Fletcher-1-rus (1185917), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Это будет применено к задаче о конлекции температурного фронта в следующем пункте. 9.4.3. Тки: конвекцая температурного фронта Рассмотрим некоторые из описанных в п. 9.4.! и 9.4.2 схем применительно к задаче о конвекции со скоростью и температурного фронта в жидкости с коэффициентом термодиффузии а. Для больших значений числа Рейнольдса ячейки (строго говоря, числа Пекле), )г„п = иЛх/а, ширина фронта ограничена несколькими шагами по пространству (рис.
9.11) и все схемы,-описанные в п. 9.4.1 и 9.4.2, порождают осциллирующие решения, в основном обусловленные дисперсионнымн ошибками схемы ($ 9.2). Попытаемся построить две новые схемы, которые будут об.ладать намного лучшими дисперсионными характеристиками. 394 Гл. 9. Лииейнме задачи с преобладающим влиянием конвекнии Обе схемы основаны на разностных формулах Кранка — Николсона для производной по времени. Первая схема представляет собой обобщение схемы Кранка — Николсона (9.20) смассовым оператором, которая применялась для линейного уравнения конвекции (п. 9.1.5).
В случае одномерного уравнения переноса она дает г т" +' т" х М,~ г, ~)+(и/.* — а/- )0.5(Т +Т!'~~')=О (969)' где М =— (6, (1 — 26), 6), а /.,— условное обозначение для трехточечных формул с центральными разностями. Параметр 6 будем выбирать таким образом, чтобы уменьшить днсперсионные ошибки схемы. Очевидно, что схема (9.69) приводит к трех- диагональной системе уравнений, которая может быть решена с использованием эффективных методов. Анализ устойчивости.
по Нейману показывает, что схема (9.69) устойчива при. 6 < 0.25. Что касается длинноволновых характеристик схемы, то, используя метод модифицированных уравнений (п. 9.2.2), видим,. что система (9.69) эквивалентна следующему уравнению: дТ дТ дзТ Г! Сз Х д'Т вЂ” + и — — а — + иЛхз !х — + — — 6) —— дГ дх дхз чв !2 ) дхз С хат — аЛхз !ч — + — — бл! — + ... =О.
~!2 4 ) дха Формально схема (9.69) является схемой второго порядка точности. Очевидно, что выбором 6 = 1/6+ С'/12 можно подавить младший член с дисперсией в ошибке аппроксимации. Если„ кроме того, С' ( 0.5, то младший диссипативный член будет вносить положительную диссипацию в ошибку аппроксимации Однако при оптимальном выборе 6 для устойчивости схемьг требуется, чтобы С ( 1.0. Альтернативным средством для улучшения дисперсионных свойств схемы является использование четырехточечной схемы Кранка — Николсона с разностями против потока Тп+! Тл ! + (иьл ~ — а/.„„) 0,5 (Т! + Тг+'') = О, (9.71) где при и ) 0 /'х"~Т=05 ~~~ ' ~ + ~ з ~ ~ ~+' .
(9.72) Ьх Здх Соотношение (9.72) представляет собой четырехточечный конвективный оператор, введенный в связи с рассмотрением стационарного уравнения диффузии — конвекции в п. 9.3.2. 395 $9.4. Одномерное уравнение переноса дТ дТ дэТ Э Г (1 — 2д) Сэ Х дэТ вЂ” + и — — а — +иАхэ~ + — ) —— д! дх дхэ 'ь 6 !2 ) дха Ьхэ 1 — 2Р пд Сэ д'Т ид ( !2ее +,)дх + =О. (9.73) аэ (9.73) иЛхэЯеец = аЬхэ. Видно, что для потоков с )тсец » 1 член с дисперсией дает наибольший вклад в ошибку аппрокси- Т !.0 -2.0 0.0 х 2.0 Рис.
9.7. Начальные условия в задаче о распространении температурного фронта. мации. Этот член можно исключить выбором д = 0.5+ 0.25С'. При таком выборе д и больших значениях )т„ц диссипативный член имеет наименьший порядок и вносит положительную диссипацию. Приведенные выше схемы (9.69) и (9.71), а также схемы, рассмотренные в п. 9.4.1 и 94.2, были использованы для решения задачи о распространении фронта температуры, иллюстрируемой на рис. 9.7. При 1= 0 задан скачок температуры в точке х=О. В последующие моменты времени фронт движется со скоростью и вправо и его профиль размывается под дей.ствием термодиффузии с коэффициентом а. Следовательно, в Подстановка (9.72) в (9.71) приводит к четырехдиагональной системе уравнений, которая должна решаться на каждом шаге по времени.
