Fletcher-1-rus (1185917), страница 65
Текст из файла (страница 65)
25С77+~~ + Т! ~~'+ 0.25СТ(+ ~ ~= 0 25СТ7-1 + Т! — 0 25СТг+ ° (9. 18) для которого можно построить эффективное решение с помощью алгоритма Томаса (п. 6.2.2). Схема Кранка — Николсона согласуется с уравнением (9.2) и обладает погрешностью порядка 0(Л(а, Лх').
Анализ устойчивости по Нейману дает коэффициент усиления О, показанный в табл. 9.1. Ясно, что схема Кранка — Николсона является безусловно устойчивой. Если к уравнению (9.2) применить метод конечных элементов Галеркииа с нелинейной интерполяцией по пространству, то получается следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений: М,~ — „~ + и1.„71 — — О, (9.19) в которую входит массовый оператор М„=(-, —,, — ). Введение разностного представления г(Т7г(! по Кранку — Николсону приводит к схеме тп.~-! тп М„', ' +и7.,[05(Т(+Т";"'')~)=0, (920) которую можно сравнить со схемой (9.17). Массовый оператор можно представить в более общем виде, аналогичном формуле (8.44), а именно М„=(б, 1 — 2б, б), (9.21) где значение б =!/6 дает конечно-элементную форму, а значение б = 0 — конечно-разностную форму.
После подстановки (9.21) в уравнение (9.20) получается трехдиагональный алгоритм (б — 0 25С) Т7~1 + (1 — 2б) Т~+'+ (б + 0.25С) Тг+ ! = = (б + О. 25С) Т"; ~ + (1 — 2б) Т," + (б — О. 25С) Т~~е ~. (9. 22) Реализацию этого алгоритма дает программа Т)1Аг( (рис. 9.8). Конечно-элементная форма (9.20) обладает ошибкой аппроксимации порядка 0(Л!е, Лха). Следовательно, при достаточно 368 Гл. 9. Линейные задачи е преобладающим влиянием конвекннн малых шагах по времени, когда погрешность решения определяется преимущественно пространственной дискретизацией, конечно-элементная схема Кранка — Николсона дает более точные результаты, чем конечно-разностный метод, построенный по аналогичной схеме.
Происхождение ошибки аппроксимации второго порядка, показанной в табл. 9.1, связано с трактовкой члена б1з на основе модифицированного уравнения (п. 9.2.2). Если величины С и и имеют порядок 0(1), то член Мз играет преобладающую роль при определении ошибки аппроксимации. Конечно-элементная схема Кранка — Николсона (9.20) является безусловно устойчивой (табл. 9.!). Как видно из табл.
9.1, при применении к уравнению диффузии типичные неявные схемы являются безусловно устойчивыми. Однако применение неявных схем к гиперболическим уравнениям не обязательно обеспечивает их преимущество. При использовании неявной схемы на заданном временнбм слое п+ 1 получается некая система связанных между собой уравнений. Поэтому любое возмущение, связанное, например, с округлением и возникающее в одном из узлов (1, п), влияет на решение во всех узлах (1, п+ 1) на следующем временнбм слое. Такое поведение физически соответствует дифференциальному уравнению в частных производных параболического типа (п. 2.3.2), подобному уравнению диффузии. В противоположность вышесказанному возмущения в решениях для уравнений в частных производных гиперболического типа (и.
2.2.2) распространяются с конечными скоростями. При решении дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с помощью неявных схем обычно возникают существенные неточности, если только величина Л1 (или величина С) достаточно велика. Если же величина М мала, т. е. если для уравнения конвекции С ( 1.О, то применение неявных методов не обеспечивает преимущества в устой. чивости, хотя оно и может дать некоторое преимущество в точности, как это имеет место с конечно-элементной схемой Кранка — Николсона.
у.!.5. Линейная конвенция усеченной синусоидальной волны Чтобы проиллюстрировать особенности применения различных схем при решении уравнения (9.2), рассмотрим распространение синусоидальной волны. Это значит, что уравнение (9.2) должно решаться при начальном условии =з!п(10пх) при 0<х(0.1, Т (х, 0) =0 при 0.1 < х (1.0 (9.23) 4 9.!.
Одномерное линейное уравнение конвекции 369 Точное решение, справедливое вплоть до 1= 0.9/и, имеет вид =О, 0(х(и1, Т = 3!о!!Оп(х — и!)1, и! < х(и!+0.1, (9 24) =О, и! + 0.1 < х (1.0. Кривые точного решения для значения и = 0.1, определенные при Г = 0 и 8, показаны на рис. 9.2. Синусоидальная волна распространяется без уменьшения амплитуды со скоростью и =0.1. 1.Е т е.в Ц~точиое !! , 'РЕШЕНИЕ ,;т е.е Точное ! Е.е„' ' решение те.е) ! Е.г Е.ч Е.бе 1Е.В !.Е Ье л е.г е.ч е.е е.е !.е Рис. 9.2. Решение уравнения копеек- Рис.
9.3. Рещение уравнения конвекции с помощью схемы с разностямн ции по схеме Лаков — Вендроффа прн против потока. С = 0.8. Разлячные схемы, описываемые в п. 9.1.2 — 9.1.4, реализуются в программе ТЯА)ч(, распечатка которой показана на рис.9.8, при а = О. Эта программа обеспечивает построение численных решений одномерного уравнения переноса и описана в и. 9.4.3. В применении к данной конкретной задаче точное решение (9.24) рассчитывается с помощью подпрограммы ЕХЯОЕ (рис. 9.9). Численные решения были получены для 41 точки, расположенной равномерно в пространстве на интервале 0 ( х ( 1.0, при числе Куранта С = 0.8.
