Fletcher-1-rus (1185917), страница 64
Текст из файла (страница 64)
9. Линейные задачи с преобладаюшим влиянием конвекции Ошибка аппроксимации Е * )главные члены) Алгебраическая форма Схема и ( Дх ) () + 2сх) ~'~ 3 ДТ +) ) ДТ2 ! ) Трехслой- ная, полностью неявная 2 дт 2 д) + н1 хт,"" = О Линейная КЭ1Кран- ка — Ник ол бона дтп Мх — + ! д) эквивалентная схема ВВЦП была условно устойчивой в применении к уравнению диффузии. Благодаря отсутствию устойчивости следует сделать вывод, что схема ВВЦП практически неприменима к решению задач о чистой конвекции.
Для полноты информации свойства схемы ВВЦП в применении к уравнению (9.2) суммируются в табл. 9.1. 9.1.2. Схема с разностями против потока и условие КФЛ Альтернативная схема может быть получена при введении разностной формулы для дТ1дх со сдвигом назад в предположении, что величина и положительна. Тогда дискретизация уравнения (9.2) принимает вид Тн+) тп (Тп Тн ) (9.9) или в алгоритмическом представлении Т!" =(1 — С) Т",+ СТ,",, (9.10) Ошибка аппроксимации Е выравсена через Лх и производные по х, как в методе аквнвалентно уравнению дт) д) + и дт)дх+ Е )т) =С.
$9.!. Одномерное линейное уравнение конвекиии 363 Таблица 9.) (продолжение) УСЛОВИЯ устойчи- вости Козффиниент звтуквния а (Е ягл ья) Замечания ! м — !' (3 + !'8С 5)п В) ие 5 Нет 2 ((+! 5!п В) (2 + соя  — !.3гС 5)п В) Нет (2+ с . В+ !.3)С Мп В) модяфниироввннык уравнений )и. 9.2.2). Таким образом, алгебраическое представление В случае отрицательного и вместо (9.10) применяется формула Т)~' = (1 — (С !)Т! + ~ С(Т)е!.
Согласно формуле (910), решение Т(+' определяется информацией из области, расположенной вверх по потоку от узла (1, а). Следовательно, схема (9.10) будет упоминаться в дальнейшем как схема с разностями против потока (табл. 9.1). Численные решения, полученные на основе разностной схемы против потока, будут изложены в и. 9.1.5. Если применить к схеме (9.10) анализ устойчивости по Нейману, то получится коэффициент усиления, показанный в табл.
9.1. Решения получаются устойчивыми, если С=и — (1. (9.11) Неравенство С (! называют обычно условием Курантов Фридрихса — Леви (КФЛ). Вообще говоря, это условие применимо ко всем явным схемам для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. С физической точки зрения условие КФЛ означает, что частица 364 Гл.
9. Линейные задачи с нреоблалаюшнм влиянием конвекнии жидкости за один шаг по времени Лг не должна продвигаться более чем на один пространственный шаг Лх. В частном случае при С = 1 формула (9.10) дает а+~ ч Т~ =Т~ и что является точным решением уравнения (9.2); это иллюстрируется на рис. 9.1. Разложение точного решения в ряд Тейлора в окрестности узла (1', и), подставленное в формулу (9.10), дает результат дТ дТ деТ д'Т вЂ” + и — „+0.5Ж вЂ”,, — 0.5ибх —,+0(о1е бхе)=0. (9.12) Следовательно, формула (9.10) не противоречит уравнению (9.2), но содержит в себе ошибку аппроксимации, главные члены которой имеют порядок 0(стг, Лх). Из уравнения (9.2) получаем дТ дТ дзТ а деТ вЂ” = — и —, — =ав —, да дх ' даз дхз ' и, следовательно, уравнение (9.12) можно переписать в виде — + и — — 0.5ибх(1 — С) — + 0(Л1а, Ьха) =О. дТ дГ даТ да дх дха Если считать, что ошибка аппроксимации при использовании формулы (9.10) имеет порядок 0(Лге, Лх'), то вместо уравнения (9.2) эта формула будет соответствовать уравнению дТ дТ, даТ вЂ” + и — — а' — =О.
д~ дх дхе (9.13) Это значит, что использование двухчленного конечно-разностного представления дТ)дх со сдвигом вверх по потоку в сочетании с разностной формулой для дТ)д1 при сдвиге по времени вперед вносит искусственную (чнсленную) диффузию с коэффициентом а' = 0.5иАх(1 — С).
Ясно, что коэффициент искусственной диффузии обращается в нуль, когда С = 1; это и не удивительно, поскольку формула (9.10) в таком варианте соответствует точному решению. Может показаться, что выбор Лг', дающего С = 1, позволит обойти проблему искусственной диффузии. Хотя это и действительно так в применении к линейному уравнению конвекции, однако при рассмотрении нелинейных уравнений, подобных уравнению Бюргерса ($10.1), когда скорость и (входящая в выражение для С) изменяется в пространстве, невозможно обеспечить равенство С = 1 во всех точках.
