Fletcher-1-rus (1185917), страница 71
Текст из файла (страница 71)
-20.]ПОТО 5 ВЕН = ВЕН + (ЗИЕ/АК)*ГХР(01Н) ТЕХ(Л 0.5 — 2.*ВЕН/Р1 ЕЕТВПИ ЕНВ Рпс 9.9. Описание программы ЕХ50Ь каждый момент времени чем больше /с„п = и/Ье/а, тем круче профиль температурного фронта. Исходным уравнением в этой задаче является уравнение (9.56). Для достаточно малых значений ( можно задать следующие граничные условия: Т ( — 2, /) = 1.0, Т (2, () = 0.0. (9.74) 1 2 С 3 С 4 С 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 . 15 16 С 17 С 18 С 19 20 21 22 23 24 25 26 С 27 С 28 С 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 8ПВАОПТТИЕ ЕХЗОЬ ЫРП, ЛЯХ.
Х, Т, ТЕХ, ИЕХ, ВХ, П, АЬРП, Т1НАХ, ЕЬ] ЗЕТЗ ТНЕ 1И1Т1АЬ Т $0ЬПТ10И АИВ Г1ИАЬ ЕХАСТ (ТЕХ) ЗОЬПТ10И ЕХАСТ ЗОЬПТ10И ГОА РАОРАПАТ1ИО $1ИЕ-ПАТЕ ЕХАСТ ЗОЬПТ10П ГОП РПОРАПАТ1ИО ТЕНР-ГПОИТ 400 Гл. 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекпнн Точное решение этой задачи, найденное методом разделения переменных, имеет вид У Т(х, 1)=0.5 — — 5 з!п~(2й — 1) а-! (9.75) Различные схемы, которые заложены в программу ТКАН, приведены в табл. 9.4. Распечатка программы ТКАЛ дана на рис. 9.8, а основные параметры указаны в табл.
9.5. Точное решение дает подпрограмма ЕХАЛО( (рис. 9.9). Типичная выдача результатов программы ТААМ при использовании схемы Лак. са — Вендроффа показана на рис. 9.!О. РВОРВОВТ1НО ТЕНР-Еаоит НЕ 2 ЬВХ-НЕИВЕОЕЕ Онах 21 итгн 1о с лб и ло вх лоо От лоо н .25 хьрн= .100е+00 есеь 1.000 Я .00 ОО .000 Нех= 100 еь 20 ен .Ооае+00 На= .40625 88= .43750 СС .15625 ВЕ .00000 ВЕ .00000 СЕ .00000 хитттхь Воьптхон, ттн .ооо Х -2.000-1.800-1.600-1.400-1.200-1.000 х- .Воо лоо .Воо 1.ооо 1лоо 1лоа т- 1.ооо 1лоо 1.ооо глоо 1.ооо 1.ооо т- .ооо .ооо .ооо .ооо .ооа .ооо нхиаь Воьптгои, ттн 1.ооо Х -2.000-1.800"1.600-1.400-1.200-1.000 Х .400 .600 .800 1.000 1.200 1.400 Т= 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 Л93 .422 ТЕХ 1.ООО 1.ООО 1.ООО 1.ООО 1.ООО 1.ООО ТЕХ .588 .412 .251 .132 .059 .022 Ннб ЕЕЕ .44842Е-02 ".800 ".600 -.400 -.200 .000 .200 1.600 1.800 2.000 1лоо 1.ооо 1.оао глоо лоо .ооо .ооо .ооо .оао †.800 †.600 1.600 1.800 .987 .991 .005 .001 .998 .993 .007 .002 †.400 -ЛОО .000 .200 г.ооо .973 .934 .862 .747 .ооо .978 .941 .868 .749 .ооо Рнс.
9.10. Тнпнчнан выдача по программе ТВАХ. При )г„» — — 1.0 в табл. 9.6 дано сравнение решений, полученных как по явным, так и по неявным схемам. Все методы приводят к гладким решениям, тогда как схема Лакса — Вендроффа оказывается наиболее точной из явных схем.
Наиболее точной из неявных схем является схема (9.71) с д =0.5, что соответствует 3-му порядку аппроксимации члена идТ1дх. Расчеты по неявным схемам Кранка — Николсона для более высоких значений !Т„ц показаны в табл. 9.7 (гг„ц = 3.33) и табл. 9.8 ()с„ц = 100). В качестве эталона принята конечноразностная схема Кранка — Николсона. Решение по этой схеме является осциллирующим и выявляет добавочный скачок за фронтом, который особенно хорошо виден прн )т„ц = 100 (табл.
