Fletcher-1-rus (1185917), страница 53
Текст из файла (страница 53)
7. Одномерное уравнение диффузии 306 Таблица 7.6. Точность неявных схем (см. табл. 7.4) при решении уравнения (7.1) Приближен- ная скорость сходимости т Среднеквадратичная ошибка НМЗ Случай (М Е) (ах=0.2! ! (ах=Он( (зх=0.001 0.3895 0.8938 0.2393 0.2393 0.2393 0.1466 0.1787 0.01526 0.01522 0.01525 1.9 2,1 3.9 4.1 3.9 2.090 1.760 2.367 1.395 1.867 3.0 е 2.4 3.9 4.0 3.9 1 2 3 4 5 0.03003 0.2475 0.1246 0.09269 0.1087 при 1= 2.00.
На грубой сетке различные схемы обнаруживают сравнимую точность. Однако на мелкой сетке неявные схемы дают значительно большую точность. Таблица 7.7. Сравнение неявных и явных схем при и = ОА! Приближенная скорОсть сходи- мости т Метод 2.0 0.0 0.7502 0.03718 0.2004 0.05127 0,002407 0.000206 3.5 0.0 0.0 1.0 0.30230 0.1681 0.07550 0.04938 2.0 1.8 1.2440 0.7625 4.0 1.0 0.6482 0.03155 0.00192 0.02290 0.00140 4.0 1.0 0.7347 Тот, вообше говоря, высокий уровень точности, который достигается на мелких сетках, в известной степени отражает гладкость точного решения и относительную простоту опреде- 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 * На основе отношения яМЗдх — 0,2/НМЗах=о.об Конечно-разностный 2-го порядка, неявный Конечно-разностный 4-го порядка, неявный ввцп, й Конечно-разностный 2-го порядка, неявный Конечно-разностный 4-го порядка, неявный Конечно-разностный 4-го порядка, явный 0.03993 0.04185 0.00! 053 0.000897 0.001034 0.03245 0.04668 0.008129 0.005912 0.007097 $7.3.
Граничные и начальные условия лающего уравнения. Как отмечалось в $7.1, нельзя ожидать столь же высокого уровня точности при рассмотрении задач гидроаэродинамики. Однако целенаправленный подбор коэффициентов дискретизированного уравнения типа (7.26), служащий для уменьшения ошибки усечения, является вполне оправданным при условии достаточной устойчивости алгоритма.
В общем случае характеристики устойчивости неявных схем, улучшенные по сравнению с характеристиками явных схем, позволяют проявить ббльшую гибкость при выборе свободных параметров, т. е. 7 и р в уравнении (7.26). 5 7.3. Граничные и начальные условия В $7.1 и 7.2 использовались граничные условия Дирикле, и там, где начальные условия требовали задания данных на двух слоях, эти данные обеспечивались за счет точного решения.
В результате единственный источник ошибок в решениях был связан с дискретизацией производных в определяющем уравнении (7.1). В данном параграфе будут рассматриваться такие решения, в которых добавочные ошибки вносятся в процессе реализации граничных и начальных условий. 7.3.1. Граничные условия Неймана Разработанные нами пока что алгоритмы, как, например, (7.6), пригодны для расчета внутренних узлов. Чтобы восполь- (бт/ах1"„.', «сй„.,) (Тя"-То")/2ьх =Он'т (ЭТ/дх]н о=С(1о) «(Та "То )/2Ьх = с и+! и о — — 7 — о и ,)«О !~ г х=О и+! о —— )=О ! х=О явный вариант Неявный вариант Рис. 7си Варианты реализанин граничных условий Неймана.
зоваться этими формулами для граничных значений, таких, как 71~+' на рис. 7.9, потребовалась бы информация о решении за пределами вычислительной области. Поэтому нужно разработать специальные формулы для использования на границах. Применительно к граничным условиям Дирихле (7.2) трудностей не 20о Гл.
7. Одномерное уравнение диффузии возникает. Там, где требуется значение Т",. делается подстановка Т~ =Ь" на основании (7.2). Граничные условия Неймана в форме (7.3) ставят перед исследователем белее серьезную проблему. Величина ~ЙТ(с(х),, входящая в формулу (7.3), может быть смоделирована посредством одностороннего конечно-разностного выражения с использованием информации лишь изнутри области. Результат имеет вид (7.32) (Т,"+ ' — Т",~' ) 'пх = с" В типичном варианте приложения схема ВВЦП (7.6) будет использована для определения значений Т;+ во всех внутренних в+1 узлах, 1= 2, ..., У вЂ” 1. На границе х = О формула (7.32) дает (7.33) Здесь важная проблема состоит в том, что соотношение (7.33) дает ошибку аппроксимации 0(бх), тогда как схема ВВЦП имеет ошибку аппроксимации 0(бха). Учитывая, что уравнение диффузии является параболическим уравнением (см.