Для этого требуется использовать обобщенный алгоритм Томаса (п. 6.2.4). В программе ТКА!и' обобщение .алгоритма Томаса достигается за счет дополнительной прямой прогонки (строки !26 — 133), сводящей систему к трехдиагональной форме. В данном случае обобщенный алгоритм Томаса требует выполнения почти на 80% операций больше, чем обычный алгоритм Томаса. Схема (9.71), (9.72) устойчива при д) — ЗЯеец. Практически это условие не является ограничением, поскольку обычно интерес представляют только положительные значения д. Эквивалентное уравнению (9.71) модифицированное уравнение (п. 9.2.2) имеет внд 896 Гл. 9.
Линейные задачи с преобладакппнм влиянием конвекпии 1С 2 С 3 С 4 С 5 6 7 8 9 10 11 12 13 С 14 15 16 17 1$ 19 20 21 гг гЗ гб 25 26 27 28 29 30 31 32 ЗЗ 34 35 36 С 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 С ТВАИ ЗОЬЧЕЗ ТИЕ ЫИЕАВ ТВАИЗРОВТ ЕОРАТ10И 031ИС ЧАВ1003 ЕХРЫС1Т АИР 1КРЫС1Т 5СВП(Е5 01КЕИ510И В(65),Т(65],ТР(65),ТЕХ(65),А(5,65) 1.0(4),Х(65) ОРЕИ(1,$1ЬЕ-"'ТВАИ.РАТ') ОР ЕИ ( 6, Е 1] Е= ' ТВАИ . О ОТ ' ] ВЕАР (1. 1 ) КЕ, ЗКАХ, ИТ1К, ИЕХ, ЗРВ, ЬН ВЕАР (1, 2) С, Р, $,9, ЕИ 1 ЕОВИАТ(615) 2 ЕОВИАТ(2Е5.2,3Е10.3) 1Е(ЗРВ .ЕО. 1)ЧВ1ТЕ(6,3) 1Е(дРВ .ЕО.
2)ИВ]ТЕ(6,4] 3 ЕОВКАТ(' РВОРАСАТХИС $1ИЕ-ЧАЧЕ' ) 4 ЕОВКАТ(' РВОРАСЬТТНС ТЕИР-ЕВОИТ'] ЗКАЕ дКАХ " 2 дНАР дКАХ - 1 АКР = дКАР ЬХ = 1.0/АКР 1Е(дРВ .ЕО. 2]РХ 4./АКР РТ = С*ЬХ/Р ЕЬ ЬИ АЬРН Зепх*РХ/Рт 1Е(АЬРИ .ЬТ..1.0Е-10)АЬРИ ~ 1.0Е"10 ВСЕЬ Р*ЬХ/АРРИ 99 9*С/3. 1Е(ИЕ .ЬТ. 3]99 О. ИО = 0 1Е(А85(99) .СТ.
0.0001)КО 1 АТ1К ИТ1К Т1Н О. Т1ИАХ = РТ"АТ1И Р1 ° 3.141592654 1Е(КЕ .Е9. 1)ЧВ1ТЕ(6,5/ИЕ 1Е(НЕ .ЕО. 2)ЧАЕТЕ(6,6)КЕ 15(КЕ .ЕО. 3]ЧР1ТЕ(6,7)МЕ 11(ИЕ .ЕО. 4)ЧАПЕ(6,8]КЕ 5 ЕОВКАТ(' ИЕ ',12, ' ЕТС5 01ЕЕЕВЕИС1ИС') б ГОВКАТ(' КЕ ',12,' ЬАХ-ЧЕИРВОЕЕ') 7 ЕОВКАТ(' КЕ =',12,' ЕХРЫС1Т 4РТ ПРЧ1ИР') $ ЕОВНАТ(' КЕ =', 12,' СЕИЕВАЬ СВАИХ"И1СОЬ$0И') ЧВ1ТЕ(6,9)дКАХ,ИТ1К,С,П,РХ,РТ 9 еоккйт ( дкАХ= , 13, итеи ', ы, ' с ',Рб.г, ' ч ',15.2,. 1' РХ=',15.3,' РТ=',Е5.3) ЧВ1ТЕ(б, 10)5,АЬРН,ВСЕЫ0.09 ЧВЗТЕ (6, 11) ИЕХ, Ьн, ЕК 10 ЕОВИАТ(' 5 ',Е5.2,' А(РН ',Е10.3,' ВСЕЬ '.,Е6,3 ° 1' 9=',Е5.2,' 99 ',56.3) 11 ЕОВИАТ( ' ИЕХ ', 15,' ЕЬ=', 15,' ЕН ',Е10.3) Рнс.
