Fletcher-1-rus (1185917), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Это позволяет сделать вывод о том, что при решении данной задачи величины )си и )хо существенно зависят от некоторых узловых неизвестных иь ш оь м но очень слабо зависят от других узловых неизвестных. На этом основании желательно рассмотреть такие аппроксимации для матрицы 1, которые охватили бы сильную зависимость и проигнорировали бы слабую, если только такой подход привел бы к уменьшенным якобианам или к таким структурам матрицы ), которые допускали бы эффективную реализацию приближенной факторизации (см.
$8.2). Возможная плата, которую пришлось бы уплатить за это, состояла бы в увеличении числа итераций до достижения сходи- мости. Однако если каждая итерация будет сама по себе достаточно экономичной, то упомянутая плата окажется приемлемой. Гл. 6. Стационарные задачи 276 В тех случаях, когда приемы приближенной факторизации (расщепления), описываемые в $8.2, применяются к решению нелинейных задач, это можно связать с приближенной факторизацией уравнения (6.100). Данный аспект проясняется и развивается в 2 10.4, где с помощью приближенной факторизации уравнения (6.100) строится решение двумерных уравнений Бюргерса, т. е.
решается поставленная здесь задача. $6.5. Стратегические приемы для решения стационарных задач Для описания большинства задач гидроаэродинамики используются системы дифференциальных уравнений в частных производных (гл. 11). Если рассматриваются задачи, связанные с потенциалом скоростей ($14.3), с функцией тока ($ 17.3), илн течения несжимаемой жидкости, связанные с изменениями давления ($ 17.1 и 17.2), то, как правило, одно из определяющих уравнений имеет матрицу с диагональным преобладанием.
В некоторых случаях это уравнение может быть также и линейным. Следовательно, здесь будут применимы итерационные методы ($6.3), в частности многосеточные методы (п. 6.3.5), а также специальные прямые алгоритмы (п. 6.2.6), если только сетка является однородной. Когда роль зависимых переменных играют компоненты скорости или завихренность, то в определяющих уравнениях обычно фигурируют нелинейные конвективные члены (гл. 1О).
Дискретизация таких уравнений приводит к нелинейным системам уравнений типа (6.1), в которых нет диагонального преобладания, если не считать случаев, когда диффузионные (вязкие) члены значительно больше конвективных членов. Тогда, говоря о методе решения, следует выбирать между ньютоновским или псевдоньютоновским алгоритмами и псевдонестационарным алгоритмом, связанным с приближенной факторизацией. Сравнительные недостатки и преимущества двух подходов суммируются в табл. 6.5 и 6.6.
При решении задач о течении вязкой жидкости с большими числами Рейнольдса (гл. 17 и 18) матрица ) становится плохо обусловленной и это нередко приводит к расходимости метода Ньютона, даже если начальная аппроксимация соответствует сходящемуся решению с близкими параметрами. В отношении некоторых задач ничего нельзя сказать а рг!оН относительно существования стационарного решения. Тогда при введении нестационарной формулировки удается автоматически обнаружить осцилляционное псевдостационарное решение. $6.6.
Заключение Таблица 6.6. Псевдонестационарная формулировка при приближенной факторизации !) Каждая итерация экономична 2) Очень большой радиус сходимости 3) Малые требования по объему памяти (расщепление делает сеточные линии взаимонезависнмыми) 4) Позволяет обнаруживать нестационарность задачи 5) Можно восвользоваться приближенным реше- нием Преимущества !) Медленная сходимость (требуетси большое число итераций) Недостатки Исторически метод Ньютона чаще использовался в сочетании с методом конечных элементов, тогда как псевдонестационарный подход с расщеплением чаще сочетался с методами конечных разностей.
Однако псевдонестационарный подход можно интерпретировать с точки зрения приведения к диагонально-расширенной системе уравнений, которую следует решать итерационными методами, как в случае уравнения (6.100). Следовательно, даже если расширенные системы уравнений не имеют формального диагонального преобладания по признаку (6.52), они подходят для решения многосеточными методами (п. 6.3.5) и обычно обеспечивают более быструю сходимость.
З 6.6. Заключение В данной главе был дан краткий обзор методов решения алгебраических уравнений, полученных после дискретизации ($3.1), в первую очередь в применении к стационарным задачам. Те алгебраические уравнения, которые получаются при дискретизации определяющих уравнений гидроаэродинамики (гл. 14 — 18), являются, как правило, нелинейными. В результате оказывается неизбежным применение тех или иных итерационных процедур. Концептуально полезная идея состоит во введении внешней итерации, позволяющей преодолеть нелинейную природу дискретизированных уравнений, так что на каждом шаге этой внешней итерации решается линейная система уравнений.
Решение этой системы может строиться либо прямыми ($6.2), либо итерационными методами ($6.3). Во внешней итерации можно воспользоваться методом Ньютона (п. 6.1.1) или псевдонестационарным методом (5 6.4) Гл. 6. Стационарные задачи 278 Несмотря на то что метод Ньютона в окрестности решения обеспечивает квадратичную сходимость, малый радиус этой сходимости при большом числе узловых неизвестных делает данный метод в его основной форме менее эффективным, чем псевдонестационарный метод.
