Fletcher-1-rus (1185917), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В результате уравнение (7.25) заменяется на тат""' тм ьтл (1+ )й4.[ ~', )— — а [рт.л,Т";+' + (1 — 6) й,яТ,".1 = О, (7.26) зоо Ги, 7. Одномерное уравнение диффузии где ЛТ,"" = Т,"" — Т",, ЬТ", = Т", — Т", Т! ! — 2ТТ+ Т О.КТ ! Лх Стоит отметить, что уравнение (7.26) по своей структуре подобно уравнению (7.13). При применении метода конечных эле- 1 а ! з ментов М, = (-в, з, — )„так что ! 2 1 М„ЬТ, -йт,, +-ЛТ, +-ит„,. (7.27) (7.28) где оператор массы записывается в виде М„= (б, 1 — 25, 6).
(7.29) Это выражение включает в себя как конечно-разностную (б = = 0), так и конечно-элементную (б = 1/6) формулировки. В выражении (7.28) для ошибки аппроксимации исключены все производные по времени, как это было сделано в табл. 7.1. Рассмотренные ранее схемы (см., например, п. 7.2.3) соответствовали выбору )) = 0.5+ 7. Ясно, однако, что при выборе 6=-0.5+ у+ ' (7.30) должна быть достижима точность четвертого порядка. Это обстоятельство в свою очередь дает мотивировку выбора М„=( —,',, з,—,', ~, так как при таком М„и при р=0.5+7 получается ошибка аппроксимации четвертого порядка. В случае метода конечных разностей М„= (О, 1, 0).
Параметры 7 н 6 могут быть подобраны так, чтобы обеспечить заданные уровни точности и/или устойчивости. В п. 7.2.2 различным схемам соответствовало значение 7 = О. Частный вариант выбора 7 = О, р = 0.5 приводит к методу Кранка — Николсона. Результаты как для конечно-элементной, так и для конечно-разностной форм метода . Кранка — Николсона приводятся в табл. 7.3. Вариант выбора 7 = 0.5, 6 = 1.0 кратко обсуждается в п. 7.2.3. В данном пункте параметр 7 будет рассматриваться как свободный, но параметр р будет считаться функцией 7. Разложение членов уравнения (7.26) в ряд Тейлора относительно узла (1, п) дает следующее выражение для главного члена ошибки усечеиия: д4Т Е! =азбх' — „, (0.5+ у+ — 6), 301 з 7.2. Неявные методы Уравнение (7.26) последовательно применяется к каждому узлу, что дает трехдиагональную систему уравнений вида А~7~- ~ + В~Т~ + С~Т~+1 = (1 + 2у) МяТ~ — уМхТг + + (1 — (1) з7.,„Т~, (7.31) где А~ — — С~ — — (1+ у) Ь вЂ” зй, Вт — — (1+ у) (1 — 26) + 2з~, ВхяТ; =Т~-~ — 2Т! + Т~еь Несмотря на то что число операций, требуемое для решения уравнения (7.31), значительно больше, чем для чисто неявной схемы или схемы Кранка — Николсона, данная схема оказывается намного более точной (см.
п. 7.2.5). 7.2.5. ШР(М: численные резулыагы применения неявных схем В данном пункте проводится сравнение точности схемы повышенного порядка (7.31) с точностью неявных схем более низкого порядка, а также явных схем низкого. и высокого порядков, рассмотренных в $7.1. Программа Р1Р!М представляет собой обобщение программы 111РР, направленное на построение численного решения уравнения (7.1) при граничных условиях (7.18) путем решения последовательности уравнений (7.31) так, чтобы решение продвигалось во времени для всех внутренних узлов. Для решения уравнения (7.31) используются подпрограммы ВАНРАС и ВА5150Е.
Если учесть, что Ап Вт и С~ не зависят от времени, то обращение к ВАИРАС необходимо сделать лишь один раз, на первом шаге по времени. Распечатка программы Р1Р1М приведена на рис. 7.7. Программа Р1Р1М может работать по пяти вариантам схем, приведенным в табл. 7.4 и соответствующим различным представлениям (1 как функции у, а также различным вариантам оператора М„. Случай 1, когда у = О, соответствует схеме Кранка — Николсона (7.26).