9.8. Опнсанне программы ТйАМ (начало). 397 1$ 16 17 1$ 19 НВВСМ ЗОВНТ10М ХИ Т1НЕ ВО 26 Н 1,ИТ1Н 1Г(НЕ .СТ. 3)СОТО 21 ЕХРЫС1Т ЗСВЕНЕЗ Рнс. 9.8 (нродолжение). 54 $5 56 57 5$ 59 60 61 62 63 64 65 66 67 63 69 79 с 71 С 72 С 73 14 С 75 76 '77 1$ 79 80 31 вг 33 84 $5 С 86 С $7 С 88 39 90 С 91 С 92 С 93 94 9$ 96 97 93 99 100 101 102 103 104 9 9А.
Одномерное уравнение нереноса 1$(НЕ .СТ. 3)СОТО 12 3$ = $ 1$(НЕ .ЕО. 2]$3 $ + 0.5*С*С ВА (0.5*С + 3$) + 3.*99 ВВ = 1. - 2.*$$ " 3.~99 СС -0.5*С + $$ + 09 СОТО 13 12 АВ = ЕН - 0.25мС - 0.5*$ " 1.5*99 ВВ 1.0 — 2.0*ЕМ + 3 + 1 $*99 СС = ЕН + 0.25мС вЂ” 0.5"3 — 0.5*99 ВЕ ЕН +0.25еС + 1.5*99 + 0.5*3 ВЕ 1. - 2.*ЕН " 1.5*09 - $ СЕ ЕН 0 25*С + 0 5*99 + 0 5мв 13 ММ1ТЕ(6,14)АА,ВВ,СС,8Е,ВЕ,СЕ 14 Говнвт(' аа ',$3.5, ' ВВ ',Г8.5, ' сс ',Г8.5, ' Ве ",Г3.$,' Ве 113.5,' СЕ=',Г3.5,/] 1И1Т11ЫЗЕ Т 8МВ ЕУАЕНВТЕ ТЕЕ СВЫ ЕХЗОЬ(СРН,СНАХ,Е,Т,ТЕХ,ИЕХ,ВЕ,М,ВААГН,Т1нвХ,ЕЫ ВО 16 0 = 1,3НВХ 0015$ 1,$ В(Е,З], О. СОНТ1ИОЕ $$1ТЕ(6,17) Т1Н ГОВН8Т(' 1М1Т185 $0$071ОИ, Т1Н =',3$.3) $$1ТЕ(6,13) (ЕЫ),д 1,Л(АХ] $$1ТЕ(6,19) [Т[З),3=1,ЛЯХ) ГОВНВТ(' Х ', 1236.3) ГОННВТ(' Т ',12Г6.3) В(1] = Т(1) 0(2) Т(1) 0(З) Т(2) ВО 20 д 2,3НАР 1Г(НЕ .ЕО.
3)В(4) Р(1] В(1) = 0(2] В(2) 0(3) В(3) = Т(3+1) Т Ы) = АД*В(1) + ВВ"П(2) + СС*В[3) ЗГ[НЕ .$9. З]Т(3) Т(Л - 99"В[4] 20 СОМТ1ИОЕ СОТО 26 ЗОЕ С 106 С 107 С ЗОВ ЗО9 110 111 1]г 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 Лгз с 124 С 125 С 126 згз 128 129 130 зэз 132 ЗЭЭ ззв Ззб 136 137 ЗЗВ С Ззз ЗЕО 141 С 142 143 144 145 С 146 147 148 149 15О 151 152 153 154 с сб .сб '57 158 159 ТЕ101800КЛЬ ЗТЗТЕМ ГОЕ 1НРЬЗС1Т ЗСЕЕНЕЗ 21 1Г(МО .ЕО. 1)01М = 1. ВО 22 д = 2,дНЛР Х( = д " 1 Л(1,дН) = 0.5*90 Л(2,3Н) = ЛЛ Л(э,дН) = ВВ Л(4,дН) СС Е(ди) = ЛЛ"Т(ди) + ВЕ*Т(д) + СЕ*7(дс1) 1Г(МО .ЕЯ.
