Fletcher-1-rus (1185917), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Несмотря на то что конечно-элементная схема является формально девятиточечной, симметрия массовых операторов (8.44), а также тот факт, что расчет по формуле (8.46) необходимо проводить только при прогонках в направлении х, позволяют воспользоваться описываемой ниже экономичной процедурой.
Сначала формула (8.46) переписывается в виде Гл. 8. Многомерное уравнение диффузии 846 где МУТИ=( —,"",) Х~' М„тс. т а-! и;! а+! 1.УТп=(,"~ ) ~ 1.„„Тс +(! ,У ) ~ М„ЬТь (8.51) т е — ! т а-! и где, кроме того, т'=т — й+ 2, У=! — 1'+ 2. МУТ и 1.УТ вЂ” трехмерные массивы, связанные с узловыми точками 1 — 1, 1 и /+ 1, когда выражение для КНБ центрируется в узле (/, й).
Структура формулы (8.49) следует из того, что в формуле (8.46) прежде всего рассчитываются все члены с операторами по у. Однако расчет массивов МУТ и !.УТ по формулам (8.50) и (8.51) остается одним и тем же, будет ли галеркинский узел расположен в точке 1 — 1, 1 или в точке 1+ 1.
Следовательно, для ббльшей эффективности целесообразно рассчитать только МУТз по формуле (8.50) и только !.УТз по формуле (8.51). Значения МУТа и МУТ„нужные для подстановки в (8.49), будут получены путем сдвига значений МУТ, и МУТь взятых из расчета на предыдущем галеркинском узле, т. е. путем введения ! — 1 вместо 1. Аналогичным образом определяются !.УТз и 1.УТ,. Вышеописанные приемы были использованы в работе [г1е1с)!ег, ЬПп)чаз, 1984] при решении задачи о течении несжимаемой вязкой жидкости вдоль обращенной назад ступеньки при использовании переменных функция тока — вихрь, применение которых обсуждается в п.
17.3.3. $8.4. Граничные условия Неймана В 9 8.2 и 8.3 предлагается описание и реализация схем с расщеплением при граничных условиях Дирихле. Варианты реализации граничных условий Неймана для одномерного уравнения диффузии, соответствующие первому или второму порядку точности, рассмотрены в п. 7.3.1. Здесь будут описаны процедуры для надлежащего сочетания граничных условий Неймана со схемами расщепления, рассмотренными в $8.2 и 8.3. Характерная задача о многокомпоиентной диффузии включает задание смешанных граничных условий Дирихле — Неймана. Чтобы дать конкретный пример, сохраним в прежнем виде первое и третье граничные условия из (8.2), заменив, однако, второе и четвертое условия на 347 $ 8.4.
Грааачвме условия Неймана следующие: зх (! У 0=0(У ) н а (х 1 г)=я(х г) (8 52) где н(у, г) и о(х, !) — известные функции. 8.4Л. Конечно-разностная реализация Различные схемы, рассмотренные в $ 8.2 и 8.3, имеют второй порядок точности по пространству. Граничные условия Неймана (8.52), реализуемые со вторым порядком точности, имеют вид '~+ -'~-на= (~) 'ь'а+ -'ь'а- =й (г) (853) 2дх е ' 2ау Граничные условия (8.53) будут реализовываться в сочетании с применением обобщенной двухслойной схемы (п. 8.2.2).
Для точек, расположенных на границах й= 1 и у = 1, расчет правой части соотношения (8.23) может быть произведен после того, как при помощи формул (8.53) будут введены добавочные точки со значениями Тгеь а и Т; а+ь лежащие вне пределов вычислительной области как таковой. Однако операторы в левых частях соотношений (8.23) и (8.24) требуют построения поправок АТ;,, а и АТь а+о Это можно сделать с пол+! мощью применения формул (8.53) на последовательности интервалов по времени, т. е. АТ'~~~.~, а=А27+~',а+ 2АхАда+', (8.54а) где Аул+1 Ва-~-1 В~а а Ф АТ1",+~~~ — — АТ,"+а' 1+ 2АУААТ+'.