9.8 и рис. 9.11). Видно, что две низкодисперсные схемы $9.4. Одномерное уравнение переноса 401 Таблица 9.4. Различные схемы, реализуемые программой ТЕАХ Описание Схема ВВЦП (9.58) Схема Лакса — Вендроффа (9.58) с з' = з+ 0.5Са Конечно-разностная схема Кранка — Николсона; б = О, д = 0; СХ-Г))М Конечно-элементная схема Кранка — Николсона; б = 1/6, д = 0; СХ-РЕМ Схема Кранка — Николсона с массовым оператором; б = 1/6+ + Са/12; СХ-МО 4-точечная схема Кранка — Николсона с разностями вперед; б О, 4 05+ 025Са. СХ,4РХ Таблица 9.5.
Параметры, используемые в программе ТЕАХ Параметр Описании МЕ =1; схема ВВПП (9.58) =2; схема Лакса — Вендроффа (9.16) МЕ МЕ = 3; явная 4-точечная схема с разностями вперед (9.57), (9.72) МЕ =4; обычная схема Кранка — Николсона (969), (9.71) Число точек в интервале 0 < х < 1 Число шагов по времени 3МАХ ХТ1М 26 К.
Флетчер. т. 1 Явная 4-точечная схема с разностями против потока (9.57), (9.72); ЕХ-4РБ Таблица 9.5 (продолжение) Опнеанне Переиетр Время, при котором выполняется сравнение с точным ре- шением Т(МАХ =1; задача о распространении синусоидальной волны = 2; задача о распространении температурного фронта Число слагаеммх А! в (9.75), используемых в программе ЕХЬОЕ )ч ЕХ Число слагаемых 6 в (9.75), используемых в программе ЕХЬОЕ Число Куранта (9.!1) Значение и в (9.2), (9.56) Коэффициент термодиффузии а в (9.56) з = аб(/Ахе Число Рейнольдса ячейки, иЬх/а, 6 9.3 д в (9.53), (9.72) 6 в (9.69) Айбх,х Зависимая переменная в (9.2), (9.56) Точное решение (9.24) или (9.75) А(.РН О ЕМ ОТ, ОХ,Х Т ТЕХ АА, ВВ, СС АЕ, ВЕ, СЕ Коэффициенты перед Тн! и Т" и Т"е1в явных схемах Коэффициенты перед Т"+!!, Т"+! и Т "++! в неявных схемах Элементы в трехдиагональиой матрице (9.!8) ВАг(РАС Факторизация матрицы А к треугольному надаиагональному виду Решение уравнения АТ = )1 для Т"+' Правая часть трехдиагональной системы уравнений (9.22) Решение для Т~'"', полученное в подпрограмме ВА)ч501.
ВАЫ501 ТО 402 Гл, 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции О 1' О О О О О О О О О О' О о О О О ! СЧ О 8 О сО О О О О О О О О О О О О 'Ф О О О О О О О О Я О О О О О 1~ Сс л О О О 'Ф' О О О О О О О О О сч О О О о о О О ы о со О О С1 3 О о о ! О о ! ы о $ о ) оы. И' о 4 9 о о Ю ы ы Р ы о о к 1 Ф (й ы о о. о о о. о 1о О ыО о 1 8 И о о~ СО Й1 а„М о.с3 ~о Р~ о о й~ СО ез ы ССАЙ О, аа ы Ю а И иы а о МЪ о. О " 1! о ы о. ы 3 о о, „.Х М ы в й ы о о ы а о о ы о х Ю~ о М, ы д о о, ы ы й $ ы ы С о ы о у 3 о Р М С О ц ы ~С й ы о о ы ф о ы ы о М к Хы йс ы о, 1' ьс о В о сю. (О Ю С| сч С> С> О ФЪ Ю 3 С) о О Оъ С3 СР $ Я О Ю О СР сч СО ОО 3 Ю О О Р Р й о О х О О йхх О ОЬ И Оа х О О.
О х О ь" е О ф хх Х афОХ в„~„„ ООХИ УМЬО ч 8 х И ха О о О Р, О д х О а О м х й х О О О. х О о О х х й Х О О, 3' О ы й О х о О З~О Х О О~ х Е х ъ а О ы Ю Ю сО Ю СО Ю Ю 8 Ю Ю Ю Ю Р Ю Ю со со' Ю Ю Ю со сч Ю со Ю Ю ! з !! ь Ю Ю Ю Ю Ю со Ю Ю Ю со Ю $О Ю Ю Ю со СО Ю Ю ) а и о о ф ф О. ф о х о ОЮ О !! .ц,«~ м О ь' Й!! ф» и д«~ » !! оо „" !! сс ~р а «а«ф ОХ»О Ь ф д х о о о Р э д о д о м ф И х о о ф с о о о х ф с ф в о. Ф м И о О. О со ф ОС« Ю о !! о зю х ф Ж о ф Р~! х я,' Ос о. о м 405 Гл. 9.
Линейные задачи с преобладающим влиянием конвенции (9.69) и (9.71) являются эффективными при ]т„н =3.33 в подавлении нефизических колебаний. При ]асан = 100 схема с массовым оператором при 6 = 1(6+ С'/12 дает крутой температурный фронт без осцилляций. Четырехточечная схема с разностями против потока приводит, однако, к более размытому фронту со слабыми колебаниями решения перед и за фронтом. Расчетные точки по схеме Краика — Николсона с массовым оператором (С[ч]-МО) показаны на рис.
