Fletcher-1-rus (1185917), страница 47
Текст из файла (страница 47)
6.3.4) и примененный к основной итерационной схеме (и. 6.3.!в 6.3.3.). Другой вариант интерпретации состоит в том, что основная итерационная схема рассматривается как средство сглаживания в рамках много- сеточного метода, так же как она рассматривалась в качестве предварительного кондиционера по отношению к методу сопряженных градиентов. Как и при ускорении по методу сопряженных градиентов, было найдено, чтоиспользование неполной (приближенной) линейной факторизации матрицы А, переводимой в !. 11, весьма эффективно в качестве сглаживающего процесса для соотношений (6.84) и (6.87) [Боппече16 е! а!., 1985].
Это особенно справедливо в случаях матриц А с сильной асимметрией, например для задач с преобладающим влиянием конвекции (гл. 9 и 10). Подробное описание мно- госеточных методов дается в Ряс. 6.22. Блок-схема для метода трудах [Вгапг(1, 1977; 5!пЬеп, ПМС. Тго!(епЬеги, 1982; Нас)сЬизсЬ, 1985[, а также некоторых других авторов. Брандт, а также Штубен и Треттенберг приводят написанные на языке Фортран программы по применению простого многосеточного метода к решению уравнения Пуассона. Описание, данное здесь, следует в основном 'Штубену и Троттенбергу. Приложения многосеточных методов к решению задач о невязком течении приводятся в п. 14.2.9 и 14.3.5, а к проблемам течения вязкой несжимаемой жидкости — в и. 17.2.3 и 17.3.!.
$6Л. Псвдонестацнонарный метод 271 9 6.4. Псевдонестационарный метод Альтернатива решению алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации некоторой стационарной задачи, состоит в построении эквивалентной нестационарной задачи и решении этой задачи маршевым методом вплоть до достижения стационарного состояния. В подобных условиях время играет роль итерационного параметра. Таким образом, если провести дискретизацию уравнения Лапласа дгб дгб — + — =0 дк* ду' (6.92) пользуясь центрированными конечно-разностными формулами при Ах = Лу, то метод Якоби дает для внутренних узлов (на сетке 1, л типа, показанного на рис.
6.21) выражение о~г",а =0.25(о~г~",~аг.~+ о~~",~а 1+ о)+на+ о~~"~на). (6.93) Желая получить эквивалентное нестационарное уравнение, следует заменить (6.92) на выражение дб / дгб дгб х — = а~ — + — ~. дт ~дкг дуг 3' (6. 94) Лискретизация с помощью конечно-разностных формул при Ах = Лу приводит к алгоритму б~ьЛ~ = (1 — 4з) о~", г + з (б~, акг + ц~, а 1+ о~~и а+ б~г ь «), (6 95) где з = ссА(/Лха. Выбор э = 0.25 воспроизводит формулу (6.93). Таким образом, имеется очевидная связь между нестационарной формулировкой и методом итераций, рассмотренным в $6.3. Важное преимущество нестационарной формулировки состоит в том, что она позволяет воспользоваться различными приемами расщепления, обсуждаемыми в $8.2.
Например, уравнение (6.94) при его решении по методу НПН приводит к алгебраическим уравнениям (8.14) и (8.15). Решение этих уравнений строится путем решения подсистем уравнений, связанных с каждой из сеточных линий, с помощью алгоритма Томаса (п. 6.2.2). Этот процесс иллюстрируется на рис. 6.23. Если учесть, что само нестационарное решение интереса не представляет, обычно целесообразно выбрать такую последовательность шагов по времени, чтобы минимизировать общее число временных шагов, необходимое для достижения сходимости.
