Fletcher-1-rus (1185917), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Итерационные методы (6.6!). Выбор начального решения в форме ш(!е) =0 требует большего числа итераций, как это можно видеть из сравнения результатов, показанных в табл. 6.3 и 6.4. Таблица 6.4. Влияние степени измельчения сетки иа сходнмосттм задача о канале, точечный ПВР (конечно-разностный метод) Число итераций до достижения сходиностн (тоь-! х !е-') Оитниаланое х Сетка Как показывают результаты, приводимые в табл. 6.3, схейна ПВР с оптимальным значением ). обеспечивает более быст- -3.00 -4ДО -5.00 80 100 Рнц 6.20.
Динамика сходимостн для точечного конечно-разностного метода (Т01 = 1 Х !О а). 20 40 80 рую сходимость, чем схема Гаусса — Зайделя, которая в свою очередь дает более быструю сходимость, чем схема Якоби. На рис. 6.20а приводится график уменьшения среднеквадратичного ЗиаЧЕНИя ИЗМЕНЕНИЯ рЕШЕНИя, т. Е. раЗНОСтИ Ги!!лСй" — и!!н1й, еа +Е чз ен -5.00 6Х6 11 Х 11 21 Х 21 4! Х4! 1.30 1.55 1.74 !.86 12 23 41 79 Гл. 6.
Стацнонарные задача в зависимости от номера итерации п при использовании конечно-разностного метода. Результаты, приводимые в табл. 6.3, свидетельствуют о том, что точечный вариант метода конечных элементов (см. формулы (5.108), (5.109)) дает более быструю сходимость, чем точечный вариант метода конечных разностей при значениях Х ( 1.7. Однако вычислительная работа, приходящаяся на одну итерацию, для метода конечных элементов оказывается больше, так что при решении данной задачи этот метод не обязательно будет эффективнее метода конечных разностей. Все приведенные выше алгоритмы, соответствующие формулам (6.62) — (6.64), имели явную форму.
Вполне возможно и даже желательно отдельные группы узловых переменных рассматривать в неявной форме, если только получаемая система уравнений будет поддаваться эффективному решению. Последнее сможет быть достигнуто посредством формирования трехдиагональных систем уравнений, связанных с каждой из линий (линий постоянных й), параллельных оси х. В результате алгоритмическая запись уравнения (6.6! ) принимает вид (аьа-) л)а).а+~!.ае) (е) (и) (н) ) + р (6.65) Для решения этой системы удобно воспользоваться подпрограммами ВАМРАС/ВАНЬКО(. (п. 6.2.3). Учитывая, что в левой части (6.65) коэффициенты при и)('> постоянны, применять ВАЫРАС требуется только для сеточной линии й = 2. Одна и та же факторизация используется в подпрограмме ВАЯЛО(.
для всех сеточных линий. Комбинация соотношений (6.65) и (6.64) дает схему, известную как последовательная линейная верхняя релаксация (ПЛВР). Неявная схема переменных направлений (НПН), обсуждаемая в книге (Уатте, 1962, гл. 7), аналогична схеме ПЛВР, однако направление счета по неявному алгоритму в этой схеме меняется от итерации к итерации. Следовательно, вместо алгоритма, соответствующего (6.65), используется следующий двухэтапный алгоритм. На первоы этапе решается следующая трехдиагональная система, связанная с линиями постоянных (е, параллельными оси лх 257 $6.3. Итерацнонные методы На втором этапе решается уже другая трехдиагональная система, связанная с линиями постоянных 1, параллельными оси йч Л тл)л+П + 11 + 2Л ) н))л+Н Л ш)а+П р Ьа-) [ и] 1,а р ),л+)= = Л„бур+ Л„в'~) + (1 — 2Л„) а))') + Л„н)'>) (6.67) где параметр Лр выбирается так, чтобы ускорить сходимость, причем Л, = (Ьбу/абх)тЛр.