Решение, полученное с помощью программы ТКА)ч) при 1= 8.0 (т. е. после 40 шагов по времени) в результате применения схемы (9.!0) с разностями против потока, показано на рис. 9.2. Численное решение имеет гладкую Форму, однако в сравнении с точным решением оно оказывается 24 К Флетчер, т. ! и при граничных условиях Т (О, !) = О, Т (1, !) = О. 1!1 Точное е е "' решение ! ! е е.ч !! Е.е ! ! Е.е е.г ' !1 1 Точное ~1! решение ~~ 1) 1 т-в.е 1, /' 370 Гл. 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции размазанным (или диффузно сглаженным); это обстоятельство соответствует введению членов с искусственной вязкостью, подобно тому, как это имеет место в уравнении (9.13). Решение с помощью схемы Лакса — Вендроффа (9.16) показано на рис.
9.3 для значений 1= 8.0 и С = 0.8. Можно напомнить, что структура схемы Лакса — Вендроффа эквивалентна структуре схемы ВВЦП (являющейся неустойчивой) при добавочных диффузионных членах, соответствующих формуле хзсс = 0.5Сийх. Решение Лакса — Вендроффа характеризуется первичной волной уменьшенной амплитуды, распространяющейся медленнее точного решения, а также появлением вторичных волн в ще е «спутном следе» первичной т волны. Если начальное услоТочное .",, точное вие (9.23) представить в фор- 1 решение ме ряда Фурье, а индивидуе.б 11 ' в.в альные слагаемые (моды) решения восстановить так, что- 11 е.ч ! ~~я бы получить решение Лакса — Вендроффа при г = 8,0, ! ~1 то упомянутый «спутный след» соответствовал бы коротко" ~~я~ ~.'«Т е),41 е.в ще пространяющимся медленнее„ чем основное слагаемое.
Вол'Ь новой пакет, следующий за Рис. 9лн Рещение уравнения копеек- ОСНОВНЫМ РЕШеинЕМ, ПРИНЯТО ции по схеме Кренив — Николсоне называть «дисперсионным слепри С = 08, дом». Эта дисперсия будет обсуждаться в 9 9.2. Можно отметить, что при С = 1.0 как схема с разностями против потока, так и схема Лакса — Вендроффа воспроизводят точное решение. В то же время неявные схемы, подобные конечно-разностной схеме Кранка — Николсона, этого не делают.
Конечно-разностное решение Кранка — Николсона при 1= 8.0 и С = 0.8 показано на рис. 9.4. Это решение содержит первичную волну, распространяющуюся медленнее точного ре шения, а также существенный дисперсионный след. Соответствующее конечно-элементное решение Кранка — Николсона несколько точнее, чем решение, показанное на рис. 9.4; его максимальная амплитуда несколько больше, а днсперснониый след — меньше. Однако при С = 0.8 и и = О.! преобладающее влияние на ошибки оказывают члены, пропорциональные ЛГз. При С=0.1 и при больших значениях и более важную роль начинают играть члены четвертого порядка по простран- 371 $9.2.
Численная Хиссипапия и дисперсия ству и конечно-элементная схема Кранка — Николсона оказывается значительно точнее других схем. Особенности течения, показанные на рис. 9.2 — 9.4, будут еще раз рассмотрены в конце 9 9.2. Следует подчеркнуть, что для лучшего выявления некоторых проблем расчета течений с преобладающим влиянием конвекции здесь были использованы сравнительно грубые сетки (Лх, гхг), а также относительно «трудное» начальное условие.
Однако остается в силе утверждение о том, что построение численных решений чисто диффузионного уравнення значительно проще, чем такого же уравнения с конвективным членом. 9 9.2. Численная днссипация и дисперсия Многие явления в гндродинамнке описываются системами уравнений, которые обладают свойствами «гнперболнчности», т. е. у них либо совсем отсутствуют дисснпативные члены, либо они имеют малый порядок. Для решений таких уравнений характерным являются волновые пакеты, которые распространяются с постоянной либо слабо меняющейся амплитудой. Очень важно, чтобы численные схемы не вносили нефизнческую диссипацию, как, например, при решении уравнения (9.10) (рис.
9.2). Важно также, чтобы численные схемы не влияли на скорость распространения волн, т. е. численные схемы не должны вносить искусственную дисперсию, приводящую к результатам, показанным на рис. 9.4. Решение, описывающее бегущую плоскую волну с диссипацней н дисперсией, можно представить в виде Т = КЕ ТатрЕ Р<тг гагт ~х — «гт)1 г (9.25) где Т,, — вещественная положительная величина, гп — волновое число, связанное с длиной волны Х соотношением Х = 2п/т.
В выражении (9.25) величина р(т) определяет скорость затухания амплитуды волны, а г1(т) — скорость распространения волны. Если движение плоской волны (9.25) описывается линейным уравнением конвенции, то р(т) и д(т) принимают значения р(т)= 0 и д(т)= и, т. е. волны любой длины распро. страняются с постоянной скоростью и не затухают. Весьма поучительно рассмотреть два уравнения, которые близко связаны с уравнением конвенции (9.2), а именно — +и — — а — =О, дг дТ даТ дг дх дха (9.26) — + и — + 11 — =О.
ЭТ дТ длТ дг дх дха (9.27) 372 Гл. 9. Линейные задачи е преобладающим влиянием конвекции Уравнение (9.26) представляет собой уравнение переноса, которое будет рассматриваться в $9.4, а уравнение (9.27) является линейным уравнением Кортевега де Бриза. Для плоских волн, описываемых уравнением (9.26), входящие в решение (9.25) параметры принимают вид р(т) = ата, д(нз) = и, (9.28) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