Вид упомянутой последовательности зависит от самой задачи, однако, как правило, имеет характер геометрической прогрессии, причем диапазон изменения временных шагов соответствует диапазону собственных значений, связанных с трехднаго- Гл. 6. Стационарные задачи Рис. 6.23. Псевдонестационарный метод с расщеплением для решения дву- двумерной задачи. В силу наличия пространственных вариаций скорости сходимости целесообразно дать следующую модификацию уравнения (6.94): до дза дзо е(х у) д, =а(д т+ д ) (6.96) где коэффициент с(х, у) подбирается эмпирически так, чтобы выравнять скорость сходимости на различных участках вычислительной области.
После этого схема расщепления вводится обычным образом 5 8.2). 6.4.1. Двумерные стационарные уравнения Бюргерса Здесь мы проиллюстрируем эффективность псевдоиестационарного метода путем сочетания его с методом Ньютона в применении к решению двумерных стационарных уравнений Бюр- нальными матрицами, соответствующими сеточным линиям по направлениям х и у [Фас)тргеэз, 1966, гл. 61. Прн решении задач обтекания часто выясняется, что на одних участках вычислительной области приближение к стационарному состоянию идет значительно быстрее, чем на других. При обтекании ступеньки, обращенной назад (п. 17.3.3), решение в области отрыва потока за ступенькой сходится значительно медленнее, чем в областях, удаленных от ступеньки.
$6.4. Псевдонестанионарный метод ф+ 3) Лй= — К, (6.100) которое можно сравнить с уравнением (6.!7) при использовании обычного метода Ньютона. Выбор малых значений М соответствует тому, что расширенный якобиан (1/М + Я) приобретает ббльшую степень преобладания членов, близких к диагонали. Уравнение (6.!00) обладает большей эффективностью в отношении «нижней релаксации» в рамках метода Ньютона, чем 18 К Флетчер, т.
! герса (п. 6.1.3). Уравнения (6.12)' заменяются эквивалентными им иестационарными уравнениями: дй дй дй 1 л д'й дейч — +й — +й — — — ~ — '+-',)=О, д! дх ду дехдхе ду ) дб дб дб 1 Г дтб даб Х (6 97) — +й — + о — — — 1х — + — )=О. д! дх ду рте х дхл дул) Дискретизированная форма уравнений (6.97), эквивалентная уравнениям (6.13), имеет вид ил+! нл л+! „л "!. "ь +Я + О !, "ь +/х лт О (698) й! иьа —, оьа = где /си)'.~а и Яо1,+а определяются выражениями (6.13). Можно отметить, что стационарные члены представлены выражениями на временном слое п+!. Это сделано для того, чтобы псевдонестационариая форма была совместима с мето- дом Ньютона и чтобы временной слой и+ 1 был однозначно эквивалентен итерационному уровню в методе Ньютона (п.
6.1.1). Из рассмотрения выражений (6.13) следует, что /хи н /го а являются функциями и"+„', й+!! а, о"+' и т. д. Поэтому разложение Яи"+а! и /хо"+а! в окрестности временнбго (итерационного) уровня, как это делается в п. 8.2.2, позволяет переписать уравнения (6.98) в виде ,~иле! дГси! а (6.99) где Лиле! = ил+' — ил и т. д. Член д обозначает как и, так и о, а индексы 1, пт соответствуют всем возможным значениям / и й, для которых частные производные отличны от нуля.
Иначе говоря, 1=! — 1, 1, /+ 1; и =й — 1, й, й+ 1. Уравнения (6.99) могут быть объединены в одно матрично-векторное уравнение вида Гл. 6. Стационарные задачи уравнение (6.19). Типичная форма выдачи для решения уравнений Бюргерса, обеспечиваемого программой )ч)Е%ТВ() с уравнением (6.100), показана на рис. 6.24. Очевидно, что с уравнением (6.100) сходимость осуществляется намного быстрее, чем с уравнениями (6.17) и (6.19).
