Fletcher-1-rus (1185917), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Неявные методы Тайника 7.8. Численные решения уравнении (7.1) с помощью явных схем Панов». женная скорость скоднмо" стн с Среднеквадратненая ошнбка НМ5 Схема <ля=о.ои <ба=од< <да=ел< 0.7266 Х 1О 0.492! Х!0 0.6439 0.1634 1.2440 0.3023 0.0498 0.2328 Х 10 0.3279 Х 1О 0.0413 0.0755 О.!152 Х 10 3.9 2.9 2.0 4.3 116 0.30 0.41 0.289 ВВЦП То же в Дюфорт— Франкел То же Трехслойная 4-го порядка То же » 0.0244 0.8481 0.0711 0.00395 0.05250 О.ООО22 1.8 2.0 4,2 0.30 0.41 0.30 0.0136 0.2085 0.00416 0.0 О,! 372 0.2332 0.7347 4.5 4Л 4.0 0.30 0.30 0.41 0.5 1.0 1,0 0.00029 0.00054 0.00140 0.00665 0.00916 0.0229 9 7.2.
Неявные методы В случае применения неявных схем пространственный член дту/дхт в уравнении (7.1) аппроксимируется, по меньшей мере частично, на неизвестном временнбм слое (и+ 1). На практике зто приводит к возникновению взаимосвязи уравнений для каждого из узлов (1, и+ 1) на (а+ 1)-м временном слое и к необходимости решать систему алгебраических уравнений для продвижения решения во времени. 7.2.1.
Чисто неявная схема Простейшее неявное конечно-разностное представление уравнения (7.1) имеет вид Т~~ — Т" а(Т"о< — 27"~~+ Т"~~! — О. (7.19) ошибки аппроксимации не представляет серьезных трудностей. Такие схемы, как правило, дают повышенную точность на мелкой сетке, однако зачастую при ужесточении ограничений, связанных с устойчивостью.
По отношению к нелинейным уравне. ниям, определяющим движение жидкости, повышение точности может оказаться не столь большим, как для уравнения диффузии, обладающего в данной ситуации весьма гладким решением. Гд. 7. Одномерное уравнение диффузии Для получения полезного алгоритма уравнение (7.19) перепи- сывается в виде ,~В.~ + (! + 2г) Т7и+ г7,и++ 7,и (7.20) В результате разложения в ряд Тейлора относительно (1, н)-го узла выясняется, что эта схема имеет ошибку аппроксимации Полученное выражение имеет тот же порядок, что и для явной схемы ВВЦП, соответствующей уравнению (7.5) при г Ф 1/6, хотя постоянный множитель здесь несколько больше. С помощью анализа устойчивости по Нейману (см.
$4.9) получается следующее выражение для коэффициента усиления: 6 = [1 + 2г (1 — соз 0)1 '. Если г ) О, то при любом 8 имеем [6) ( 1. Это означает, что схема (7.20) безусловно устойчива, выявляя тем самым свое очевидное преимущество перед условно устойчивой явной схемой (7.5). Однако для решения уравнения (7.20) необходимо рассмотреть как все узлы 1, так и соответствующие уравнения. Таким образом, может быть выписана матрица уравнений для неизвел+~ стных значений Т! (1+ 2г) — г — г (1+ 2г) — г (1+ 2г) — г — г (1+ 2г) Ттн Т "+' и (7.21) те+' I Т и+! йт-1 297 4 7.2.
Неявные методы В уравнении (7.21) имеем т2е =- Те + еТ1+, т),=Т",, а, =Т,", +зт,""', где значения Т","1 и Т!'+~ известны из граничных условий Дирихле. Очевидно, что система уравнений (7.2!) является трех- диагональной. Следовательно, для решения уравнений (7.21) можно воспользоваться алгоритмом Томаса (см.
п. 6.2.2), требующим выполнения 5(У вЂ” 2) — 4 операций (учитываются только операции умножения и деления). На практике с учетом необходимости формирования уравнений решение неявной системы (7.2!) с помощью алгоритма Томаса требует, как правило, вдвое большего компьютерного времени, чем решение того же числа явных уравнений (7.6). Шаг по времени может быть сделан существенно ббльшим, чем предельное значение шага по времени для явной схемы, т. е.
Ме.я = 0.5Лхд/а; однако точность решения будет при этом меньше. 7.2.2. Схема Краина — Николсона Альтернативный вариант неявного алгоритма для решения уравнения (7.1) соответствует схеме Кранка — Николсона (см. рис. 7.2), которая имеет вид тпеы ти — а (0.51.„,Т," + О.Ыя,77" ') = О, (7.22) где /.„„Т =: Тт — 1 27/ + Т! -1 Фактически эта схема аппроксимирует пространственную производную на слое времени, промежуточном между а-м и (и+ + 1)-м слоями, т. е.