Многие нз основных параметров, используемых в программе Р1Р1М, совпадают с теми, которые применялись в программе 01РЕХ (см. табл. 7.2), Дополнительные параметры приводятся в табл. 7.5. Типовая выдача, характеризующая решение при МЕ = 3 и у = О, показана на рис. 7.8. Программа ИР1М использовалась для сравнения результатов применения различных методов, перечисленных в табл. 7.4. Сравнительные данные приводятся в табл. 7.6 и относятся к точности решения на различных сетках (Ах = 0.2, 0.1 и 0.05) при 1= 12.0. Эти результаты были получены при а = 0.01 и 1 2 С 3 С 4 С 5 С 6 7 $ 9 С 10 11 12 13 14 О 15 16 17 1$ 19 20 С 21 22 23 24 2$ 26 27 2$ 29 эо 31 32 33 34 35 Эб 37 С 3$ С Э9 С 40 41 42 43 44 45 46 47 4$ 49 50 51 $2 53 54 55 С 56 С 57 С ( 0171Н.ГОЯ $0ЬЧЕЗ ТНЕ 01ГГУ$10И ЕЯУЛТ10И 0$1))6 УЛЯ100$1МРЫС1Т ЗСНЕМЕЗ ЯЕЛЬаа 5УМ,ЛЧЗ йН$,05ЯЯТ,ОНР 01НЕИ$10И ОУН(65),Х(4П .ТЕ(41),Л(5,651,0(6$1 01НЕИ$10И ЕЬХ(3),ЕНХ(3),ТОЫ41),ТИ(41),ТО(41) ОРЕМ(1,Г1ЬЕ '01Г1Н.ОЛТ'1 ОРБИ(6,Г1ЬЕ '0151Н.ОУТ'] ВЕЛО(1,1)НЕ,1РЯ,ЛИХ,НЛХБХ,ИНЛХ,ЛЬРИ,З,ТНЛХ,ТЗТ,СЛН 1 ГОЯИЛТ(515,$10.3,$5.3,355.2) Р1 3.1415927 дНЛР ЛИХ " 1 Лдй дНЛР ОБЬХ 1.
/ЛЛ( ОЕЬТ ОЕЫ*ОЕЫ $/ЛОРИ 1Г(ИЕ .БЯ. 1)$$1ТЕ(6,4) 1Р(НЕ .ЕЯ. 21МЯ1ТЕ(6,5) ХР(НВ .ЕЯ. 31МЯХТЕ(б,б) 1Р(ИЕ .ЕЯ. 4)МЯЭТЕ(6,7) ХГ(НЕ .ЕЯ. 5)МЯ1ТЕ(З,В] МЕХТИ(6,2)дНЛХ,НЛХБХ,ННЛХ,ТНЛХ,ТЗТ,СЛН 2 10$(ИТ(' д)ИХ ',15,' )ИХЕХ ',15,' ВИЛЯ ',1$, 1' ТИЛХ '.Г$.2,' ТЗТ ',75.2.' СЛН ',Г5.21 МЯ1ТЕ(6,3)З,ЛЬРВ,ОЕЬТ,ОЕЬХ Э ГОЯНЛТ(' $ ',Г5.Э,' ЛЬРИ и ',Е10.Э,' ОЕЬТ 'Е10.3 ° 1' ОЕЬХ ',Е10.3,П) 4 РОЯНЛТ(' 01ГГУ$10И ЕЯУЛТ10Иэ ГОН-2ИО',//) $ ГОВИЛТ(' 01ГГУ510И ЕЯУЛТ10И: ГГЭ(-ЭНО',//) б ГОЯИЛТ(' 01ГГУ510Н ЕЯУЛТХОИэ ГОМ-4ТИ' //1 7 ГОЯВЛТ(' 01ГГУ510И ЕЯУЛТ10М: РЕН-4ТВ',//) В РОЯНЛТ(' 01ГГУ510И ЕЯУЛТ10Н: СОНР',П1 1ВРЫС1Т РЛЯЛИЕТЕЯЗ ВЕТ 0.5 + СЛН 1Г(НЕ .ЕЯ.
3)ВЕТ ВБТ " 1./12./$ 1Г(НЕ .БЯ. 4)ВЕТ ВЕТ + 1./12./5 1Р(НЕ .ЕЯ. 1 .Ой. НБ .ЕЯ. 3)ЕНХ(1) О. 1Г(ИЕ .ЕЯ. 2 .Ой. НЕ .ЕЯ. 4)ЕНХ(1] 1 ° /6. 1Г(ЕЕ .ВЯ. 5]ЕНХ(1) 1./12. БНХ(2) 1. " 2.*БНХ(1) БНХ(31 БНХ(1) ЛО ЕНХ(1)аИ. + СЛН) - ВЕТ*5 ВО БНХ(2]и(1. + СЛН) + 2.*ВЕТ*5 СО ЛО ЕЬХ(1) 1. ЕЬХ(2] -2. ЕЬХ(Л 1.
