Fletcher-1-rus (1185917), страница 69
Текст из файла (страница 69)
7»+ Т«н (Т» Г» ) (Т»»Т» ! Т» ) которое приводит к вычислительному алгоритму вида Тс+' =- (з + 05С) Тс с + (! — 2з) Тс + (з — 0 5С) Тс+ь (9 58) ГдЕ З = ай!/ЛХз И С = иМ(ЬХ. Из разложения в ряд Тейлора в окрестности узла (7, п) следует, что схема (9.58) аппроксимирует уравнение (9.56) с погрешностью порядка 0(сзс, Лхз). Если алгоритм (9.58) рассматривать с точностью до членов порядка 0(сзсз, Лхз), то ои э 9.4. Одномерное уравнение переноса 387 аппраксимирует уравнение дТ дТ деТ Л1 д Т вЂ” +и — — а — + — — =О, д1 дх дхе 2 д~х (9.59) где а' = и'М/2. Таким образом, видно, что использование разностной схемы первого порядка точности по времени вносит в уравнение переноса диссипацию и дисперсию первого порядка.
Для больших значений и/а член искусственной диффузии а'деТ/дх' может оказаться сравнимым с физической диффузией, если не ограничить величину б/. Если величина д4Т/дх' не является слишком большой, то маловероятно, что последний член в (9.60) будет существенным. Следовательно, ограничение на шаг по времени М дает М « —, или С' « 23 или в(„и (= — ) « — . (9.61) Ясно, что имеется веская причина использовать схему второго порядка точности по времени при решении уравнения переноса. Напомним, что схема с разностями вперед по времени и центральными по пространству приводит к алгоритму, который условно устойчив для уравнения диффузии и всегда неустойчив для уравнения конвекции.
В табл. 9.3 приведен коэффициент усиления 6 для уравнения переноса, полученный на основе анализа устойчивости схемы по Нейману. Для устойчивых решений ~6( (1, что приводит к следующим ограничениям: 0 ( Се ( 28 ( 1. (9.62) Соотношение (9.62) включает в себя «диффузионный» предел (п. 7.1.1). Строго говоря, ограничение (9.62) допускает решения, для которых /тсеп = ибх/а = — С/з ) 2.0, т. е. можно ожи. дать появления осциллирующих решений. Из (9.61) также следует, что такие решения будут недостаточно точными.
т. е. в уравнение в частных производных, которое аппроксими- руется алгоритмом (9,59), включается дополнительный член, ин- терпретируемый выше как главный член ошибки аппроксимации. Следуя методу модифицированных уравнений ($ 9.2), вторую производную по времени можно исключить, заменив ее произ- водными по пространству, что дает дТ дТ е деТ Г з ЬР Лхе Х деТ вЂ” + и — — (а — а') — — 1 аиМ + ив — — и — ) — + дФ дх д х 3 6 /дх' + (О.ба»Ж — аи»М~+ 0.25и«Ь/в — а — + и ) — „, = О, (9.60) 888 Гл.
9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекцви Таблица 9.8. Алгебраические схемы (дискретизация) Ошибка апцрокснмацнц Е (глаеяые члены) Алгебраическая форма Схема ьт" +' — + и/хТ! — а/. Т" =О лт " хх ! ВВЦП ° а ° бтп+1 /Тп тп ) — +и б! Ох Вверх по потоку — а/. хТ" = О Люфорт— Франкел ф Ьт" +/ — +и/, т / и АГ х Лакс— Вендрофф — а /.ха Т" = О, где а'=а+О.биСАх Кранк— Николсон дум+4 — + [и/.х — аЬхх) Х ! Аг 1 тп+ тп+! [7п+~ Тп — !)/2 Ы+и/, 7Я вЂ” †", '[т!, — [т/-! + + т", +') + т",+,') - Π— [Сабх — и( — ) Х Х (1+ 2Са)~— — и( — ) (1 — С) — т — ~Саби — и( — ) Х Х (1 — ЗС+ 2Са)~— дат аСа — + (1 — Са) Х дха д'7 Х [и Аха/6 — 2ааСа/и]— дх' — [Са Ьх — и (Ьха/6) (1 — Са)[Х д'Т Х вЂ” „, + [Са /и (Ах/2)— — а Ьх~/12 — иС (Ьха/8) Х Х (С вЂ” 1И вЂ”, д'Т д'т и (Ах~/6) (1 + О.ЗСа) —,— д4 7 — а (Ах'/12) (! -[- ЗСа)— дх4 Коэффициент затухания О !Е аэл ах! Усаонне устойчииостн Замечание 0 ~(Сз(2з(1 1 — 2з (1 — соз О) — тС в!п О С+2з«1 С(1 0~(Сэ(2з'(! Нет 1 + з (1 — сов О) + !О 5С з!и О $9А.