Стратегические приемы для выбора Лр обсуждаются в книгах [Лтагда, 1962; Фас!)ргезз, 1966]. Вышеописанная схема НПН эквивалентна схеме НПН, описанной в п. 8.2.1. Формулы, сравнимые с (6.66) и (6.67), могут быть получены и применительно к методу конечных элементов за счет принятия соотношений (8.35) и (8.36). Необходимое число итераций для конечно-разностного метода НПН и конечно-элементного метода НПН демонстрируется в табл. 6.3. Оба метода обеспечивают лучшую сходимость, чем соответствующие точечные алгоритмы при неоптимальных значениях Л. Скорость сходимости сильно зависит от степени измельчения сетки.
По мере того как сетка измельчается, число итераций, приводящих к сходимости, возрастает, а оптимальное значение Л становится больше. Эта ситуация иллюстрируется в табл. 6.4, построенной на основе начального решения н))е) = 6, ьл= Рассмотренные выше итерационные алгоритмы можно за- ПИСатЬ В фОрМЕ СООтНОШЕНИя тр1л+)) = берил). УМЕНЬШЕНИЕ СКО- рости сходимости по мере измельчения сетки соответствует тому, что максимальное собственное значение матрицы С приближается к единице.
Желательно, конечно, располагать теми или иными средствами ускорения скорости сходимости. В книге [Наде)пап, т'оцпд, 1981] обсуждаются возможности применения в качестве приемов ускорения метода сопряженных градиентов и метода Чебышева. Однако ни тот, ни другой из этих методов при их применении к схемам Якоби или Гаусса — Зайделя не может обеспечить большей скорости сходимости, чем использование схемы ПВР с оптимальным значением показателя релаксации Л. В качестве очень эффективного варианта Хагеман и Янг рекомендуют применение схемы ПВР вместе с адаптируемым алгоритмом для выбора Л. В их книге [Надетап, тоцпд, 1981] приводится составленная для этой цели подпрограмма.
В книге [Зепи!пдз, 1977а] обсуждается возможность использования с той же целью ускорения по Айткену. 17 К. Флетчер, т. ) Гл. б. Стационарные задачи Следует отметить, что для эффективного применения вышеописанных итерационных методов решаемая задача должна быть существенно эллиптической, т. е. в ее математическом описании должны присутствовать вторые производные, но не должно быть первых производных. Зачастую это приводит к тому, что матрица уравнений (например, полученная из уравнения (6.61)) является симметричной и положительно определенной. Матрица А симметричная и положительно определенная, если Ат = А и хгАх,) 0 при всех х чь О. Примерами уравнений, эффективно решаемых с помощью вышеописанных итерационных методов, являются уравнение Пуассона (для функции тока или давления), возникающее при исследовании течений вязкой жидкости в переменных функция тока — завихренность (3 17.3), а также уравнение для потенциала, часто связанное с задачами о течении невязкой жидкости (гл.
14) и, в частности, о трансзвуковых течениях ($ 14.3). Если в задаче фигурируют первые производные существенной величины, то вышеописанные методы оказываются крайне неэффективными и могут не обеспечивать сходимости. Если, например, применять точечную схему ПСР с методом конечных разностей к решению двумерных уравнений Бюргерса, рассмотренных в п. 6.!.3, на сетке 21 К 11, то для сходимости потребуется Х ( 1.О. После 270 итераций невязки уравнений снижаются примерно до 1.4 Х 1О-'. Для сравнения укажем, что приближенная факторизация в процессе нестационарного метода Ньютона (п. 6.4.1) приводит к той же степени сходимости за 15 итераций.
Существенные члены с первыми производными возникают в уравнениях импульсов, записанных в примитивных переменных ($ 17.1), в уравнении переноса завихренности ($ 17.3), а также в уравнении энергии (п. 11.2.4). б.3.3. Существенно неявная процедура Существенно неявная процедура (СНП) начинает анализ с уравнения (6.49), записанного с целью применения итерационного метода к стационарной задаче общего вида, и с помощью факторизации расщепляет матрицу (ч( на Ш В данном случае матрица А получается за счет трехточечной центрированной разностной дискретизации в двух измерениях.