дМЛГ дМЛХ вЂ” 2 ОВТЛХИ 1И1Т1ЛЬ СОИО1ТЭОИЗ ГЯОИ ТМЕ БХЛСТ $0ЬУТ1СИ Рис. 7.7. Распечатка программы ()(Р!М. 19(и .Ок. ННАЕ)бото )в 1Р(т .ЬТ. ТНАХ)УОТО 11 ВНЗ 1$ ТИЕ ЗНЗ ЕВВОВ АТЗЗШ(/Ы ° + Ади) ВНЗ УЗОВТ(АТЗ) ИВ1ТЕ(4,21)ВМЗ 21 РОВНАТ(' ВИ$ ВХР ',$11.4.77) ЗТОР ЕИЬ Рис. 7.7. (окончание). начальном условии, соответствующем точному решению (3.42) при 1= 4.6. Граничные условия Дирихле были наложены на Т при х = О и 1.О. Приближенная скорость сходимости была полу- чена такой, как в табл. 7.3. ы)ТУ310и БОУА710и: Р)з-47В дИАХ 11 НАХЕХ 10 ИНАХ 500 ТИАХ 12.00 ТЗТ 4.50 УАИ .00 3 1.000 АЬРЕ .100$"01 УБЬТ .1ООЕ+01 ВЕЬХ .1003+00 Т 12.50 ТВ 100.00 63.55 73.22 70.02 64.76 62.94 64.76 70.02 73.Ы 33.55100.00 Т 12.50 ТЕ 100.00 63.54 73.21 70.00 64.7 ° 62.92 64.7 ° 70.00 73.21 33.54100.00 ВВЗ 012 15223-01 Рис.
73Ь Типичная выдача результатов по программе Р!Р!М. Все результаты, приводимые в табл. 7.6, были получены при 3 = 1.0. Методы, номинально имеющие второй порядок (случаи 1 и 2), обнаруживают приблизительно второй порядок схо- 119 С 120 С 121 С 122 С 323 124 125 С 126 С 127 С 32$ 129 С 130 131 132 133 134 135 136 137 133 С 139 С 140 С 141 142 143 144 345 14$ Гл. 7. Одномерное уравнение диффузии ! ХР ИАЕХНУИ тхме оВ Мах[ИОН мимвеи от 71ие-БТЕРБ кхсккики ЕХ1Т РВОН ЬООР ОВТА1И ЕХАСТ ЗОЬУТ10И АИО СОНРАВЕ 13 САЬЬ ЕХТВА[дИАХ,ИАХЕХ,ВЕЬХ,РХ,АЬРИ,Т,ТЕ) ЗУМ О.
$0 19 д 1,дНАХ ВНР Тк(Л - ТУЫ) ЗУН ЗУМ + ОНРчУИР 19 СОИТХИУЕ 1Р(1РВ .Ик. 1)ИВ1ТЕ(6,17)Т,(ТВ(д),д 1,дивх) УВ1ТЕ(6,20)Т,(ТЕ(7).д 1.дНАХ) Зо РОВМАТ[!,' т ',95.2,' тк '.11Р6.2,77) $7.2. Неявные методы Таблица 7.4. Различные варианты, предусмотренные в программе 01Р!М Случая (ми) Метод Конечно-разностный 2-го порядка Конечно-элементный 2-го порядка Конечно-разностный 4-го порядка Конечно-элементный 4-го порядка Комбинированный 0.5+ т 0.5+ т 0.5 + у — 1/(12а) 0.5+ т+ 1/(12а) (О, 1,0) (1/6, 2/3, 1/6) (О, 1, 0) (1/6, 2/3, 1/6) (1/12, 5/6, 1/12) 0.5+ у Таблица 7Л. Дополнительные параметры, используемые в программе 01г!М Параметр Описание Параметр, определяющий выбор метода (см.
табл. 7.4) Параметр т, используемый в уравнении (7.26) Параметр р, используемый в уравнении (7.26) и табл. 7.4 Массовый оператор М, л Разностиый оператор / лл Коэффициенты Ао В, и С, в уравнении (7.51) МЕ ОАМ ВЕТ ЕМХ Е1.Х АО, В!), СО 20 К Флетчер. т. 1 димости, тогда как методы, номинально имеющие четвертый порядок (случаи 3, 4 и 5), обнаруживают сходимость четвертого порядка. Это имеет место как при Т = О, так и при Т = 1.
Вообще говоря, увеличение о снижает уровень точности при сохранении примерно той же скорости сходимости. При применении грубых сеток точность, обеспечиваемая схемами повышенного порядка (случаи 3 — 5), ненамного превышают ту, которая достигается со схемами более низкого порядка (случаи 1 и 2), в особенности при больших значениях у.
Однако с применением мелкой сетки разница в точности оказывается существенной. В случаях 3 — 5 сравнимая точность обнаруживается на грубых и мелких сетках при Т = О. Однако при Т = 1 случай 1 дает более высокую точность, чем случаи 3 и 5, особенно на грубой сетке. Сравнение некоторых явных и неявных схем приводится в табл. 7.7 для случаев у = 0 и Т = 1.0 при з = 0.41. Эти результаты были получены при ! = 9.00 с начальным заданием Т Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
