Fletcher-1-rus (1185917), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Слегка видоизмененные формы этих соотношений, а также формул (6.46) встречаются при других вариантах граничных условий (8!наг(г(гацЬег, 1977). Для сетки, соответствующей случаю М = М, оптимальное число циклических редукций дается в работе [Бъ'аг1г!гацЬег, 1977) в виде 1 = 1онз(1ойз М) — 1. Комбинированный алгоритм .РАСК(1), впервые описанный Хокни [Носкпеу, 1970], требует для своей реализации М»1одз(1одзМ) операций. При М = 1000, 7= 2 алгоритм РАСК(1) оказывается примерно в 30 раз быстрее, чем неявная схема переменных направлений (НПН, см. п. 6.3.2), примененная к уравнению Пуассона.
Реализация алгоритма РАСК(1) на суперкомпьютерах обсуждается в книге [Носкпеу, ЛеввЬоре, 1981], так же как и подходы к решению дискретизированных уравнений Пуассона в трех измерениях [Носкпеу, ЯеввЬоре, 1981]. Что касается подробного обсуждения прямых методов регпения уравнения Пуассона, а также быстрого преобразования Фурье, то интересующийся читатель отсылается к книгам [Носкпеу, ЛеввЬоре, 1981; Я!наг(г1гацЬег, 1977; 1)огг, 1970], а также к цитированным там источникам. й 6.3. Итерационные методы Следует ясно отдавать себе отчет в том, что происхождение скорости циклической редукции и возможности представления с помощью ряда Фурье обусловлено симметричным характером и постоянством коэффициентов в дискретном варианте лапласнана на равномерной прямоугольной сетке. В случае сетки произвольной формы дискретизация уравнения Пуассона, осуществляемая, например, в процессе применения метода конечных объемов ($5.2) или метода конечных элементов с изопараметрическим преобразованием (п.
5.5.3), или же использования обобщенных координат (гл. 12), приводит к алгебраическому уравнению с переменными коэффициентами. Например, при введении обобщенных координат это уравнение может быть записано в виде пь А-ь е+ 5ь «1~с+па+ с~ еР~ е 1+ 4г е)г~ а~1+ ез «Р~ а — — Ьь ы (6.47) или, по аналогии с (6.40), в виде (6.48) С Че, + Га Ч + 'О Че, = Ъ . Как и прежде, матрица ба является трехдиагональной, а векторы Са и 0е содержат диагональные элементы. Однако для уравнения (6.48) не реализуется тот вариант исключений, который приводил к уравнению (6.41). Если к уравнению (6.47) применить метод разложения в ряд Фурье, то вместо трехдиагональной системы (6.44) получится система уравнений для У,, а с плотной матрицей.
Следовательно, по отношению к уравнению (6.47) метод разложения в ряд Фурье является не более экономичным, чем метод исключения по Гауссу (п. 6.2.1), примененный непосредственно к этому уравнению. В зависимости от выбора сетки уравнение (6.47) может включать также отличные от нуля вклады, связанные с узловыми точками (1 — 1, А+ 1), (1 — 1, Ф вЂ” 1)„ (1+ 1, й+ 1) и (1+ 1, А — 1). $6.3. Итерационные методы Итерационные методы можно применять непосредственно к нелинейной системе уравнений (6.1); однако проще несколько видоизменить методику построения итераций, обрашаясь к линейной форме (6.2). Все итерационные методы можно рассматривать как процедуры, предназначенные для последовательной модификации начальной аппроксимации, при этом систематически приближаясь к решению.
В обшем случае простые итерационные методы не обеспечивают сходимости, если 250 Гл. 6. Стационарные задачи только матрица А, входящая в уравнение (6.2), не включает в себя больших элементов на главной диагонали, т. е. если не выполняется условие (6.52). б.3.1. Общая структура методов Общая структура итерационных методов для стационарных задач будет выявлена, если уравнение (6.2) переписать в форме () ( — Р) Ч = В, (6.49) где матрица й) в некотором смысле близка к А, т.
е. )(К(( ж — !!А1, но легко поддается численной факторизации; например, матрица й( может быть трехдиагональной. Уравнение (6.49) можно переписать в виде й(Ч("+и = РЧ(") + В, или Ч("+')=М 'РЧ(")+М 'В, или ( и + ) ) Ч ( и ) ) т ( ) К ( а ) (6.50) (6.51) где К(") — вектор невязок уравнения на и-м этапе итерации, т. е. К(") = АЧ(") — В. По мере приближения к точному решению величина ~)КЧ стремится к нулю, так что контроль за поведением этой величины дает информацию о степени реализации сходимости. Итерационный метод общего вида состоит из этапа начальной аппроксимации, т.
е. задания Ч('), и этапов последовательного улучшения аппроксимации с использованием формулы (6.51). Различные варианты метода отличаются друг от друга главным образом тем, как выбирается матрица Х. Схема (6.51) будет обеспечивать сходимость, если спектральный радиус (т. е. величина максимального собственного значения) для в(-)Р оказывается меньше единицы. Нередко это условие соответствует более ограниченному условию о том, что матрица А имеет свойство диагонального преобладания, т. е. ! А()! ) ~~' (А;11.
(й. ( (6.52) Одна из наиболее простых итерационных схем для решения уравнения (6.2) носит название метода Якоби. При применении, этого метода й) = 01, Р = (1. + 11), $ 6.3. Итерационные методы 2ш где О! — диагональная матрица, тогда как !. и (1 — строго ниж- няя и верхняя треугольные матрицы соответственно. В резуль- тате формула (6.60) принимает вид о!"-~!!=! В! — ~ А,. п!л!) (А! ! тФ! (6.53) а эквивалентом формулы (6.53) служит выражение !-! Л л(В, — Г льве+в — Г.