Структура матрицы А в этих условиях показана на рис. 6.1. Как показано в работе 151опе, 19681, это можно сделать так, чтобы получилось три диагонали в матрице 1. и три диагонали в матрице 1), элементы на главной диагонали которой равны единице. Теперь если сформировать й( = Ш, то ясно, 259 $6.3. Итерационные ыетоды что матрица Р состоит из двух диагоналей, содержащих множители при о;+ь1, и о; ь1+ь Для линейной системы уравнений (6.2) элементы матриц 1., 1) и Р могут быть вычислены раз и навсегда. Алгоритм реализуется в два этапа. Сначала прямая прогонка позволяет получить 1.чгм+и = В+ РЧ1"1. (6.68) После этого осуществляется обратная подстановка 1)Чм+и = чг1н+11.
(6.69) Этот алгоритм весьма эффективен и часто имеет преимущество перед схемой НПН, соответствующей формулам (6.66) и (6.67). В работе [Ьс)1пеЫег, 2едап, 1981] был разработан модифицированный существенно неявный алгоритм (МСН), применимый к случаям пятиточечной или девятиточечной дискретизации в двумерном пространстве, т.
е. к случаю трехточечной конечно-разностной дискретизации или к случаю линейной конечно-элементной дискретизации. Здесь будет описана пятиточечная версия МСН. Что касается девятиточечной версии, то интересующийся ею читатель отсылается к цитированной выше работе Шнайдера и Зедана. Алгоритм„использующий схему МСН, реализуется с помощью формул (6.68) и (6.69). Однако внд матриц 1., 1) и Р отличается от того, что использовал Стоун.
В алгоритме МСН матрица 1. содержит по четыре ненулевых элемента в каждой строке, тогда как матрица (1 имеет три ненулевых элемента вне диагонали и единицу на диагонали, а матрица Р содержит два элемента. Если нумерация элементов Ч соответствует сначала возрастающим значениям 1, а затем возрастающим значениям й, то формула (6.68) принимает вид и1"+п=Ь «+р' «[от е «,— а( — 2о „+2о+, «+о «1)]1"1+ +Ре (о, е «е,— а( — 2о „+2о, +о „~,)]1"1— — [сг «о1 «, + е7, «о1+, «, + ег «о1, «]1"+11.
(6.70) Обратная подстановка согласно (6.69) реализуется в виде о~"+«п=и11"«еп — (д «о+, «+Ь о, е, +г оь«~,)1"+'>. (6.71) В формулах (6.70) и (6.71) коэффициенты с, д, е и 1 являются элементами матрицы 1., коэффициенты и, й и 1 относятся к матрице е), а коэффициенты р' и р' — к матрице Р.
1т" Гл. 6. Стационарные задачи Этн коэффициенты связаны с элементами матрицы А посредст- вом формул а! « сь«= ! а ' дп«= — сь«йу,а-ь ! — ае, «,е „, «, ' 1 д 2 Р! «=д~ «И~+, «ы р~ «=ег «й! 1 «, е~ « — — а! « — ст «Бг « 1ь«=и,— сь«1. « .— д А,+ь«,— е д, «+2а(Р, '«+Рз ), — е «аг ~ « и «=а, — д «1,+, «, — 2ар',, 1а «= ~', (6.72) ь« а! «+~ — ар 1, /,« Параметр а использован здесь для ускорения сходнмостн, прнчем значение а=0.5 близко к оптимальному. Как указывается в работе !ЗсЬпеЫег, 2едап, 198!1, схема МСН оказывается, как правило, в два-четыре раза экономичнее, чем схема СНП, н притом не требует перенумерацнн узлов сетки после каждой итерации, как это имеет место в случае СНП. Информация об использовании существенно неявных процедур, по своей формулировке аналогичных изложенному выше, имеется в работах 1РчпЬ1п, КЬоз!а, 1981; Еедап, ЗсЬпеЫег, 1985; !.1п, 1985!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
