точного решения ф,„= — тиЖ = — Ст Лх. Таким образом, Скорость волны (или эквивалентное изменение фаз) разностного решения тем ближе к точному решению, чем меньше величина тЛх, и ошибка растет при тбх-+ и.
Если 0 < С < 0.5, то д(т) < и для больших тбх. Если 0.5 < С < 1.О, то д(т) ) и для больших тбх. Различные разностные схемы, рассмотренные в $9.1, приводят к различным выражениям в правой части (9.33), что в свою очередь приводит к различным значениям р(т) и д(т) в (9.32). Вводя фурье-разложение для точного и приближенного решений и рассматривая относительное изменение параметров т-й гармоники, можно получить выражения для диссипации и дисперсии численной схемы для любого значения величины тбх. Мортон !Мог!оп, 1971) использовал такой подход для численных схем, рассмотренных в $9.1.
Наименьшая длина волн, которую может представлять разностиое решение л = 2бх, что равносильно трах = и. Длинные волны соответствуют тЛх-ч-О. Если разностная схема вносит какую-либо диссипацию или дисперсию, то, как следует из (9.26) — (9.29), можно ожидать, что короткие волны будут искажаться значительнее, чем длинные С физической точки зрения $9.2. Численная диссипапия и дисперсия предпочтительней моделировать длинноволновые характеристики (малые о1Лх) точно и проверять, чтобы любые искусственно вводимые коротковолновые характеристики затухали физически и численно. Такая стратегия совпадает с анализом, приведенным в п.
3.4.2. 9.2.2. Метод модифицированного уравнения Как мы уже видели, диссипацию и дисперсию можно связать с наличием вторых и третьих пространственных производных, как это было в уравнениях (9.26) и (9.27). Это предполагает, что из анализа ошибки аппроксимации можно определить диссипативные и дисперсионные свойства частного. вычислительного алгоритма. Однако ошибка аппроксимации должна интерпретироваться специальным образом.
Предположим, что Е(Т)= 0 — дифференциальное уравнение, а Е (Т) = 0 — алгебраическое уравнение, например (9.9). Следовательно, в свете вышеприведенных рассуждений об ошибке аппроксимации Е~ можно написать Е (Т) = Еа (Т) — Е~ (Т) = О. (9.37) Откуда для ошибки аппроксимации получаем Е (Т)= Е(Т)+ Е(Т) =О, (9.38)~ где алгебраическое уравнение представлено в виде разложения приближенного решения в ряд Тейлора. Уравнение (9.38) преобразуется таким образом, чтобы выражение Е(Т) содержало: только пространственные производные.
С этой целью уравнение (9.38) неоднократно дифференцируется для исключения производных по й а также смешанных производных. Это несколько другая ситуация, чем в уравнении (9.37), где ошибка аппроксимации может улучшаться преобразованием Е(Т)=0. Уравнение Е(Т)+ Е(Т)=0 представляет собой дифферен. циальное уравнение с бесконечным числом членов. Оно называется модифицированным уравнением [вагш(пй, Нуе(1, 1974],. решение которого будет строиться с помощью алгебраического уравнения при наличии соответствующих граничных условий.. Как и выше, это модифицированное уравнение можно использовать для демонстрации точности вычислительного алгоритма. В модифицированном уравнении производные нечетного порядка связаны с дисперсией, производные четного порядка— с диссипацией.
Следовательно, рассматривая члены с производными наименьших четного и нечетного порядков в модифицированном уравнении, мы можем судить о диссипативных и. 376 Гл. 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекпии дисперсионных свойствах алгебраической схемы, но только для больших длин волн. Это происходит в силу того, что модифицированное уравнение получено на основе разложения в ряд Тейлора, что предполагает малые значения Лг и Лх. Однако, как отмечалось выше, именно длинноволновые характеристики представляют наибольший интерес. С помощью модифицированного уравнения можно показать, что при использовании схемы Лакса — Вендроффа (9.16) для решения уравнения (9.2) главный член в ошибке аппроксимации имеет вид ( 6 ) и(1 — С')Я+ ~+) иС(1 — С') Вх . Как отмечалось выше, схема Лакса — Вендроффа аппраксимирует (9.2) с точностью до 0(Л1з, Лх').
Из приведенного выше выражения для ошибки аппроксимации видно, что дисперсия имеет второй порядок, а диссипация — третий. Модифицированное уравнение было использовано при получении выражений для ошибки аппроксимации в табл. 7.1, 9.1 и 9.3, так что можно оценить диссипацию и дисперсию численной схемы, связанные с длинноволновыми возмущениями (малые пгЛх), Анализ разиостных схем с помощью модифицированного уравнения имеет еше и то преимущество, что он распространяется и на нелинейные уравнения, в то время как фурье- анализ (п.
9.2.1) применим только к линейным уравнениям. В работе [К1ор1ег, Мс)тае, 1983] используется метод модифицированного уравнения для построения обобщенных схем Лакса — Вендроффа при исследовании одномерного нестационарного распространения ударных волн, описываемых уравнениями Эйлера (10.40). При исследовании численных схем для уравнений гидродинамики (гл. 11) с помощью модифицированных уравнений требуется проведение существенных алгебраических преобразований. В атом случае формульные преобразования с помощью ЭВМ, например МАСВУМА, могут оказаться очень эффективными. Возможность формульных преобразований в вычислительной гидродинамике обсуждается в работе [8!е1пЬегй, цоасЬе, 1985]. 9.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