(8.54Ь) (8.54с) где Е„=(2, — 2, О)/Ах'. Однако на втором этапе соотношение (8.24) используется без модификации. При я=ЫУ соотноше- Далее, чтобы провести расщепление двумерных операторов на неявные одномерные, требуется с помощью формул (8.54) модифицировать соответствующие компоненты операторов Е„н (.аа. Так, прн !'= ЫХ замена по формуле (8.54а) приводит к следующему соотношению, заменяющему на первом этапе соотношение (8.23): (1 — ааб А!1,лл) АТн а = Ж (а„с,ла + аайаа) Т~, а— — 2 Ах (1 — алб АГЕ„„а) (1 — а„~ А!Лаа) Ау"+', (8.557 '348 Гл. 8.
Многомерное уравнение диффузии ние (8.23) используется на первом этапе в своем первоначаль- ном виде. Однако на втором этапе (8.24) заменяется соотноше- нием (1 ир8 А/урр) АТ +й Ь7'1, й — (1 — арб А//.ррз) 2 Ау А/21 (8.56) где Е„„= — (О, — 2, 2) /Ау . Описанные выше процедуры были применены к расчету примера, рассмотренного в п. 8.3.2 прн граничных условиях дт/дх(1, у, !) = 0 и дз/ду(х, 1, !) = 80, заменяющих соответствующие граничные условия Дирихле. Однако при таком специальном выборе граничных условий й и и в формулах (8.52) представляют собой константы, так что правые части соотношений (8.55) и (8.56) совпадают с правыми частями соотношений (8.23) н (8.24).
Точное решение для рассматриваемого случая соответствует выражению (8.42). Решения были получены при помощи схем, указанных в п. 8,3.2; среднеквадратичные ошибки приводятся в табл. 8.3. Таблица 8.3. Среднеквадратичные ошибки в случае граничных условий Дирихле/Неймана ирв ! 24000, а=!а 10 " лл зв 1.00 тсчн, метод конечных разностей 1ме-о, т=ол,' а-1.0 Кранк — Нк- колсон, метод конечных разностей <ми=о, т-о, а-ол Кранк — Нк- нолсон, метод нонечных элементов 1МЕ 2), т О. 8=0,5 дсчн, метод конечных разностей (ме=п, т-о, а 1.о Кранк — Нкколсон, 0 = 1112, 7=0, а=о.з .а 1-др> 0.20 О.! 0 0.05 0.15720 0.03358 0.00788 032940 0.03199 0.00779 0.03985 0.02640 0.00744 0.01341 0.00070 0.00021 !.58! 00 0.41120 О.! 0080 Наблюдаемые тенденции аналогичны тем, которые относились к граничным условиям Дирихле (табл.
8.2), если не считать того, что при использовании всех методов уровень среднеквадратичных ошибок оказывается больше того, когда должны удовлетворяться граничные условия Неймана. Типичное распределение ошибок показано на рис. 8,7. Видно, что наибольшие ошибки возникают на границах, где применяются граничные условия Неймана, илн вблизи таких границ. Аналогичный эффект наблюдался в случае одномерного уравнения диффузии (табл. 7.9), а также при решении задачи Штурма — Лиувилля (3 5.4). В тех случаях, когда все граничные условия относятся к типу Дирихле, наибольшие ошибки возникают внутри области в точках, наиболее удаленных от границ.
349 4 8.4. Граничные условия Неймана Интересная особенность результатов, приводимых в табл. 8.3, относится к высокой точности данных, связанных со схемой «четвертого порядка» для внутренних точек, когда в формуле (8.44) имеем б = 1/12. Нелишне напомнить, что в случае одномерного уравнения диффузии введение граничного ОНВТЕАВТ ИЕАТ СОИООСТ10Н Н1ТН ИХ,ИТ б 6 нк 2 ОАИ .оо вкта = .5о вх,вт = Э.ооо Э.ооо АРРАОХ. ТАСТ., ЫИЕАК РЕН, ЕНХ"- .167Е+00 .6678+00 .167К+00 вткзсиькт в.с. ИТХН .400Е+04 РК1ИТ 1ИТ.
