Fletcher-1-rus (1185917), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Таким образом, первый которое будет использовано для оценки точности численного решения. Численные решения вышеописанной задачи были получены с помощью модифицированной формы программы 1)1РЕХ (рис. 7.4). Среднеквадратичные ошибки для сеток различного размера приводятся в табл. 7.8. Эти ошибки были рассчитаны' при 1 = 9.00. Чтобы избежать ошибок, связанных с реализацией начальных условий, такие условия при 1= 0.80 были сформулированы при помощи точного решения (7.40). Все решения, демонстрируемые в табл.
7.8, были получены при значении 3 = = 0.30. $7.3. Граничные и начальные условия 311 Таблица 7.9. Распределение ошибки для случая Ьл=0.226 в табл. 7.8 Метая две ввутревввх тачек ахи О.ен5 сз 0.550 Ьооо ВВЦП+ + (7.32) ВВЦП+ + (7.34) Трекслойный 4-го порядка, т - о + + (7.34) — 0.3799 — 0.08366 — 0.1989 0.000 — 0.02610 — 0373Х 10 0.672 Х 1О 0.332 Х 1О 0.832 Х 1О 0.221 Х 1Π— 0 272 Х 1О 0.42! Х 1О 0.166 Х 1О 0.000 0.000 Формула (7.34), аппроксимирующая первую производную с точностью второго порядка, может сочетаться со схемой ВВЦП с целью получения алгоритма (7.35), дающего решение при х = 0.1. Среднеквадратичные ошибки для этого сочетания приводятся в табл. 7.8. Очевидно, что построенные таким образом решения более точны, чем при использовании аппроксимации первого порядка (7.32) для граничного условия Неймана. Соотношение (7.34) дает ошибку аппроксимации второго порядка, такую же, как и схема ВВЦП.
Из табл. 7.8 видно, что рассматриваемое сочетание приводит к сходимости второго порядка. Анализ распределения ошибок для этого сочетания, приводимого в табл. 7.9, показывает, что ошибка при х = 0.1, где задается граничное условие Неймана, меньше ошибки в любой другой точке. Формула (7.34), т. е. аппроксимация второго порядка для граничного условия, может сочетаться с внутренней схемой (7.16) четвертого порядка. Это легче всего сделать за счет использования (7.36) для явного выражения величины То порядок точности, связанный с применением формулы (7.32), превалирует над вторым порядком точности по пространству, свойственным схеме ВВЦП.
Это положение подтверждается характером распределения ошибки для сетки с Ах = 0.225, показанным в табл. 7.9. Точность решения является наименьшей при х = О.1, т. е. там, где задается граничное условие Неймана, и становится все более точным по мере приближения к точке х = 1.00. 312 Гл. 7.
Одномерное уравнение диффузии и последующего применения формулы (7.!6), записанной для узла 1. Среднеквадратичные ошибки для различных вариантов измельчения сетки приводятся в табл. 7.8 с использованием двух значений у. В общем случае рост у уменьшает точность. Второй порядок ошибки аппроксимации, соответствующий формуле представления граничного условия, достаточен для того, чтобы свести до второго порядка суммарную скорость сходимости. Фактически точность, соответствующая обоим значениям у, меньше точности схемы ВВЦП.
Как показывает приводимое в табл. 7.9 распределение ошибки, создаваемой трехслойной схемой четвертого порядка, ошибка оказывается значительно больше вблизи точки х = О.1, где задается граничное условие с производной, однако вблизи точки х = 1.00 она меньше ошибки, создаваемой схемой ВВЦП. В принципе можно ввести для г(Т/г)х представление более высокого порядка, чем (7.34), связанное с информацией о добавочных узловых значениях Т" и т. д. Однако зто повлекло бы за собой не только усложнение алгоритма, но и необходимость установления ограничений на величину з, обусловленных устойчивостью.
Строго говоря, предпринимать такое исследование стоило бы с помощью матричного метода ($4.3). Нередко введение повышенного порядка представления граничного условия уменьшает рабочий диапазон з, связанный с действием внутреннего алгоритма.
Формулы (7.32) и (7.34), представляющие граничные условия с первым или вторым порядком точности, применялись также и в сочетании с некоторыми неявными схемами, описанными а $7.2; ошибки соответствующих решений приводятся в табл. 7.10. Среднеквадратичные ошибки рассчитывались при 2 =!5.00. Точное решение (7.40) было использовано для задания начального решения при 1= 5.20. Приводимые в табл.