на временнбм слое (п+ 1/2). Если выполнить разложение в ряд Тейлора относительно точки (!', п + + 1/2), то мы найдем, что уравнение (7.22) согласуется с уравнением (7.1) при ошибке усечения порядка 0(ЛР, Лхд). Последнее представляет собой значительное улучшение по сравнению как с чисто неявной схемой, так и со схемой ВВЦП, поскольку обе они имеют точность лишь первого порядка по времени.
Анализ устойчивости по Нейману показывает, что схема Кранка — Николсона является безусловно устойчивой (см. 298 Гл. 7. Одномерное уравнение днффуаии табл. 7.1). Перестановка членов уравнения (7.22) дает алгоритм — О.бзТ!+1 + (1 + и) Т~+' — О.бзТ( ~~1 = =0.5зТ! 1+ (1 — з) Т~ + 0.5зТ7еь (7.23) который можно сравнить с алгоритмом (7.20). Если последовательно рассмотреть все пространственные узлы, то соотношение (7.23) даст трехдиагональную систему уравнений, эффективное решение которой может быть выполнено с помощью алгоритма Томаса.
Вследствие присущего ей второго порядка точности по времени схема Кранка — Николсона составляет основу очень популярного метода решения параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства схемы Кранка— Николсона суммируются в табл. 7.1. Можно получить обобщение уравнения (7.22), если написать дгл+! — — а [(1 — И Т.„,Т~ + ~Ь„Т~~1~ = О, (7.24) где ДТ!~ы Т/н Т3 н 0(р ( 1 В случае !) = 0 получается схема ВВЦП, при р = 0.5— схема Кранка — Николсона, а при б = 1.0 — чисто неявная схема. Анализ устойчивости по Нейману, проводимый для уравнения (7.24), показывает возможность устойчивого решения при Ду< (', если 0~(и<1/2; нет ограничений, если 1/2((р(1.
Можно отметить, что схема Кранка — Николсона располагается на границе области безусловно устойчивого режима. Для многих стационарных задач гидроаэродинамики эффективный путь состоит в решении эквивалентной нестациоиарной задачи вплоть до такого состояния, когда решение больше не изменяется (см. $ 6.4). Однако нередко в различных частях вычислительной области решение приближается к стационарному состоянию с существенно различными скоростями; тогда говорят, что уравнения являются жесткими (см. $7.4).
К сожалению, схема Кранка — Николсона в этой ситуации часто приводит к осциллирующему решению, которое, будучи в принципе устойчивым, приближается к стационарному состоянию довольно медленно. 299 $7.2. Неявные методы В этом отношении некоторые трехслойные по времени схемы оказываются более эффективными, чем схема Кранка — Николсона. 7.2.З. Обобщенная трехслойная схема Для уравнения диффузии можно составить обобщенную трехслойную схему, охватывающую, в частности, и уравнение (7.24).
Эта схема имеет вид (1+ т) зт",+' т лт", л ле1 — — — а [(1 — 6) 1.„ТУ+ йт „Т~+ ] = О, (7.25) где бТ"=Т~ — Т~ . Включение в схему дополнительного временнбго слоя влечет за собой повышенные требования к памяти, чтобы хранить решение. Однако современная тенденция сводится к тому, что компьютерная память становится дешевле и больше по объему. Есть и второй эффект, связанный с необходимостью выделения дополнительного времени на исполнение алгоритма, порядка 10 — 15 7в, нужного для обработки дополнительных членов.
Особенно эффективная трехслойная схема получается, если выбрать у = 0.5, р = 1.0. Эта схема имеет ошибку аппроксимации 0(ЛР, Лхв), является безусловно устойчивой, может решаться с помощью алгоритма Томаса и способствует затуханию искусственно вызванных колебаний, обсуждавшихся ранее в связи с упоминанием о жестких задачах. Мы будем называть эту схему трехслойной чисто неявной (ТСЧН) и воспользуемся ею в дальнейшем при обсуждении вопроса о приближенной факторизации (см. $8.2 и 8.3).
Схема ТСЧН обладает полезным свойством А-устойчивости (см. $ 7.4). Свойства некоторых из весьма многочисленных численных схем для моделирования уравнения диффузии (7.1) показаны в табл. 7.1. Намного больше схем дается в книге ()х(сп(шуег, Мог1оп, 1967]. 7.2зй Схемы повышенного порядка Отправной точкой изложения в данном пункте является дискретизированное уравнение (7.25), модифицированное так, чтобы охватить как конечно-разностные, так и конечно-элементные трехслойные схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
