Fletcher-1-rus (1185917), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е. к Чм+'. Если приближенный вариант решения уравнения Ат+гЧ +' = Вт+' обозначить символом Ч е' ', так что Чт+1 — Чт+!' а + %т+! (6.82) А ~'% +' =В +' — А +'Ч +''= К"+'. (6.83) Поправка %т+' и невязка (или дефект) Рте! весьма близко аппроксимируются поправкой и невязкой на ближайшей в последовательности более грубой сетке, т. е. величинами % и Й", если только последние обладают достаточной гладкостью, т. е. если амплитуды высокочастотных составляющих малы. Наивысшая частота, поддающаяся представлению на дискретной сетке с ячейкой Лт, равна от (п. 3.4.1). Релаксационные итерационные процедуры, подобные процедурам Якоби, Гаусса — Зайделя и ПСР, описание которых было дано в п.
6.3.1, на протяжении нескольких итераций удаляют высокочастотные компоненты. Но вот удаление низкочастотных компонент ошибки, а следовательно, и невязки является причиной слабой сходимости релаксационных методов на фиксированной сетке. Однако низкочастотная компонента на мелкой сетке становится высокочастотной компонентой на грубой сетке. Исходя из этого, применяя многосеточные методы, стремятся воспользоваться высокочастотным сглаживанием, присушим релаксационным методам, следуюшим образом.
При заданной (ла+ 1)-й сетке для сглаживания высокочастотных компонент поправки и невязки делается несколько (ч!) релаксационных шагов. На основании (6.83) это может быть символически записано в виде % +'' =КЕ1.АХ' (% +, А +', Р, + ), (6.84) мт+!, ы мт+! Ате\ т+!, и В случае линейной системы уравнений релаксация может быть применена как к первоначальному уравнению (6.2), так и к 2бб Гл, б, Стаииоиариые задачи уравнению (6.83) с невязками и поправками.
В случае нелинейных систем уравнений релаксация должна быть применена к первоначальному уравнению (6.1). Распределение невязок К на т-й сетке вычисляется по К ~ь' с помощью ограничительного оператора 1 еь Это может быть символически записано в виде рш 1~и р/и+с м (6.85) Надлежащие варианты ограничительного оператора будут указаны позднее. Процесс релаксации и ограничения продолжается до тех пор, пока не будет достигнута самая грубая сетка, т. е. т = 1. На наиболее грубой сетке с экономической точки зрения целесообразно продолжать релаксацию (или использование любого другого итерационного метода) до тех пор, пока не будет получена сходящаяся поправка %'. В качестве альтернативы уравнение А'%' = К' или (6.2) может быть решено с помощью прямого метода ($6.2).
Можно отметить, что в общем случае, если К' отлична от нуля, то и %' отлична от нуля. Поправка %а может быть получена из %' путем пролонгации (интерполяции). Это символически изображается формулой %'= 1з|%', или в более общем виде %Я.~- ! 7 я+1%Я (6.86) Надлежащие формы оператора пролонгации 7 ~ будут указаны позднее. Затем на более мелкой сетке при т+ 1 делается еще несколько релаксационных шагов (ча), так что % +'"= КН.АХ" (% "', А"", К +'), (6.87) прежде чем проводить пролонгацию на более мелкую сетку. Один многосеточный цикл, берущий начало с наиболее мелкой сетки, т. е. с т = М, состоит из серии повторных применений формул (6.84) и (6.85), пока не будет достигнута наиболее грубая сетка, после чего строится точное или полное итерационное решение уравнения А'%' = 1с' и проводится серия повторных применений формул (6.86) и (6.87) вплоть до вторичного достижения наиболее мелкой сетки при т = М.
Эта процедура называется Ч-циклом и ее блок-схема приводится на рис. 6.21. Цикл повторяется заново до тех пор, пока не будет достигнута удовлетворительная сходимость на наиболее мелкой сетке. Если в качестве уравнения (6.2) берется уравнение Пуассона на равномерной сетке, то десяти циклов достаточно для того, чтобы изменение решения для двух последовательных циклов $6.3. Итерационные методы уменьшилось до значения порядка 10-'. При проведении первого цикла величина % принимается равной первоначально заданному предполагаемому решению на мелкой сетке Чм ".
Новая Прежняя гацня Рис. 6.2т. Блок-схема для многосеточного Ъ'-цикла. Ограничительный оператор 1 еь фигурирующий в формуле (6.85), позволяет построить распределение невязок на более грубой сетке Кж по известному распределению невязок на более мелкой сетке К +'. Простейшим выбором для физической 268 Га. 6.
Стационарные задачи сетки при индексах 1 и Й, соответствующих положению узловой точки на грубой сетке в направлениях х и у соответственно, является непосредственное замещение Л~, « = Р), « . Такой процесс устойчив и эффективен в вычислительном плане при решении существенно эллиптических задач, например для уравнения Лапласа в п. 5.2.3.