При решении многомерных задач ценность неявных схем расщепления ($8.2) прямо пропорциональна эффективности решения систем уравнений с узколенточными матрицами (п. 6.2.2 — 6.2.5) на каждом этапе внешней итерации. Итерационные методы, используемые на каждом этапе внешней итерации, оказываются обычно наиболее эффективными для систем с сильным диагональным преобладанием. Это часто имеет место при дискретизации уравнений, определяющих трансзвуковое течение невязкого газа ($ !4.3), а это привело к развитию специальных итерационных методов (и. 14.3.5). Однако характерная черта многосеточных методов (и.
6.3.5) состоит в том, что они позволяют достаточно экономичным путем с помощью прямого метода строить решение на самой грубой сетке. Таким образом, многосеточные методы применимы независимо от того, обладает ли матрица системы уравнений .диагональным преобладанием илн нет. и 6.7. Задачи 'Нелинейные стационарные задачи ($6.1) 6.1.
При решении задачи о солнечком коллекторе с помощью программы )ЧЕФТО)Ч модифицируйте зту программу так, чтобы матрица Д входящая в уравнение (6.!0), рассчитывалась только через каждые р шагов. Сравните .числа итераций до достижения сходимости и общие числа необходимых опе. раций, получаемые при различных значениях р. Более разумно начинать с такого решения для Тш>, которое требует для достижения сходимости большего числа итераций, чем показанное на рис. 9.8. 6.2. Сделайте расчеты по программе ХЕ%ТВ() для значений йе = 6, 2, 1.
Для каждого варианта выберите значение ы, приводящее к наиболее быстрой сходимости. Что бы вы могли сказать относительно зависимости от ке числа итераций, нужного для сходимостн) Можете ли вы скоррелировать зту зависимость с о~носительной величиной различных членов уравнений (6.12], а также с вытекающим отсюда преобладанием диагональных членов матрицы 3 в уравнении (6.17)7 6.3. Примените квазниьютоновский метод (п. 6.1.4) при Нс ~ = 1/Хс г к задаче о солнечном коллекторе. Положите 55 ! = 0 при 1 ~ /. Сравните суммарное время счета с аналогичным времекем при применении обычного метода Ньютона. Прямые методы для линейных систем (6 6.2) 6.4.
Составьте компьютерную программу для решения уравнения (6.27) лри Р .и = 0.6, пользуясь подпрограммами ВА)ЧгАС и ВАХБО(. длн аначе:ний с, при 1 = 2, ..., 10. Граничные условия: о, = О, оо — — 1.О. Данная за- $6.7. Задачи 279 дача имеет точное решение в форме (9.46). в! — 0.0060834+ 0.00365 (5/3)! при ! 1, ..., 11. (6.101) 6.5. Пятиточечная схема, соответствующая схеме (6.27), имеет вид (1 + )ссеп) о'-з 8 (2+ ессеи) "1-! + 30" — 8 (2 — де~,н) о.
+ (1 — )? н) о = О. (6.102) Видоизмените подпрограммы ВАХЕАС и ВАН505 применительно к решению пятидиагональной системы, получаемой из вышеприведенного уравнения. Предположите, что заданы адекватные граничные условия, позволяющие вычислить ог з и иг, на левой границе, а также ог+, и ош, на правой гра- нице. Проведите расчет по этой схеме при !' = 3, ..., 9 и )?сен = 1.О. Вос- пользуйтесь формулой о!=(е ! — !)(е — 1) при х; 0.1(! — 1), г !ох ! !о (6.103). чтобы получить граничные значения для оь оз, о,е и ои. Формула (6.103) выражает точное решение задачи, дискретная формулировка которой соот- ветствует (6.102).
Следовательно, решение уравнения (6.102) должно быть близко к выражению (6.103). 6.6. Составьте компьютерную программу для реализации решения блоч- но-трехднагональных систем уравнений с блоками 2Х 2, Проверьте работу программы после дискретизации уравнений г(зТ б5 бе5 г(Т вЂ” — 2 — =0 и — — 05 — =0 (6.104)~ бхе с!х е(хз ' бх с граничными условиями Т = 0 и 5 = ! при х = О, Т = 2 зй (!), 5 = сй(1) при х = 1, используя трехточечные цеитрированные конечно-разностные фор- мулы. Получите решения внутри интервала 0 ( х ( 1.0 при Ьх = 0.1. Точ- ное решение уравнений (6.104) с приведенными выше граничными усло- виями кирилле выражается в виде Т = 2 зй(х), 5 = сй(х).
Итерационные методы ($6.3) 6.7. Постройте решения для задачи о течении в канале (п. 6,3.2) в со- ответствии с табл. 6.3 при условии применения методов Якоби, Гаусса — Зай- деля и ПВР с конечно-разностной дискретизацией для значений Ь)а = 3 и 10. Какой эффект оказывает увеличение отношения сторон? 6.8. Вндоизмените программу РУСТ с целью введения схемы НПН, со- ответствующей уравнениям (6.66) и (6.67), и подтвердите результаты, пока- занные в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