В случае уравнения ИЕИТОИВ НЕТНОО ЕОА И = 18 1ТНХ= 50 180= 1 1РИ= 5 ОТ= . 10000Е-01 ЕРВ= . 100Е" 04 АЕ= . 100Е+02 ОН . 100Е+01 А = 110.13 ЫО.ЗЗ .ОО .Оа 1.ОО АТТЕА 23 1ТЕААТ10ИВ ТНЕ АНВ АЕ8100Аь 18 .831740"05 О= .9990 .9586 .4888 †.0559 -.0991 0= .9990 .9605 .4835 †.0567 †.0991 О= .9990 .9603 .4748 †.0585 -.0991 0 .9989 .9577 .4625 -.0615 †.0992 О .9988 .9524 .4462 ".0657 -.0992 Ч .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 Ч .1317 .1282 .0748 .0090 .0012 Ч= .2679 .2605 .1507 .0179 .0023 Чч .4142 .4017 .2290 .0266 .0034 Чч .5774 .5577 .3109 .0349 .0045 Рис.
6.24. Типичная выдача по результатам программы МЕЧЧТВ1) с уравнениемм (6. ) 00) . (6.100) скорость сходимости зависит от выбора М. Если значение М велико, то сходимость идет так, как при обычном методе Ньютона. Однако в применении к двумерным уравнениям Бюргерса это, по существу, означает расходимость (п. 6.1.3).
Если же значение М малб, то скорость сходимости оказывается меньше, но появляется преимущество, состоящее в значительном расширении радиуса сходимости. Тем самым преодолевается главный недостаток метода Ньютона, отмечаемый в табл. 6.5. Если уравнения решаются, то с учетом единственности решения уравнений (6.98) ясно, что при выборе доста- ОЕ ОЕ= ое пе пе= чече= че че= ЧЕч 1Т- "0 1Т= 5 тт зо 1Т 15 Зт= го .9990 .9990 .9990 .9989 .9988 .ОООО .1317 .2679 .4142 .5774 АНВ= ННВ= АНВ АНВ АНВ= .9586 .9583 .9572 .9553 .9524 .0000 .1277 .2598 .4010 .5577 .14960+ОО .17560-01 .20630-02 .24650-03 .29630"04 .4888 †.0559 .4863 .4786 -.0584 -.0991 .4655 -.0614 -.0992 .4462 ".0657 ".0992 .ОООО .ОООО .ОООО .0753 .0090 .0012 .1515 .0179 .0023 .2297 .0266 .0034 .3109 .0349 .0045 А †.21690+00 †.28500-01 †.2188й+00 А= †.10710-01 †.23090-02 †.17030-01 и= ".10720"02 †.20970-03 †.17480-02 А= †.11600-03 †.21030-04 -.19050-03 А= †.13080-04 †.22190-05 †.21570-04 $ 8.4.
Псевдонестационарный метод Таблица бл. Метод Ньютона Преимушества 1) Быстрая сходимость (малое число итераций) 2) Может модифицироваться для устранения многих явных недостатков 3) Можно воспользоваться приближенным ре- шением 1) Малый радиус сходимости нри большом числе неизвестных 2) Факторизация 3 на каждой итерации неэкономична с вычислительной точки зрения 3) Факторизация 3 требует большого объема памяти для хранения всех элементов 4) Метод расходится, если матрица 1 плохо обусловлена Недостатки 18* точно малого А1 решение будет построено, какова бы ни была его приемлемая начальная аппроксимация. Видоизменения программы )х)Ет11ТВ(), отражающие переход к уравнению (6.100), содержатся в строках 36 и 39 подпрограммы ПАСВ(.) (рис.
6.13). Основные недостатки метода Ньютона, отраженные в программе МЕ%ТВ(), связаны с недостаточной экономичностью процессов формирования матрицы ) и факторизации расширенного якобиана (!/А1+ Я). Факторизация матрицы 3 требует 0(ЛР) операций, что чрезвычайно расточительно в случае больших А1. Кроме того, по соображениям экономичности необходимость хранения всех элементов матрицы Я в оперативной памяти влечет за собой строгое ограничение на максимальный размер тех систем уравнений, которые могут решаться. Многие из элементов матрицы Л равны нулю и только некоторые из отличных от нуля имеют большие значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
