Fletcher-1-rus (1185917), страница 62
Текст из файла (страница 62)
вклады вносятся только двумя элементами. Два случая, представляющие интерес, демонстрируются на рис. 8.8. й В.4. Граничные условия Неймана На основании (8.52) имеем дТ(дх'1„=, = д(1). Одномерная .интерполяция функции д(1) вводится по формуле а (г) = Х Ф," (у) а, (1) (8.61) В случае интерполяции по Лагранжу Ф, (х„у) = фр(х) Ф" (у). Вычисление различных интегралов в соотношениях (8.57)— (8.59), выполненное на однородной сетке, после деления на Лхбу дает =[ ( —.. / М~~Ь па~ — +Му Э Т.а„Т~ а)+ауМ,Э1.ууТ~ «~).
(8.62) Соотношение (8.62) имеет такую же структуру, как и соотно.шение (8.29) для внутренних точек, если не считать добавочного члена са,Майа/Лх, связанного с граничным условием Неймана. Если учесть, что вклады дают только два элемента, то операторы М и Т.аа принимают вид ( а ' з' 01' Т'а" ( в ' * д '' О~' (8'63) Операторы М„и Т.уу совпадают с теми, которые определены формулами (8.30) и (8.31). Реализация граничного условия Неймана при у = 1 проводится аналогичным путем, если не считать того, что линейные интегралы в (8.58) и (8.59) дают ненулевые вклады только на границах Т элементов С и 11 (рис. 8.8(Ь)).
Результат, эквивалентный (8.62), принимает вид '~М~ Э Му а 1 ~п~МуЭ ТааТу а + па( а + М~Э ТууТ1 а)~ (8.64) В соотношении (8.64) операторы М, и Т.„, задаются согласно (8.30) и (8.31), а операторы М„и Т.уу имеют вид Му — — (О, з, е~, Т.уу —— (О, — о., о. ~ .
(8.65) Интересно сравнить, как осуществляется реализация граничных условий Неймана при использовании методов конечных разностей и конечных элементов. Конечно-разностная форма, эквивалентная (8.29), записывается в виде [ — ~,— дТ1 ч ) паТ ааТ/, а + пуТ ууТь а а аьа ( 8.66) Гн. и. Многомерное уревнение диффузии где операторы й„, и Т.„н соответствуют формулам (8.31). Введение условий (8.53) на границе х = 1 позволяет получить следующую локальную форму выражения (8.66): — =2а (ф+7. Т~ «)+ав1.н„Т~ «, (8.67) где Т. задается теперь согласно (8.63), а 7 ни — согласно (8.31), как и прежде. Как уже было замечено при введении понятия о массовых операторах ($ 5.5 и п.
8.3.1), эквивалентная конечно-разностная формулировка может быть построена за счет модификации массовых операторов. Таким образом, массовые операторы в соотношении (8.62) примут при этом вид М = (О, 0.5, О), Мй — — (О, 1, О) . (8.68) Окончательная форма соотношения (8.62) совпадает с (8.67). Следовательно, в случае билинейной лагранжевой интерполяции на прямоугольных конечных элементах оказывается возможным реализовать граничные условия Неймана при помощи метода Галеркина с конечными элементами путем введения набора значений в добавочных точках Т~+ь «и Ть «+и соответствующих формулам (8.53), применяя при этом повсюду формулу для внутренних точек типа (8.29).
Следует подчеркнуть, что хотя такой подход целесообразен с точки зрения эффективности программирования, его следует применять после того, как будет доказана эквивалентность. Типичные результаты, полученные при помощи метода конечных элементов с граничными условиями Неймана дТ/дх(1, у, 1) = 0 и дТ!дд(х, 1, 1) = 80, приводятся в табл. 8.3. Общие тенденции подобны тем, которые имели место при граничных условиях Дирихле, за исключением того, что при наличии граничных условий Неймана ошибки, как правило, становятся больше. Та же тенденция очевидна н по отношению к методу конечных разностей.
в 8.5. Метод дробных шагов В применении к тем неявным методам, которые описывались в данной главе, общая стратегия состояла в том, чтобы провести дискретизацию, а затем переформулировать или модифицировать полученные алгебраические уравнения с целью построения «одномерных» алгоритмов, подобных (8.27), (8.28). Стратегия, альтернативная вышеописанной, состоит в рас. щеплении исходного уравнения, например (8.1), на пару уравнений, каждое из которых является локально одномерным. $8.3. Метод дробных шагов 333 Тогда взамен (8.1) вводятся уравнения дТ дтТ 0.5 — — а — = О, дг ц дут дТ дтТ 0.5 — — а — = О. дг " дкт (8.69) (8.
70) Если а = а, = ац, то данная схема совпадает со схемой (8.8), (6.9). Алгоритм (8.71), (8.72) имеет ошибку аппроксимации порядка 0(Лг, Лхт, Аут) и прн Ах=Ау является устойчивым, если э ( 0.5. Неявная реализация (8.69) и (8.70) по Кранку — Николсону имеет вид (1 — 0.5ац о(1.цц) Т";,+ан = (1 + 0.5ац енх.цц) Т;", ы (1 — О.бал Тл11.лл) Ть,+~ = (1+ 0.5а, А11.л ) Ть,+~П'. (8.73) (8.74) Соотношения (8.73) и (8.74) приводят к трехдиагональиым системам уравнений вдоль сеточных линий, параллельных у и х соответственно; это значит, что решение может продвигаться по времени экономичным образом с использованием алгоритма Томаса. Схема (8.73), и (8.74) имеет второй порядок точности по времени и пространству при надлежащем задании граничных условий и безусловно устойчива как в двух, так и в трех измерениях.