Одномерное уравнение переноса для уравнения переноса дТ/д! + идТ/дх — пдзТ/дхз = 0 1 — (йз+ С) (1 —. О) — РС Ып О В й [Вв — Оз (1+ 2з)]!)т (2+ 4з) где В 1+ 4з сов Π— !2С в!и О 1 — 2з' (1' соз О) — (С в!и О, где з' а'бг/Ьзл 1 — з (1 — сов О) — !О.БС в!и О Р „! «2/С для точности Всея «2/(! — С) для точности Сз«1 для точности ~~сап «2 чтобы избежать пространственных осцилляций Все!! «2' чтобы избежать пространственных осцнлляций 390 Гл.
9. Линейные задачи с преобладаю!ниц влиянием конвекции Ошибка аппроксимации и !главные члены) Схема Алгебраическая форма и (Ьха(3) (1 + 2С') —,— дат дха — а (Ьхв/12) (1 + 12Св)— д'Т дх' 3-слойная чисто неявная 3 ЬТ +! 1 ЬТ" ! — — — — — + 2 Ьт 2 Ь! + (м(.л — атвх) т "+~ = О д'Т иСв (Ьхв/12) — + дха + а (Ьхв(12) (1 — ЗСв) —, 31 в»-! М +иЬхХ Линейнаи МКЭ Крапив Николсон — а(лх~ ' ' ~ =О ) 11 Если для представления (9.56) испольэовать, как в схеме Ричардсона (7.8), центральные разности по времени вместе с центральными разностями по пространству, то полученный в результате алгоритм будет безусловно неустойчив, если не потребовать э =О, что приведет к схеме <чехарда» (9.15) для уравнения конвекции (9.2).
Схема Дюфорта — Франкела для уравнения переноса имеет. вид то+! Тв-1 (Ти !в ) 2Ь( + 2Ьх и (Т1 , — (т,"-' + т",+') + т",+!1 Анализ устойчивости по Нейману показывает, что если число Куранта С ( 1, то не требуется ограничения на 3. Из разложения в ряд Тейлора в окрестности узла (1, и) следует,. что в противоположность уравнению диффузии для аппрокси-- Алгебраическая схема вквивалеитна уравнению дг!д!+и дт!дх — одет(дят»- Лсеи =С(а и Аята 391 $9Л.
Одномерное уравнение переноса Таблица рлт (продолжение) Козффианеит затухании О !О= изнтх! Уелоаие уетоачнаости Замечание 1 ~ — 1 [3+ !62 (! — сои в) + 18С Мп В)П~ )~ееп ~~ чтобы избежать пространственных осциллнций Нет 2(1+ — (2з (1 — соз 0) +!С з!и О! ) 2 + 3 соз Π— Зз (1 — соз 0) — 1.3С з!и О )~ееп ~~ 2 чтобы избежать пространствен. ных осциллнций Нет 2+ 3 соз О+ за (! — соз О) + Л.ОС з!и О мации схемы (9.63) уравнением (9.56) необходимо потребовать б! ( Лх (С' » 1 в табл.
9.3), а это очень строгое ограничение. Если для представления дТ/дх использовать центральные разности вместо разностей против потока, то для положительных и получим алгоритм Т)+' =(э+С)Т! 1+(! — 2з — С)Т)+зТ)е1. (9.64) Разложение в ряд Тейлора показывает, что (9.64) аппроксимирует уравнение (9.56) с точностью 0(51, Ьх). Из выражения для ошибки аппроксимации для схемы с разностями против потока, приведенной в табл.