$2.3), пониженная точность решения на границе окажет влияние иа точность решения внутри области во все позднейшие моменты времени. На основании изложенного желательно представить условие Неймана (7.3) посредством такого алгебраического выражения, которое имеет такую же ошибку аппроксимации, как и выражение, используемое для внутренних узлов. Этого можно добиться следующим образом. Формула (7.3) моделируется соотношением (7'а — Та )1(2 Лх) = с". (7.34) Чтобы добиться ошибки аппроксимации порядка 0(бхв), формула (7.34) составлена со включением фиктивного узла (О, п), лежащего за пределами вычислительной области (рис.
7.9). Однако если вычислительную область условно расширить так, чтобы включить в нее указанную точку, то соотношение (7.34) может использоваться вместе с уравнением для точек внутренней области, таким, как (7.5), записанным для точки (1, и), чтобы исключить из обоих уравнений Те". Результат имеет вид Т1+ = — 2з бис" + (1 — 2з) Т1 + 2зТа, (7.35) причем во всех точках области ошибка усечения имеет порядок 0(М, Лха).
Если во внутренних точках используется неявная 4 7.3. Граничные и начальные условия схема, например (7.19), то соотношение (7.34) записывается для временнбго слоя и+ 1 и в сочетании с уравнением (7.20) дает уравнение (см. рис. 7.9) (1+ 2з) Т",+ — 2зТа~ —— Т~ — 2з Лхс", (7.36) 7.3.2, Точность реализации граничного условия Неймана Реализация граничного условия Неймана (п.
7.3.1), применяемого к уравнению диффузии, будет описана применительно к некоторым нз схем, упоминавшимся в $ 7.1 и 7.2, причем будет указано, как влияет эта реализация на суммарную точность. Решения уравнения диффузии дТ даТ вЂ” — и — =0 дС дха (7.37) которое может рассматриваться как первое уравнение трехдиагональной системы, эквивалентной системе (7.21). Эта система может решаться с помощью алгоритма Томаса. Построение, использованное для получения уравнений (7.35) и (7.36), пригодно и в том случае, когда граничные условия Неймана ставятся при х = ! (см.
рис. 7.1). Можно ожидать, что использование различных формул иа границах приведет к изменению свойств, касающихся устойчивости. Строго говоря, более или менее прямолинейный анализ устойчивости по Нейману ($4.3) применим только к уравнениям для внутренних точек; тем не менее, согласно предположению [Тгарр, цагпз(7аъг, 1976), анализ по Нейману может быть эвристически распространен и на границы.
Альтернативный вариант определения устойчивости полной системы уравнений, включая соотношения на границах, состоит в использовании матричного метода. В применении к уравнению диффузии обсуждается возможность применения матричного метода к схеме Кранка — Николсона с различными граничными условиями [М11сйе!1, бг11Н16з, !980).
Как было показано в этой работе, схема Кранка — Николсона с граничными условиями Дирихле является безусловно устойчивой. С граничными условиями Неймана схема Кранка— Николсона устойчива, однако одно из собственных значений матрицы усиления равно единице, что дает осциллирующее решение. Для смешанного граничного условия общего вида необходимо вводить дополнительное ограничение на параметры граничного условия, чтобы обеспечить устойчивость. 310 Гл. 7.
Одномерное уравнение диффузии будут строиться здесь в пространственном интервале 0.1 ( ( х ( 1.0 при граничных условиях дТ и 2 — „= с = 2 — 2п 3 1п (0.05п) ехр ~ — а ( — ) 1~ при х = О. 1, Т=2 при х=1.0. Начальные условия выбраны в форме Т = (2х + 4 соз (0.5пх) при ! = О. Данная задача имеет точное решение Т =2х+4соз(0.5пх)ехр~ — а( — ) Г~, (7.38) (7.39) (7.40) Таблица 7.8. Явные схемы для внутренних точек с граничным условием Неймана при х=0.1 Фор.
мула для гра- ничного усло- вия Приб- лиженная скорости сходн- мости Среднеквадратичная ожнбка ДМЗ Метод для внутренних точек ох=од ыо Да=О.бызб Ох 0.225 ВВПЛ+ (7.32) ВВ((П + (7.34) Трехслойный 4-го порядка 7 =0+ (7.34) (7.32) (7.34) (7.34) 0.1958 0.1753 Х 10 0.4244 Х 1О 0.07978 0,4235 Х 1О 0,9142 Х 10 0.03539 0,1064 Х !О 0,2144 Х 1О 1.2 2.0 2Л 0.2034 Х 10 0.4867 Х 10 0.8684 Х 1О (7.34) Сочетание реализации граничного условия в форме (7.32) со схемой ВВЦП дает, как видно из таблицы, сравнительно неточное решение, точность которого возрастает с измельчением сетки примерно по линейному закону.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