Уравнения (8.73) и (8.74) могут быть объединены в одну составную схему за счет исключения Т;,"», если только операторы (,„и Лцц являются коммутативными; иначе говоря, если одна и та же формула получается как за счет 7„,(.ццТь а леан так и за счет Т.цц7. Ть а . Полученная таким образом сон+ пт ставная схема совпадает с составной схемой НПН, являющейся результатом исключения Т;. а из уравнений (8.12) и (8.13). Однако принципиальное отличие данного подхода возникает при выполнении граничных условий. Если метод дробных 23 К. Флетчер.
т. ! Эти уравнения подвергаются дискретизации и решаются последовательно на каждом шаге по времени. Этот класс методов был разработан советскими математиками и его подробное описание дается в книгах [Н. Н. Яненко, 1971] и [Г. И. Марчук, 1974]. В книге [М1(с(ге11, Ог(1111(тэ, 1980] эти методы относятся к классу локально одномерных методов. Явное представление уравнений (8.69) и (8.70) имеет вид Тг л =(1+ацЖг'.цц)Тгх ы (8.71) Тл-и (1+ А х )Твена (8.72) Гл. 8.
Многомерное уравнение диффузии 384 шагов применяется к двумерной области, показанной на рис. 8.1, то условие Дирихле на границе х = 1, Т(1, у, 1)= б(у, г) принято реализовать на промежуточном временнбм слое в виде 7 ене онене нх,е= (8.75) и аналогичные соотношения для граничных условий на других границах. Такой путь выполнения граничных условий фактически приводит к снижению точности схемы в целом до первого порядка по времени. В работе !Рчгоуег, Тимашев, 1981] исследуется проблема корректной реализации граничных условий в применении к двумерному уравнению переноса ($9.5).
Как показано в книге [М!!с)ге!1, бг!!!!!(4з, 1980], корректное граничное условие при х = 1, если используются уравнения (8.71) и (8.72), имеет вид Тйх, е — — (1 + ан га!! ии) йе. (8.76) Зто наводит на мысль о том, что при использовании схемы (8.73), (8.74) подходящая форма промежуточных граничных условий Дирихле при х = 1 может быть получена, если решить уравнение (1 — Обан о!1 „) Тих хе (1 + 0 бан 6!Еин) Ье (8 77) Можно отметить, что метод дробных шагов не позволяет построить экономичный алгоритм путем введения поправок ЬТг" е, как можно было сделать с приближенной факторизацией (и. 8.2.2 и дальнейший текст).
Кроме того, метод дробных шагов не дает возможности непосредственного вычисления невязкн по отношению к стационарному состоянию (см. формулу (8.25)), что играет важную роль при решении стационарных задач с помощью псевдонестационарной формулировки ($ 6.4). 6 8.6. Заключение Для многомерных параболических дифференциальных уравнений в частных производных, например для уравнения диффузии, неявные схемы являются более эффективными, чем явные, в первую очередь благодаря присущему им более устойчивому поведению. Кроме того, неявная формулировка обеспечивает ббльшую гибкость при построении схем повышенного порядка ]М!!с!4е11, гзг!!!!!!1з, 1980].
Желая сохранить экономичность, свойственную алгоритму Томаса, при переходе к многомерной неявной формулировке, необходимо ввести ту или иную форму расщепления по на- $8.7. Задачи правлениям. Рекомендуемое построение сводится к тому, чтобы представить уравнения в форме линейной системы по отношению к поправке ЛТ) а и ввести приближенную факторизаи+! цию, например (8.22), чтобы иметь возможность воспользоваться многоэтапным алгоритмом, каждый из этапов которого требует решения трехдиагональной системы уравнений. Приближенная факторизация эффективна при применении как конечно-разностного, так и конечно-элементного методов. Появление массовых операторов по направлениям в конечно- элементном алгоритме приближенной факторизации (8.39), (8.40) дает возможность построения схемы, более точной по пространству, путем выбора б = 1/2 в формуле (8.44).
Повышенная точность достигается как с граничными условиями Дирихле ($8.3), так и с граничными условиями Неймана ($8.4). Однако для сохранения точности второго порядка по времени необходимо уделить особое внимание реализации граничных условий для промежуточной поправки к решению ЬТ', „, появляющейся в процессе приближенной факторизации. Несмотря на то что методика реализации граничных условий Неймана имеет концептуальные различия в зависимости от того, применяется ли метод конечных разностей или метод конечных элементов, форма соответствующих уравнений после дискретизации нередко оказывается структурно-эквивалентной. Приемы расщепления (или приближенной факторизации), разработанные в данной главе, после небольшой модификации могут быт применены к двумерному уравнению переноса ($ 9.5), двумерным уравнениям Бюргерса ($10.4), а также к уравнениям, определяющим различные классы течения жидкости, особенно в тех случаях, когда необходимо решать уравнения Навье — Стокса (см., например, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