л,р!'~)!!лп. !6ла! л-! л=! ! ! Как правило, итерации по Гауссу — Зайделю оказываются вдвое быстрее итераций по Якоби, однако ускорению не поддаются. Если матрица А обнаруживает диагональное преобладание согласно условию (6.52), то сходимость методов Якоби и Гаусса — Зайделя гарантирована. Метод Гаусса — Зайделя может быть существенно улучшен с помощью последовательной верхней релаксации (ПВР), когда о!"л !! определяется как средневзвешенная величина по отношению к п!а! и (п<Р+'!) . Таким образом, схему ПВР можно. ! оз записать в виде ! †! м .!-|-а(а.— Кл„,; — ь л...
)/лпл(! — л! ',"'. Коэффициент д — показатель релаксации. Для сходимости ПВР необходимо выполнение условия 0 ( Х ( 2. В обозначениях формулы (6.51) схема ПВР соответствует принятию вы- ражения (6.57) !т( = О!/(Х вЂ” !.). Вышеописанная форма метода Якоби является неэкономичной, так как требует слишком много итераций для достижения сходимости. Однако она может быть существенно улучшена за счет применения приемов ускорения либо по методу Чебышева [Надетап, Уонип, 1981, гл.
4], либо по методу сопряженных градиентов (см. п. 6.3.4). Более эффективное улучшение метода Якоби обеспечивается с помощью метода Гаусса — Зайделя, при котором в правую часть формулы (6.53) вводятся значения о!!+и, если только они известны. В этом случае Х=Ш вЂ” !., Р=П, (6.54) Гл. 6. Стационарные задачи где )а — наибольшее собственное значение комплекса !в Р1-'А. Однако нахождение явного выражения для )а может оказаться столь же дорогостоящим, как решение всей задачи в целом. Поэтому предпочтительная стратегия состоит в том, чтобы получить некую оценку значения )г уже в процессе реализации итераций согласно (5.56).
После этого формула (6.58) даст улучшенное значение Х. Подробности этого процесса излагаются в книге [Надегпап, Уонип, 1981, гл. 9]. При хорошем выборе предварительного значения )„м схема ПВР оказывается значительно более эффективной, чем метод Якоби или метод Гаусса — Зайделя. Однако к ее первоначальному варианту невозможно применить метод ускорения — ни в форме метода Чебышева, ии в форме метода сопряженных градиентов. Но если провести небольшую модификацию для получения метода симметричной последовательной верхней релаксации (СПВР), то введение приемов ускорения будет уже возможным.
Метод СПВР состоит из двух этапов На первом этапе применяется схема ПВР. На втором этапе итерация неизвестных производится в обратном порядке с использованием схемы ПВР при том же значении ), что и на первом этапе. Метод СПВР соответствует следующему выбору матрицы и) в формуле (6.51): (()! + Хь) )з1 (0$ + ()) Х (2 — Л) (6.59) Следует подчеркнуть, что без применения приемов ускорения метод СПВР оказывается менее эффективным, чем метод П ВР. б.3.2. Анализ те!ения в канале с помощью итераг(ионных методов В данном пункте мы применим три итерационных метода— методы Якоби Гаусса — Зайделя и последовательной верхней релаксации (ПВР) к решению задачи о полностью развитом ламинарном течении в канале прямоугольного сечения. Эти три итерационных метода обсуждались в и. 6.3.1 в качестве явных или точечных алгоритмов.
Если воспользоваться алгоритмом Томаса (подпрограммы ВА5)ГАС и ВАХ80), п. 6.2.3), Число итераций, требуемое для сходимости, чувствительно к выбору Х. Оптимальный выбор обеспечивается принятием значения 2 Ло )+(1-иа)из ' (6.58) 254 Гл. 6. Стационарные задачи РЕШЕНИЕМ Ш//л/ СОГЛаСНО СООТНОШЕНИЮ тв/л+/1 Лп/1 1 .+ (1 Л) ш/л/ и//л/ + Л /ш1 1 и//л/ ! (6 64~ /й /й /й /й ( /й /й/' где Л вЂ” показатель релаксации. Если принять Л = 1, то получится схема Гаусса — Зайделя. Схема ПВР, примененная к уравнению (6.61) с учетом интервала 0 ( Л ( 2, приведет к сходящемуся решению.
Три указанных итерационных метода применялись также и в сочетании с конечно-элементной аппроксимацией уравнения (6.60), которая была описана в п. 5.5.2. Например, эквивалент формулы (6.63) соответствует формуле (5.108). таблица 6.3. Число итераций до достижении сяоднмости В табл. 6.3 дается сравнение числа итераций, необходимого для достижения сходимости при решении задачи о течении в канале с помощью программы Р()СТ на сетке размером 11 Х 11. Сходимость предполагается достигнутой, когда ~Я/"1~1, .
( ТО1.. Результаты приводятся для двух значений критерия ТОЕ (1о!егапсе). Решение, задаваемое в качестве начального для итерационного процесса,— это точное решение уравнения (6.60). В случае сетки конечного размера это решение не совпадает с решением дискретизированного уравнения Якоби 0.8 0.9 1.0 (Г.-З.! 1.1 1.2 1.3 !.4 1.5 1.55 1.6 1.7 1.8 4! 39 33 28 24 21 18 15 12 11 11 14 21 87 74 62 51 43 36 29 23 18 15 17 21 28 64 55 45 38 32 26 21 17 12 13 15 20 29 19 16 14 !2 12 !2 12 11 1! 11 12 19 18 17 16 15 14 13 14 15 16 17 0.9 1.1 1.3 1.7 2.1 2.5 2.8 3.3 3.7 4Л 4.5 255 $6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