.160К+05 ТНАХ ~ .161Е+05 Рис. 8.7. Распределение ошибок с граничными условиями Дирихле и Неймана. условия со вторым порядком точности ограничивало суммар- ную точность даже при использовании схемы повышенного по- рядка для внутренних точек. 8.4.2 Конечно-элементная реализация При наличии определяющих уравнений, подобных уравнению (8.1) и содержащих вторые производные, реализация граничных условий Неймана оказывает сушественное влияние на процесс дискретизации. В п.
5.4.1 это было проиллюстрировано на примере решения одномерной задачи Штурма — Лиувилля. Применение метода Галеркина с конечными элементами к уравнению (8.1) приводит к нижеследуюшему интегральному соотношению с весовыми функциями (8 5.!): г!хг!у=а~~~ (а, +ан а )г!хг)р' (8'57) В отличие от рассмотрения, проведенного в 5 5.1, в соотношение (8.57) не вводилось пргближенное решение для Т.
Функция представляет здесь собой весовую функцию, связанную с Т~100.000 66.775 74.650 70.614 65.455 т вб.ооо тз.збв 63.742 56.109 51.193 т= бв.ооо 54.954 50 790 44.зоо 40 109 'Т 52.000 45.433 39.505 34.790 31.742 Т» 36.000 32.549 29.433 26.954 25.351 Т- ЭО.ООО 2О.ООО 2О.ООО 2О.ООО 2О.ООО Е .000 .000 .Обд .000 .000 Е .000 .026 .047 .057 .047 Е~ .000 .035 .063 .07 ° .057 Е~ .000 .031 .054 .063 .047 Км 000 .017 .ОЭ1 .035 .026 Е~ ,000 .000 .000 .000 .000 Т1НЕ и .1600К+05 КНВТ .47100"01 6Э.677 49.455 34.614 30.650 24.775 20.000 .ооо .ооо .ооо .ооо .ооо .ооо Гл. 8. Многомерное уравнение диффузии т.й (галеркинский) узел 1+1„ 3-1 3=1 й+1 Элемент 0 )т (Ь т-й (галеркннсккй) уэлл Элемент С Элемент О Элемент С (а) ) Рис.
8.8. Реализация метода Галсркина с конечными элементами у границ.. (а) Граница х = 1; (Ь) граница у = 1. В правой части уравнения (8.57) можно провести интегрирование по частям, Иначе говоря, будем иметь ~~ фт дх' г)хс(у= ~ ~ф дх1 с(у — ~~ д д г(хг)у, (8.58) ~()ф.—",, ~ ~у= ~~ф.Я ~ — Я()'дет —" ,~ у. (~.59) Если говорить о границе х = 1, то лишь вычисление линейных интегралов в (8.58) и (8.59) дает ненулевой вклад в каждый элемент на границе )7.
Весовая функция ф равна нулю на границах В и Е элемента С, а также на границах Е и Т элемента О. Вклад в линейный интеграл от границы В элемента Е) тождественно погашает вклад от границы Т элемента С. Для функций Т, фигурирующих в интегралах по площади, вводятся общепринятые приближенные выражения Т= ~ ф,(х, у)Ть (,8.60) галеркинским узлом. В связи с реализацией граничных условий Неймана представляют интерес два случая.
Первый из них относится к узлу т, расположенному на границе х = 1 (рис. 8.1); второй случай, когда узел т расположен на границе у = 1. Мы будем предполагать, что ф представляет собой билинейную ннтерполяционную функцию ($ 5.3), хотя данный подход справедлив по отношению к интерполяции любого порядка. Вследствие локального характера функции ф (х, у) в окончательную оценку членов уравнения (8.57) ненулевые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