9.11 только в тех случаях, когда они отличаются от точного решения. м.в аа ьз аа Х Рис. 9.1!. Решение задачи о температурном фронте при ! = ! и )1„п = !00 (обозначения см. в табл. 9.9). Дополнительную информацию об относительных свойствах двух схем (9.69) и (9.71) можно получить на основе фурье-анализа, как это было сделано в п. 9.2.1. Начальные данные представляются в виде рядов Фурье, и затем из разностиого уравнения находится отношение амплитуд (т' и фазового угла ф для каждой моды Фурье О . В случае схемы Кранка — Николсона с массовым оператором (9.69) получаем следующие выражения: Г [! — (26 + з) (! — соз 0,„)]а + (05С з!п 0Дз ') Пз "' 'ч [! — (26 — з) (! — соз Ом)]з + (0.5С Мп 0м)з 7 — С мп 0т [1 — 26 (1 — соз вм)] (9 77) 1! — 26 (! — сов 0 Ц' — [0.5С Мп 0 Цз — [з(! — соз вы))з ' Соответствующие выражения для точного решения имеют вид О,„= ехр [ — Сбх'/)с„и), 1д ф,ю = [п ( — СО„).
(9.78) $94. Одномерное уравнение переноса 407 ет/ Схема 0.25 !.00 Кранка — Николсона с конечными разностямн (СМОГОМ) Кранка †Николсо с массовым оператором (СИ-МО) Кранка †Николсо, 4-точечная с разностями против потока (СХ-4РБ) От/Сех, т 0.996 0.858 0.619 0.389 0.251 От/Оех, т 0.996 0.841 0.573 0.683 От/Оех, т 0.996 0.827 0.438 0.216 0.23! — 9.00 — 8.94 Точное решение Кранка — Николсона с конечными разностями (СХ-ГПМ) Кранка — Николсона с массовым оператором (СХ-МО) Кранка — Николсона, 4-точечная с разностями против потока (С)а)-4РУ) — 45.00 — 39.19 — 90.00 — 56.58 — ! 35.00 — 49.09 — 180.00 О.ОО Фех, «л Фт — 9.00 — 45.37 — 100.2! — 164.20 -40.65 -130.! 4 -180.00 Таблица 9.10.
Волновые характеристики решения при /т«ен = 100, С =! Ьх 0.1 0 /л Схема О.05 0.25 0.50 0.75 Кранка — Николсона с конечными разностями (СМ-РОМ) Кранка — Николсона с массовым оператором (СХ-МО) Кранка †Николсо, 4-точечная с разностями против потока (СХ-4РО) От/Оех, т 1.000 0,995 0.984 0.970 0.961 а /С„,т !.ООО 0.994 0.967 0.980 !.000 0,958 0.674 От/Оех, т 0.277 0.010 Таблица 9.9. Волновые характеристики решения при /т,м« = 3,33, С = 1,0, Ьх 0.1 ° ЮО Гл. 9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции в /я !.00 0.75 0.05 0.25 Схема В табл. 9.9 и 9.10 приведены значения сх /О,„, „и ф для различных О„и соответствующих условиям табл.
9.7 и 9.8. Для четырехточечной схемы Кранка — Николсона с разностями против потока (9.71) для б„и ф получаем выражения [1 — а' (1 — соа О )]а + [О 5С Мп 8~ [1 + 0 (1 — сов 8~)/6]]х ~ !/2 [1 + а' (1 — соа Оае)]х + (О 5С 51п О„, [1 + Ч (1 — сов 8,„)/6]]а / в. ( (9.79) С а!п Оае [1 + о (1 соа Оае)/6] (9 80) 1 — [а' (1 — соа Оае)] — (0.5С а!п Оае [1 + 0 (1 — сов Оае)/6]) где з" = 5+ ОС(1 — сов й )/3. Отношение амплитуд и фазовый угол в зависимости от О при /7„ц = 3.33 и 100 приведены в табл.
9.9 и 9.10 соответственно. Видно, что при /7„ц = 3.33 (табл. 9.9) конечно-разностная схема Кранка — Николсона плохо согласуется с точным решением по фазовому углу, особенно для коротких волн при О -~-и. Наоборот, схема с массовым оператором и четырехточечная схема дают хорошее согласие с точным решением по фазе. Обе схемы имеют тенденцию к диссипации для промежуточных длин волн (О ж 55/2), а четырехточечная схема является диссипативной и для коротких волн. При /7„ц — — 100 (табл. 9.10) конечно-разностная схема Кранка — Николсона сохраняет амплитуду при всех длинах волн, но вносит значительные ошибки в величину фазового угла при малых длинах волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