7.10 значения были получены при выборе з = 1.0. Два конечно-разностных метода второго и четвертого порядков, охваченные табл. 7.10, соответствуют в табл. 7.4 значениям параметра МЕ, равным 1 и 3. Сочетание формулы первого порядка (7.32) для представления граничного условия с конечно-разностной схемой второго порядка дает суммарную скорость сходимости первого порядка и точность решения, сравнимую с той, которую создает соответствующая явная схема (табл. 7.8). Эта сравнимая точность достигается вопреки повышенным значениям и, используемым в неявных схемах. Тем самым обеспечивается косвенное подтверждение того, что формула первого порядка для граничного условия играет доминирующую роль в оценке среднеквадратичной ошибки.
3!3 $7.3. Граничные и начальные условии Таблица 7ЛО. Неявные схемы для внутренних точек с граничным условием Неймана прн х =0.1 Прнблншенная скорость сходимостн г Среднеквадратнчная ошибка НМа Форл~ула для граннчного условна Метоя яля внутренних точек ах=0.225 ел=0.п25 Ь,с 0,05025 Конечно-рааностный 2-го порядка (МЕ 1) То же (МЕ 1) Конечно-равностный 4-го порядка, у = 0 То же, у=!0 0.03344 (7.32) 0.1448 0.07138 0.00087 0.00033 0.00363 0.00223 2.1 2.1 (7.34) (7.34) 0.01478 0.00912 1.9 0.00141 0.00339 (7.34) 0.01478 7.3,3. Начальные условия Начальные условия, представленные в форме (7.4), не вызывают каких-либо трудностей в случае двухслойной схемы, подобной (7.6) или (7.20), если не считать границы, на которой ставится граничное условие Дирихле.
Может случиться так, что, скажем, на границе х= 0 значение Т(0, 0), определяемое начальным условием, отличается от значения Т(0, 0), определяемого граничным условием. Предпочтительная стратегия сводится Значительное уменьшение ошибки достигается за счет использования формулы второго порядка (7.34) для представления граничного условия, в особенности на наиболее мелкой сетке.
Точность не столь велика, как та, которую дает сочетание со схемой ВВЦП, хотя скорость сходимости имеет второй порядок. Переход к схеме четвертого порядка для внутренних точек, гРМ-4ТН, дает несколько более точное решение, но со. скоростью сходимости лишь второго порядка.
При Т = 1.0 точность оказывается меньше, чем при Т = О, что согласуется со свойствами явной схемы. Для получения скорости сходимости повышенного порядка следует ввести более точное конечно-разностное представление. граничного условия Неймана при х = 0.10. Такой процесс должен привести к необходимости совместного рассмотрения четырех или пяти узловых точек, а это повлечет за собой потребность в модификации алгоритма Томаса для решения дискретнзированных уравнений с соответствующей матрнцей.
З14 Гл. 7. Одномерное уравнение диффузии 5 7.4. Метод прямых Алгоритмы, разработанные в $7.1, 7.2, прн дискретизация уравнения (7.1) вводят дискретные формулы одновременно как для производной по времени, так н для пространственной пронзводной. Это нередко позволяет добиться исключения членов, определяющих соответствующие ошибки аппроксимации, повышая за счет этого порядок точности. Однако альтернативный подход состоит в том, чтобы пространственный член подвергнуть дискретизации первым, превращая, таким образом, днфференцнальное уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений для узловых значений.
Если в уравнении (7.1) завнснмую переменную Т заменить на и, то в результате вышеописанных действий получим йи7 а (и7 ~ — 2и7+ и7+~) ог .ха ' — 0 (7.41) где для дискретизации озй/е(ха в уравнении (7.1) было использовано трехточечное конечно-разностное выражение второго порядка. Процесс перехода от уравнения (7.!) к уравнениям (7.4!) является примером применения метода прямых !Но!1, 1984), нлн полуднскретнзацнн. Привлекательная черта метода прямых состоит в том, что для решения полуднскретной формы исходного дифференциального уравнения в частных производных можно воспользоваться к тому, чтобы осреднить два значения Т(0, 0) на первом временнбм слое, и = О, но вновь вернуться к надлежащему граничному условию в последующие моменты времени.
В табл. 3.7 эта стратегия сравнивается с альтернативным путем, состоящим в задании Т(0, 0) на первом временнбм слое с помощью начальных условий. Для данного конкретного примера видно, что стратегия осреднення приводит к более точному решению. Трехслойные схемы, подобные (7.25), требуют задания ннформации на двух слоях; поэтому. на начальной стадии ннтегрнровання онн нуждаются в замене. Роль такой замены должна сыграть двухслойная схема, достнгающая той же нлн более высокой точности. Следовательно, подходящей была бы трехслойная схема второго порядка, подобная схеме Кранка — Николсона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