$9Л, Одномерное линейное уравнение конвекиии 9Л.З. Схема «чехарда» и схема Лакса — Вендроффа Применяя подход, использовавшийся ранее к уравнению диффузии, попытаемся построить более точную модель уравнения (9.2) с помощью введения центральных разностей как по времени, так и по пространству. Это приводит к схеме «чехарда»: .«+1 тл-~ (тн тн 2дх (9.14) и соответствующему ей алгоритму Т,"" = Т,"-' — С (Т,"„— Т",,). (9.15) Формула (9.15) соответствует уравнению (9.2) с ошибкой аппроксимации, имеющей порядок 0(Л!а, Лх').
Применение к (9.15) анализа устойчивости по Нейману дает коэффициент усиления 6, представленный в табл. 9.1. Как можно видеть, !6) = 1.0, если С ( 1, однако при некоторых значениях 9 получим ) 6( > 1.0, если С > 1. Следовательно, если удовлетворяется условие КФЛ, схема «чехарда» будет нейтрально устойчивой.
Это и желательно, так как в этом случае решение не затухает с течением времени; отметим, что на то же самое указывает и физический характер процесса конвекции согласно (9.2) . Как нетрудно видеть, решение Т,"+, обеспечиваемое формулой (9.15), как бы перепрыгивает через решение Т~, отсюда и название — схема «чехарда». Однако структура формулы (9.15) указывает на то, что вычислительная сетка уподобляется здесь шахматной доске; решение, строящееся для «чериых» полей», оказывается совершенно независимым от решения для «белых полей». Это обстоятельство может приводить к появлению двух «расщепившихся» решений.
Роуч (Коаспе, 1972! обсуждает различные варианты стратегии для преодоления данного затруднения, одним из которых является осреднение решения по двум временным слоям, а именно п и н + 1. Халтнер и Уилльямс [На!!!пег, %111!агни, 1980] провели анализ применения схемы «чехарда» (9.15) к задаче с гармоническим начальным условием, т. е, когда функция в правой части формулы (9.4) принимает форму г" (х) = ехр(11тЛх), где т — волновое число ($9.2). Они получили для (9.15) аналитическое решение, состоящее из двух волн или двух мод, происхождение которых связано с тем, что формула (9.15) коррелирует между собой три временнйх слоя. Одна из этих мод соответствует физическому решению, а вторая — это паразитная «вычислительная» мода, распространяющаяся в направлении, 366 Гл.
9. Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции противоположном моде физического решения, причем величина этой моды меняет свой знак на каждом шаге по времени. В случае линейного уравнения конвекции вычислительную моду решения можно подавить за счет выдлежащего выбора добавочного слоя начальных данных, т. е. задавая не только Т', но и Т" — '. Однако в применении к нелинейным задачам вычислительная мода, присущая решению по схеме «чехарда», может неограниченно развиваться и ухудшить перспективу разделения решения на соседних временных слоях, о которой упоминалось ранее.
Стратегии такого типа, как осреднение, существенно подавляют вычислительную моду, не оказывая заметного воздействия на физическую моду. Схема «чехарда» является трехслойной, и поэтому при ее применении требуется некий альтернативный подход для реализации первого шага по времени. Эту схему рекомендуется применять [Мог(оп, 197![ для решения гиперболических задач, например задач, описываемых уравнением конвекции (9.2); заметим, что эквивалетная схема Ричардсона для уравнения диффузии является неустойчивой. Схема Лакса — Вендроффа представляет собой весьма эффективный (и популярный) алгоритм для решения уравнений, описывающих течение невязкой сжимаемой жидкости ($ 10.2 и п.
11.6.1). В применении к уравнению конвекции (9.2) схема Лакса — Вендроффа совпадает с методом Лейва [(.еЩ (см. [Яоас)зе, 1972]). Оба метода основаны на построении приближения второго порядка для члена с помощью разложения в ряд Тейлора, в результате которого получается представление дт т"+' — т" тл+ ~ — тл дет — — 0.5 01 — = ~ ~ — 0.5 а1иа — . да ДГ ' деа ас ' дхе ' После введения представления для даТ/дхз с применением центральных разностей мы приходим к конечно-разностной модели для уравнения (9.2) по Лаксу — Вендроффу в форме Т!~+' =Т~! — 0.5С(Т~+1 — Т~" ~) + 0.5С (Т," 1 — 2Т~ + Т~!е~).
(9.15) Схема Лакса — Вендроффа согласуется с уравнением (9.2) при ошибке аппроксимации порядка 0(Л(з, ахз) и является устойчивой, если удовлетворяется условие КФЛ С ( 1.0 (табл. 9.1). Численные решения с использованием схемы Лакса — Веидроффа приводятся в п. 9.1.5. 9.1.4. Схемы Краина — Николсона Схема Кранка — Николсона оказывается весьма эффективной в применении к одномерному уравнению диффузии. В данном разделе конечно-разностные и конечно-элементные схемы $9Л. Одномерное линейное уравнение конвекции 367 Кранка — Николсона применяются к одномерному уравнению конвекции (9.2). Конечно-разностная схема Кранка — Николсона может быть записана в виде тпн тп + и (0.51.хТ~ + 0.51кТ~" ) = О, (9.17) где 7;Т! =(Там — Т;,)!2Лх. Из уравнения (9.17) получается следуюший трехдиагональный алгоритм: — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