1 .ЛНВ. д .ОТ. 2]01Н Т(ди"1) ЗГПЗ) .ЕО. 1)Е(ди] = 8(ди) — ОЛ 99*01Н 22 СОНТ1]ИУЕ 8(1) Е(1) — Л(2,1)сТ(1] 1Г (НО . ЕО. 0) ООТО 24 8(1) - "Е(1) — Л(1,1)сТ(1] 8(2] 8(2] - Л(1,2)*Т(1) ЕЕВОСЕ Л ТО ТЕ101ЛООНЛЬ РОЕМ ВО 23 дН З,дНЛГ дии = ди " 1 ВОН Л(1,ди)/А(г,дии) Л(2,Л() = Л(г,ди) - Л(Э,ЗНМ)соои Л(Э,Л() Л(э,ди) " Л(4,Л(М)*ВОН Л(1,ди] = О.
8(ди) 8(ди) — 8(дии)*ВОН 23 СОНТ1КОЕ Л(1,1) = О. Л(1,2) О. гв л(г,и = о. Л(4,Л(ЛГ) О. СЯЬЬ ВЛНГАС(Л,ОМЛГ,1) СЛ Ь ВАК50Ь(Е,ТВ,Л,Л(ЛГ,1) ВО 25 д г,дМЛР 25 Т(д) = ТВ(д-1) 26 СОНТ1НИЕ 881ТЕ(6,27)Т1НЛХ 27 ГОЕНАТ!' Г1КЛЬ ЗОЬОТ10Н, Т1Н =',Г5.3) 881ТЕ (6, 18] (Х (д), дс1. ЗМЛХ) 881ТЕ(6,19) (Т(д),д 1,0КЛХ) 881ТЕ(6,28)(ТЕХ(д),д=1,0МЛХ) 28 ГОЕНЛТ(' ТЕХ ',12Г6.3) Зии = О. ВО 29 д 2,дНЕР 29 ЗОМ 50К + (Т(д) — ТЕХ(д))'*2 ЕМЗ = ЗОЛТ(ЗОМ/(ЛКР-1.)) 881ТЕ(6,30)ЕМЗ ЗО ГОЕМЛТ(' ВМЗ Еввс',Е12.5] ЗТОР ЕМВ Рис. 9.8 (окончание). 9 9.4. Одномерное уравнение переноса 01НЕИ$1ОИ Т(65),ТЕХ(65),Х(65! Л(АР = дНАХ - 1 Р1 = 3.141592654 1Г(дРА .ЕО. 1)ХЗТ О. 1Р[дРП .ЕО.
2)ХЗТ вЂ” 2.0 ВО 1 д 1.дНАХ Ад = д - 1 Х(д) = ХЗТ + Ад*ОХ Т(д) = О. ТЕХ(]) = О. 11(дРА .ЕО. 2)СОТО Э дп 0.1001/ВХ + 1.0 1ИС = П*Т1(ЯХ/ВХ + 0.001 00 2д 1Л( Т Ы) = $1И(10.~Р1*Х(д)) дР = д + 1ИС ТЕХ(дР] = Т(д) ПЕТПКИ Т(1) = 1.0 ТЕХ(1) 1.0 ВО 5 д = 2,3НАР 11(Х(7) .ЬТ. 0.)Т(д) 1.0 1Г(АВЗ(Х(д)] .ЬТ. 1.0Е"04]Т(д) 0.5 ВЕН = О. ВО 4 К = Э,ИЕХ АК 2*К вЂ” 1 ВПН = АК*Р1/ЕЬ ЗИЕ = $1И(ВВН'(ХЫ)-П*Т1НАХ)) В1Н " " АЬРП*ВПН*ВОН*Т1НАХ 1Г(ВТН .ЬТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