Однако для нелинейных задач со слабой эллиптичностью типа задач о течении вязкой жидкости с большими числами Ке (гл. 17) более устойчивый выбор обеспечивается с помощью пятиточечных и девятиточечных операторов 1+,= — — 282, 1 242 (6.88) (6.89а) (6.89Ь) (6.89с) Значения ш +' в точках (1, й ~ 1/2) определяются так же, как в формуле (6.89Ь). Следует отметить, что узловые точки (1', й) на более грубой сетке будут переобозначены индексами (21 + 1, 2Й + 1) на более мелкой сетке. При решении нелинейных задач многосеточный метод можно сочетать с методом Ньютона (п.
6.1.1). На каждом шаге ньютоновской итерации линейная система (6.6) решается относительно поправки к решению. Многосеточный алгоритм, соответствующий рис. 6.21, может применяться в процессе итераций при решении (6.6). Однако многосеточный метод может применяться и непосредственно к решению нелинейной системы (6.!), без обращения к методу Ньютона. При этом существенное отличие от алгоритма, схематически представленного на рис.
6.21, состоит в том, что на этапе ограничения по формуле (6.85) нужно ограничивать переброской на более грубую сетку и не только не- вязку К ~ '', но и приближенное решение Ч"+''. На т-м слое вместо решения уравнения (6.83) ищется решение уравнения А"Ч ' ' = 1х" + А 1 +,Ч ' '.
(6.90) Оператор пролонгации (интерполяции) из формулы (6.86) обычно базируется на билинейной интерполяции в двух измере- ниях. Так, например, если индексы 1, й относятся к более грубой сетке пт, то ~а+! о~ щ,» =юь», ы+1 / сн п~ ш1«нз, « = 0.5 ~тип»+ в~~ ь «), и+! ш ~И ~И ы шн па»» па = 0 25 (жь «+ э~+ к «+ юь «»1+ нтг те м) 269 $6.3. Итерационные методы На практике решение Ч ' строится путем релаксации с последующей переброской на более грубую сетку точного решения на самой грубой сетке, а затем релаксации и пролонгации на все более мелкие сетки по аналогии со схемой, показанной на рис. 6.21. Как только получено решение Ч ', рассчитывается поправка Щ Чы, е 7ы ЧО3е.д е П$+! (6.91) которая затем пролонгируется на (т+ 1)-ю сетку.
После этого подправленное решение, т. е. Ч "к +! ~~Че"', релаксируется в основном так же, как и в линейном случае, чтобы получить Ч +". Схему решения нелинейной задачи называют методом полной аипроксигеационной памяти (ПАП) [Вгапй(, 1977] в отличие от метода поправочной памяти (ПП), описываемого на рис. 6.21. Если учесть, что метод ПАП перебрасывает иа более грубые сетки и решение, и невязку, то его экономичность немного ниже (на 5 е/е — 1О $), чем у схемы ПП; в общем случае метод ПАП не должен использоваться при решении линейных задач. Как и в случае метода ПП, эффективность этого метода зависит от возможности сглаживания поправки к решению 1Ч и невязки Й. Описание методов ПП и ПАП было начато с аппроксимации решения на наиболее мелкой сетке, и = М, проходило через Ч-цикл вплоть до самой грубой сетки и возвращалось обратно, чтобы улучшить начальное решение. Такая стратегия является вполне подходящей, если в нашем распоряжении имеется хорошее приближение к решению Ч".
Если никакой информации о решении нет, то лучше начинать с решения на наиболее грубой сетке, полученного либо непосредственно, либо с помощью обычных итераций. Для улучшения решения с помощью интерполяции высокого порядка делается переход на следующий уровень более мелкой сетки, а затем проводятся г многосеточных Ч-циклов.
Процесс интерполяции высокого порядка в сочетании с г многосеточными Ч- циклами повторяется на последовательности все более мелких сеток вплоть до и = М, а многосеточный Ч-цикл повторяется до достижения сходимости. Описанное выше составляет основу полного многосеточного метода (ПМС), представляющего собой обобщение методов ПАП и ПП. Схема метода ПМС показана на рис. 6.22 для случая линейной системы уравнений.
Функция 1ЫТ(Чм, т) символизирует кубическую интерполяцию Ч сначала в направлении х, 270 Гл. 6. Стадяояаряые задачи а затем для всех узловых значений х< +о в направлении у. Функция МО1(Ч "— ', А, В ) соответствует одному проходу через многосеточный Н-цикл, показанный на рис. 6.21. Многосеточный подход можно рассматривать как прием ускорения, подобный методу сопряженных градиентов (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
