Fletcher-1-rus (1185917), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ч, позволяет сделать общий вывод о том, что для решения задач с существенным влиянием диссипации, например определяемых одномерным уравнением диффузии, неявные схемы оказываются более эффективными, чем явные. Распространяя неявные схемы на многомерные задачи и желая при этом получить экономичные алгоритмы, необходимо прибегать к специальным процедурам. Эти специальные процедуры зачастую строятся на идее о том или ином способе расщепления уравнения при использовании удобного координатного базиса ($8.2, 8.3 и 8.5). Применение расщепляющих построений требует особого внимании, если необходимо выполнить граничные условия для производных (условия Неймана, см. $ 8.4).
Приемы расщепления, разрабатываемые в данной главе, применимы к методам конечных разностей, конечных элементов и конечных объемов. $8.1. Двумерное уравнение диффузии 328 Типовые схемы явного и неявного счета, разработанные для одномерного уравнения диффузии, в этом параграфе будут распространены на случай двух измерений, чтобы уяснить, будут ли они непосредственно применимы. 8.!.1.
Явные методы Схема ВВЦП в двух измерениях имеет форму н+! атлв н а — азТ ааТл а — ив 3.ецТь и (8.4) где Тв ~ а — 2Т~1 е + Тг+~ а т-ааТ/, а = ь 'з н т. д. Если придать этому вид алгоритма, то получим Т1, а = ааТ1-и е + (1 — 2зз — 2зд) Т(, а + ззТ~1+и е + + в„Ть а ~ + ввТ1, а+ и (8.5) где и„= а,Л1/Лхз и з„= сс„Л1/Лут.
Разложение в ряд Тейлора в окрестности узла (1, й, и) свидетельствует о том, что уравне- Т(*,1,1) = с~и,т) нв1 1г=ыу 11-1 1=1 3 ! з 3+1 3=их у=а и=! — ~ х О Т(х,0,1) =с(х,т) м 1 Рис. 8.1. Двумерная область и граничные условия Диряиле. ние (8.5) согласуется ($4.2) с уравнением (8.1) и имеет ошибку аппроксимации порядка 0(Л(, Лхз, Луз). Как показывает анализ устойчивости по Нейману, схема (8.5) будет устойчивой, если з„+ зв(0.5. (8.6) Можно заметить, что если з„=з„=з, то условие (8.6) дает з ( 0.25, а это ограничение более строгое, чем соответствуюшее условие для одномерного условия (п. 7.1.1).
Однако если для получения достаточно точного решения приходится выбирать Гл. 8. Многомерное уравнение диффузии 326 которое устойчиво в диапазоне 0 < з < 0.5. Несмотря иа то что схема (8.7) девятиточечная, ее зкономическую реализацию можно осуществить в два этапа: Тг,е=(1+ аб11ае)Тг,а, Тг"+а'=(1+аЫЕ»«)Тг а.
(8.8г (8.9) В случае трех измерений эта схема превращается в трехэтапный алгоритм, при этом сохраняется «одномерный» диапазон устойчивости 0 < з < 0.5. В отличие от этого трехмерная схема ВВЦП при бх = бу = бг остается устойчивой в диапазоне 0 < з < 1/6. Одним из более интересных явных алгоритмов является метод «классики» [Оотг!ау, 1970]. В своем простейшем варнанте этот метод может рассматриваться как двухэтапная схема ВВЦП. На первом этапе алгоритм (8.5) применяется ко всем узловым точкам, для которых сумма 1+ й+и четная; иначе говоря, это относится к ячейкам сетки, соответствующим черным квадратам шахматной доски. На втором этапе нижеследующее уравнение решается для всех тех узловых точек, для которых сумма 1+ й+ и нечетная, т.
е. применительно к белым квадратам «эквивалентной» шахматной доски. (1 + 2г + 2га) Т~, а = Т;", а + з (Т;"+г а + Тг ~е1~ а) + +з„(Т~,',',+Т~, „). (8.10) Члены в правой части уравнения (8.10), определенные в момент времени 1„.«ь известны из результатов первого этапа. Простой метод «классики» дает ошибку аппроксимации 0(Л1, Лхв, буз), однако в отличие от схемы ВВЦП он является безусловно устойчивым. Более подробное обсуждение серии методов «классики» можно найти в книге [М!1с(зе11, Ог!11!1)зз, 1980].
8./.2. Неявный метод Действуя таким же образом, как и при решении одномерных задач, можно построить неявную схему, для которой пространственные производные в уравнении (8.1) определяются на вре- малый шаг по времени, то ограничительное условие на устойчивость может и не быть критическим. Для случая а = и» = аа и Лх = Лу в книге [М11сЬе!1, ОН1- 1!!(зз, 1980] предлагается обобщение схемы (8.4), т. е.
«+! ДГ »1 з ь — оЛ «,Ть а — оЛ-ввТь а — а К11.„„1ев Т, а = О, (8.7) $8.2. Методы раснгеплення для многомерных аадач 327 меннбм слое (п+ 1). В результате получается алгоритм — БхТ!-~. а+ (1+ 2зх+ 2ва) Т!",+й — БхТр.~, а— — заТг,"а' ~ — заТ!+~~+1 = Т~, ы (8.11) Данная схема имеет ошибку аппроксимации 0(М, Лх', Лу') и является безусловно устойчивой. Однако трудность здесь заключается в том, чтобы предложить экономичный метод решения уравнений, получаемых после применения схемы (8.11) к каждому узлу сетки. Обращаясь к уравнению (8.!1), можно дать такую нумерацию узлов, чтобы три члена находились на главной диагонали или рядом с ней, тогда как два других члена были бы отделены от трех упомянутых некоторым числом внутренних узлов сетки (напримр, (х!Х вЂ” 2 на рис.