9.3, следует, что она вносит искусственную диффузию с коэффициентом а' = 0.бил(1 — С). Такой же член возникает и для уравнения конвекции (табл. 9.!). Для получения точных решений уравнения переноса с помощью схемы с разностями против потока необходимо потребовать, чтобы т 2 а «а ИЛИ Ясен» ж!Г) О,Ь вЂ” ! — 1, О. 1), Ь вЂ” !1,2, ПЗМ ( —, —, — ).С нивах,з иве)ахт, 1 1 т1 2 11 зох ' ' ' «х Лх' ' ' ' х О' З' О)' 392 Гл. 9. Линейные задачи с иреобладаюшим илиянием конаеинии Анализ устойчивости схемы (9.64) по Нейману дает коэффициент усиления 6, который приведен в табл. 9.3.
Необходимое условие устойчивости (6( ( 1 приводит к требованию (9.65) 2е+ С(1, что эквивалентно неравенству 0.5Ьха ч 1+0.бя„и ' (9.66)~ которое является значительно более строгим ограничением, чем: для уравнения диффузии (табл. 7.1). В большинстве рассматриваемых до сих пор схем ограничения были связаны с тем, что необходимо получить достаточно точные решения, используя для производных аппроксимацион. ные формулы первого порядка точности. Схема Лакса — Вендроффа (9.16) обладает вторым порядком точности как по временнбй переменной, так н по пространственной.
Для уравнения переноса (9.56) схема Лакса — Вендроффа может быть интерпретирована как схема ВВЦП с модифицированной диффузией се» = се(1+ 0.5С1геен). При )т„н- аа ошибки аппроксимации и условия устойчивости вновь возврашаются к указанным в: табл. 9.1. 9.4.2. Неявные схемы Т Т~ ~1 — 2Т~~'+ Т~» ~ Т~~+~~ — 2Т~~~ + Т7+~ 1 Использование неявных схем для уравнения диффузии более эффективно, поскольку для них не требуется выполнения. условия устойчивости з ( 0.5. Наиболее эффективная одномерная двухслойная схема для уравнения диффузии, схема Кранка — Николсона, здесь будет рассмотрена в применении к уравнению переноса.
Строго говоря, данную схему следует описывать как трапецоидальную схему, поскольку первоначальная. схема Кранка — Николсона была развита для уравнения диффузии. Однако названия — схема Кранка — Николсона и двух-- слойная — будут применяться время от времени к любой двухслойной схеме, в которой пространственные производные вычисляются симметрично относительно слоя (и + 1/2) по времени. Для уравнения переноса использование схемы Кранка— Николсона дает разностное представление 393 й 9нь Одномерное уравнение переноса которое можно переписать в виде алгоритма — (з+ 0.5С) Т~+, '+ 2(1+ з) Ту~' — (з — 0.5С) Т~„+1' = =(з+ 05С)Т~ 1+ 2(1 — з) Т,"+ (з — 0.5С) Т",~ь (9.68) Почленное разложение (9.68) в ряд Тейлора в окрестности узла (1, и) показывает, что этот алгоритм аппроксимирует урав.нение (9.56) с погрешностью порядка 0(Л(в, Лх').
Таким образом, проблема искусственной диффузии, возникающая в схемах первого порядка, здесь отсутствует. Анализ устойчивости алгоритма (9.68) по Нейману дает для :коэффициента усиления 6 приведенные в табл. 9.3 выражения, из которых видно, что они не накладывают никаких ограничений на критерий устойчивости для С или з. Но для отсутствия осцилляций решения по пространству требуется удовлетворить -неравенство )еееп ( 2. Для длинноволновых компонент (малые гпЛх) решения о свойствах дисснпации и дисперсии вычислительных алгоритмов для уравнения переноса можно судить, исходя из выражений для ошибки аппроксимации, приведенных в табл. 9.3.
Обычно неявные схемы в этом смысле являются удовлетворительными. Физическая диссипация в системе приводит к умень. :шению больших дисперсионных ошибок, связанных с коротковолновыми возмущениями (тЛх — ~-я), возникающими в решении уравнения конвекции. В частности, конечно-элементная схема Кранка — Николсона, приведенная в табл. 9.3, обладает малыми ошибками, связанными с дисперсией и диссипацией, :при малых значениях С. Для получения информации о коротковолновых компонентах решения необходимо провести фурье- анализ схемы (п. 9.2.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
