Fletcher-1-rus (1185917), страница 49
Текст из файла (страница 49)
6.3. Сходимость нередко ускоряется за счет введения восле- довательности итерационных параметров Х!"'. Определите эффективность з. следующего выбора для случая б(а = 1„Лх = Ьу; )г =(, ' ), 1=1,...,М вЂ” 1, 05 хз (6,1057 3!и (О.бл!/А!) где А! — число разбиений на каждой из сторон сечения канала. Формула (6.!05) приводит к циклу, при необходимости повторяемому.
Надлежащагг стратегия для выбора последовательности итерационных параметров обсу- ждается в книгах (Ъ'агйа, !962; стас)гргезз, !966). 6.9. Примените к решению задачи о течении в канале (п. 6.3.2) алгоритм МСН (п. 6.3.3) для условий, соответствующих табл. 6.3, и сравните число итераций, требуемых для сходнмости, а также суммарное время счета с ре- зультатами, показанными в табл. 6.3. Гл. 6. Стационарные задачи 6.10. Примените псевдонестацнонарный метод Ньютона (программа ХЕТтТВЫ) с расчетом элементов матрицы Л только через каждые р итераций. Определите влияние р на сходимость и суммарное время счета.
6.!1. Видонзмените программу МЕРТВЫ так, чтобы отдельные элементы матрицы 3 приравнивалвсь нулю, если они меньше критерия ТОЬ. При ТОЬ = 10-з, 1О-', 1О-~ определите, сколько именно элементов 3 приравни. вается нулю и как изменяется число итераций, необходимое для сходимости. Будет ли получаемая в результате структура расположения отличных от нуля элементов матрицы Л допускать возможность более эффективного решения уравнения (6.!00), чем с применением подпрограмм ГАСТ и БОЮЕ, например, с применением итерационного метода на основе соотношения (6.51) 1 6.12. Можно ли сделать программу )т(ЕФТВ() сходящейся быстрее за счет использования последовательности М? Введите цикл с помощью геометрической прогрессии шагов по времени А( А1( >г, 1=1, ..., р, где показатель прогрессии г 1.2 н р яа 5 — 40.
Проведите эксперименты с различнымп комбинациями Абай г н р. Глава 7 Одномерное уравнение диффузии Если говорить о перспективах развития вычислительных методов, то уравнение диффузии содержит тот же самый диссипативный механизм, который обнаруживается при изучении задач гидроаэродинамики со значительным влиянием вязкости или теплопроводности. Следовательно, приемы численного анализа, эффективные для уравнения диффузии, позволят целенаправленно выбрать и надлежащие алгоритмы для решения задач динамики вязкой жидкости (см. гл. 15 — 18). В данной главе одномерное уравнение диффузии будет использовано для того, чтобы на примерах его решения разрабатывать явные и неявные схемы.
При этом будет уделяться внимание вопросам устойчивости и точности различных схем. Будет рассмотрена также н проблема точного учета граничных н начальных условий. Ранее (см. 3 2.3) мы вводили уравнение диффузии или уравнение теплопроводности — — а — =О дт дат д~ дк~ (7.!) в качестве примера параболического дифференциального уравнения в частных производных, а также пользовались им для иллюстрации процессов дискретизации ($ 3.1) и применения конечно-разностного метода ($3.5).
В уравнении (7.1) величина Т может рассматриваться как скорость, завихренность, температура нли концентрация в зависимости от того, рассматриваем ли мы диффузию импульса, вихря, тепла или массы. Если Т вЂ” температура, то уравнение (7.1) определяет поток тепла в стержне, который теплоизолирован на боковой поверхности, но может передавать тепло окружающей среде через свои концы (точки А и В на рис. 7.!). Обычно встречаются два типа граничных условий. Во-первых, зависимая переменная задается как известная функция времени.
В обозначениях уравнения (7.1) такое задание имеет форму (для точки А) Т (О, Г) = Ь (1). (7.2~ Гл. 7. Одномерное уравнение диффузии 282 Это — граничное условие Дирихле (см. п. 2.1.2). На практике Ь часто является константой. Во-вторых, можно задать пространственную производную зависимой переменной. Применительно к (7.1) зто можно записать в виде (для точки А) +Г(0, г)=с(7). (7.3) Это — граничное условие Неймана (см. и.
2.1.2). Как и в слу- чае граничного условия Дирихле, величина с часто является константой. !о(н) В Задано Тв нпи Втв, ах х=! Задано 7л ипи дТд/дх а=0 Рнс. 73. Одномерный нестацнонарный процесс теплопроводностн. Для получения единственного решения уравнения (7.1) необходимо задать также и начальные условия. Это может быть сделано в форме Т (х, О) = То (х). (7.4) й 7.1. Явные методы При использовании явных методов единственная неизвестная, например Т(~~; фигурирует в левой части алгебраической формулы, полученной в результате дискретизации.