8.1). Из сказанного следует, что алгоритмом Томаса воспользоваться нельзя. Использование обычного метода исключения Гаусса (и. 6.2.1) было бы чрезвычайно неэкономичным; вариант исключения по Гауссу для разреженных матриц также остался бы неприемлемо расточительным в применении к мелким сеткам. й 8.2. Методы расщепления для многомерных задач Трудность, связанная с двумерной неявной схемой, может быть преодолена путем расщепления алгоритма решения или системы алгебраических уравнений на два полушага, дающих в сумме продвижение на один шаг по времени. На каждом полушаге неявная трактовка дается только членам, связанным с определенным координатным направлением.
Следовательно, появятся только три неявных члена, которые могут быть сгруппированы в окрестности главной диагонали. В результате для построения решения может быть использован чрезвычайно эффективный алгоритм Томаса. Суммарный процесс интерпретации каждого шага по времени в форме последовательности более простых дробных шагов называется расщеплением (по времени). 8.2.1.
Неявный метод переменных направлений (НПН) Наиболее известным вариантом методики расщепления является неявный метод переменных направлений (НПН), предложенный в работе [Реасетап, Касп!огб, 1955). Мы подробно рассмотрим этот метод, а затем предложим более общий подход, основанный иа расщеплении. Схема НПН для решения уравнения (8.!) записывается в виде двух полушагов по времени, как будет показано ниже. Гл.
8. Многомерное уравнение диффузии 328 На первом полушаге используется следующий вариант дискретизации: 7/,а — 7/,а а//2 — аа/.ахТ; а — аа/.ввТ/, а = 0 (8. 12) а на втором— я+г 7га — 7га «+г 81/2 — ал/.ахТ/ а — ав/.ваТ/ а = О. (8.13/ В течение первого полушага решение Т известно на временном слое и, но неизвестно на слое (и + 1/2), обозначаемом Прогонка в направлениик (постоянноеЮ, выполняемая на 1-м шаге по времени Н+ 2! 3 2+! Прогонка в направлении у !постоянное / ), выполняемая на 2.м шаге ло времени Рис. 8.2.
Реализация схемы НПН. Остальные уравнения той же системы формируются около других узлов той же строки Н, Таким образом, решение полученной системы уравнений дает промежуточное решение Т' „, / = 2, ..., !х)Х вЂ” 1, справедливое лишь для одного значения Н. Далее системы уравнений решают относительно Т', /= 2, ... ..., ЫХ вЂ” 1, для каждой строки, т.
е. для Н = 2, ..., !х)'т' — 1 используя при этом алгоритм Томаса. звездочкой. Однако неизвестные узловые значения Т* связаны только с продвижением по направлению х (т. е. при постоянном значении Н на рис. 8.2). Уравнение (8.12) может быть переписано как одно уравнение из системы, а именно — 0.5в Т', „+ (1 + в ) Т/ а — 0.5в„Т', а —— = О.бввТ~, а - г + (! — вл) Т1/, а + О.бввТ/", а+~ (8.14) $8.2. Методы расщепления для многомерных задач 329 На втором полушаге используется уравнение (8.13), представляемое в виде 0 5заТ~ а-1+ (1+ зн) Тг", а — 0 бзд Ть аег = =0.5з„Т', + (! — з„) Т' + 0.5з„Т;.„, а (8.15) В течение второго полушага решение на временнбм слое и+ 1 неизвестно, однако известно решение на промежуточном временнбм слое, обозначенном звездочкой.
Система уравнений, связанных со всеми узлами, расположенными на одной сеточной линии вдоль направления у (фиксированное !) решается относительно Т~,+~,'', й = 2, ..., НУ вЂ” 1. Процесс повторяется для каждой из упомянутых сеточных линий, т. е. для 1= 2, ... ..., 1чХ вЂ” 1. Для проверки устойчивости схемы НПН следует применить анализ устойчивости по Нейману, определяя коэффициент усиления для каждого полушага. Устойчивость полного шага по времени определяется произведением двух коэффициентов уси.ления для полушагов, а именно 1 — 2з„ыпз (Ва/2) 1 — 2з„з!па (В /2) 'Как показывает изучение формулы (8.16), при любом значении з„, з„, О, и О„получим ) 6( ( 1.
Однако, рассматривая по отдельности )О'( и (О" (, найдем, что если полный шаг по времени является безусловно устойчивым, то каждый из полушагов устойчив лишь условно. Впрочем, интерес представляет лишь полный шаг по времени. Составная схема (8.12) и (8.13) согласуется с уравнением (8.1) и обладает ошибкой аппроксимации порядка 0(Л(з, Лх', Лу'). Второй порядок точности является следствием симметрии .схемы в точной аналогии с тем, как второй порядок точности схемы Кранка — Николсона был следствием симметрии по отношению к временному слою (и + 1/2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