Точное решение Т(х, 1) удовлетворяет уравнению (7.1), а также условиям (7.4) и (7.2) или (7.3), применяемым при х= 0 н х=1.0. С целью построения приближенного решения уравнение (7.1) подвергается дискретизации ($3.1), и полученное алгебраическое уравнение приводится к такой форме, которая позволяет составить алгоритм. Этот алгоритм дает возможность получить решение на (и + 1)-м временнбм слое (см.
рис. 3.2) по данным о решении, известном на и-м и на более ранних временных слоях. Описание процедуры в целом дается в $ 3.5. 283 $7.!. Явные методы 7.1.1. Схема ВВЦП Если для производной по времени ввести двухточечную разностную аппроксимацию со сдвигом вперед, а для пространственной производной — точечную аппроксимацию с центральной разностью, то уравнение (7.1) приобретает следующую форму: 1л+! Тл и(Тл 2Тл+7л ) Уравнение (7.5) будет в дальнейшем называться схемой ВВЦП (разности со сдвигом вперед по времени и центральные и+1 л+1 и и л+! 3-1 1 3+1 и-1 1-1 Д 3+1 Ричардсон и-1 1-1 1 1+1 дифорт-Фраикел ВВЦЛ и+1 3 1,1 1+1 3-1 3,!+! и-! ,1-1 1 1+1 Линейный МКЭ, Краик -Николсон Кранк -Николсон тсчн Рис.
7.2. Активные узлы в алгебраических схемах для уравнения диффузии. дТ даТ ~д, — а д„т~ +В)=0, по пространству). Как можно видеть, пространственная производная была аппроксимирована на и-м слое по времени, т. е. на известном временном слое. Несколько преобразуя уравнение (7.5), получим алгоритм Т;"~ ' = зТ7 1 + (1 — 2з) Т~ + зТ~+ „ (7.6) где фигурирует параметр дискретизации з = аЛ1/Лха. Узлы сетки, связанные зависимостью по формуле (7.6), показаны на рис. 7.2. Подстановка в уравнение (7.5) функции Т, т. е. точного решения уравнения (7.1), и разложение каждого из членов в ряд Тейлора относительно узла (1, и) (так же, как в п. 3.2.1) дает х $ с х х З а ° $ х $ х Д ах а х х а х $$ хх ха ах х 'а ° $ Н х Ь, х х б 4 х х а О ° $ й О О $$ О О сс О О Р О ~$$ ° $ сб О 1~ О.- к 2 $' О О О 1$- В $ Я О Р, О $$8 $ $ $$ Ф $ас 1 х ~м 1 х ч ~сч х х с$ у у и у ь о.
Ф о о и ь ь а у у е с о й о с о с о З !Фо ос !со ! «с и со + со о о Д ! ос и ! со о о ++ оо + Ю со и о 'Ф 3 сч Ф и~ю о и сч + к с и и ч сс ! + к с + к и и ос и и ч о о у оо и МЖ о о у у Ф о о о ао„ 1 у к ! ! 1 ! х,' ! о и о !Фо о!со + н + у х 'у у о оо и Ф,со Фс оуооМоо и и Фс М у уо и Ф у со о о+ ~'й уо с ос у Ф о о у с ио со и у у а у ь оо у Х * у и о с хо у и Я р ь "у уь Ф у к и и ии о о. з„ й у о у Од ь уй сс и у", у у оь оЯ у аа у 'ь уо и Ф к у у 'о ус И . о-' 286 Гл. 7.
Одномерное уравнение диффузии где ошибка аппроксимации Е~ определяется формулой и г Д~ д~Т Дхз д4Т 1" Е~ =~ 2 Ш, — а 12 ЛХе) +О(Ь1, ЛХ'). (7.7) 0=1 — 4з гдп ~ — (, . згЕ~ 'ч27' где з = сиМ/Дхз и 8 =тпДх. При любом значении 8 и при з(0.5 будет )0) (1. Следовательно, алгоритм (7.6) будет давать устойчивые решения, если з ( 0.5. Ранее мы уже видели (см. п.
4.2.1), что при специальном выборе 6= 1/6 некоторые члены в выражении ошибки аппроксимации обращаются в нуль, и тогда алгоритм (7.6) дает ошибку аппроксимации порядка О(Д(з Дхе) Вышеописанные свойства схемы ВВЦП при ее применении к уравнению диффузии (7.1) суммируются в табл. 7.!. Можно отметить, что форма выражения ошибки аппроксимации, приводимая в табл. 7.1, эквивалентна выражению (7.7). Точность численных решений, строящихся с использованием схемы ВВЦП, показана в табл. 7.3. 7.Е2. Схемы Ричардсона и Дюфорта — Франкела При построении алгоритма (7.6) использование двухточечной односторонней разностной формулы дает вклад первого порядка в выражение ошибки усечения, а использование трехточечной центрированной разностной формулы — вклад второго порядка в то же выражение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
