Fletcher-1-rus (1185917), страница 63
Текст из файла (страница 63)
17.2.1 и 17.3.3, $18.3 и $ 18.4) . 8 8.7. Задачи Двумерное уравнение диффузии ($8.1) 8.1. Примените анализ устойчивости по Нейману к схеме (8.7) и покажите, что зта схема устойчива, если 0 < з ( 0.5 8.2. Для случая Ьх = Ьр определите ошибку аппроксимации для схемы (8.7), если з = 1/6. 8.3. Модифицируйте программу 7%)31г так, чтобы оиа была применима к схеме (8.7) и проверьте путем расчетов теоретические результаты, соответ. ствующие задачам 8.1 л 8.2.
Методы расщепления для многомерных задач ($8.2) 8.4. Примените аяализ устойчивости по Нейману к трехмерным эквивалентам схемы НПН (8.14), (8.15) и схемы приближенной факторизации (8.23), (8.24). Покажите, что трехмерная схема НПН является условно устойчивой, а схема приближенной факторизации — безусловно устойчивой 23* 356 Гл. 8.
Многомерное уравнение диффузии 8зй Моднфицируйте программу Т)т'Р!Е так, чтобы она была применима к схеме НПН (8.14), (8.15) и сравните точность и экономичность этой схемы с аналогичными качествами схемы приближенной факторизации для МЕ = 1, у = О, 6 = 0.5. 8.6. Повторите сравнение, показанное в табл. 8.2, для случаев з, = з„ = = 0.5 и 1.5, обьясните полученные результаты. Для варианта з = з„ = 0.6 сравните результаты с данными для схемы, рассмотренной в задаче 8.3. Схемы расщеплемия и метод конечных элементов (6 8.3) 8.7.
Модифицнруйте программу, составленную при решении задачи 8.5. так, чтобы применить ее к конечно-элементному варианту схемы г!ПН (8.35), (8.36), н сравните точность результатов с точностью решений, отраженных в табл. 8.2. 8.8. Покажите, что схема (8.43), (8.44) при у = О, () = 0.5 эквивалентна схеме [1 — (О ба Ь( — б Ьх ) Ьхх1 Т! а — — [1 + (0.5а Ь(+ б Ьу ) Лак[ Т! э, [1 — (О.баб! — ЬЬУ )Ьня1 Т! а~ [1+(0.5абг+ЬЬх )Ьхх[ Т! а. Для специального случая б = 1712 эта схема совпадает со схемой, имеющей четвертый порядок по пространству и предложенной в работе (МИсйеП, Еа!гтэеа(йег, 1964).
8.9. В программе ТИР!г замените соотношение (8.48) за счет вычисления значения ЬТ„х а по формулам (8.41) при (,эож Сравните точность решения с результатами, приведенными в табл. 8.2. Граничные условна Неймана ($8.4) 8.10. Модифицируйте программу ТФР!Е так, чтобы отразить реализацию граничных условий Неймана в соответствии с данными, приведенными в табл.
8.3. С помощью методов, указанных в табл. 8.3, получите решения для случаев з = зг — — 05 и 1.5. 8.11. Моднфицнруйте программу, составленную при решении задачи 8.3, так, чтобы получить решение с граничными условиями Неймана, сравнимое со случаем, рассмотренным в табл. 8.3, но при з, = з„= 0.5. 8.12. Моднфнцнруйте программу, составленную при решении задачи 8.5 для схемы НПН, так, чтобы получить решение для контрольного случая, на основе которого составлена табл 8.3.
Сравните точность этого решения с точностью, приведенной в табл. 8.3. Метод дробных шагов (6 8.5) 8.13. Модифицируйте программу, составленную при решении задачи 8.5, так, чтобы применить ее к схеме (8.73), (8.74), и проверьте работу программы для данных, по которым составлена табл. 8.2. 8.14. Модифицируйте программу, составленную при решении задачи 8.12, так, чтобы получить решение с условием Дирихле на границе х = 1, используя соотношение (8.77), и сравнить точность этого решения с точностью метода дробных шагов.
Глава 9 Линейные задачи с преобладающим влиянием конвекции Для большинства задач обтекания движение жидкости является важным фактором, определяющим общий характер потока. В уравнениях гидродинамики (гл. 11) движение жидкости характеризуется составляющими скорости и, и, ш по направлению декартовых координат х, у, г. В одномерном уравнении импульсов по направлению оси х х ди диХ др дзи р~ — +и — )+ — =ив ~дГ дх) дх дхз (9.1) составляющая скорости и входит в инерционный член (ди/д(+ иди/дх), а также в член, характеризующий вязкую диффузию 1хд'и/дх'.
Другими искомыми величинами являются плотность р, давление р и вязкость 1х. Ранее при рассмотрении уравнения диффузии мы изучали поведение таких членов, как д'и/дх'. Теперь мы рассмотрим конвективные члены типа иди/дх и обсудим, как с ними лучше всего обращаться с вычислительной точки зрения. Конвективный член обладает двумя не зависящими друг от друга особенностями, которые необходимо принять во внимание.
Во-первых, этот член содержит первые производные по пространственной переменной. При использовании для аппроксимации члена ди/дх симметричной трехточечной формулы в решении возникают колебания нефизического характера, если вязкий член оказывается малым в сравнении с конвективным. Такое поведение связывают с воздействиями дисперсионного типа ($ 9.2), проявляющимися через ошибку аппроксимации. В применении к установившемуся течению мы исследуем это явление в $9.3. Если при моделировании ди/дх используется несимметрич.
ная алгебраическая формула, то, несмотря на нередко достигаемое улучшение гладкости получаемого решения, точность аппроксимации ди/дх обычно оказывается на один порядок ниже по сравнению с соответствующим представлением с помощью симметричной алгебраической формулы, охватывающей то же самое число узловых точек. При использовании 358 Гл. 9. Линейные задачи е преоолаяавзшнм влиянием конвекцнн несимметричных формул низкого порядка в ошибку аппроксимации могут быть привнесены такие слагаемые, которые по своей величине будут сравнимы с величиной важных физических членов, учитываемых здесь.
Этот аспект решения будет принят во внимание в $9.2 при рассмотрении уравнения, описывающего чисто конвективный процесс, в $ 9.3 для уравнения стационарной конвекции — диффузии, а в $ 9.4 для уравнения переноса. Уравнение переноса получается из уравнения (9.1) путем линеаризации конвективного члена (т.
е. путем замены иди/дх на еди/дх), пренебрежения членом с градиентом давления др/дх и предположения о том, что величины е и р известны. Второй важной особенностью конвектнвного члена является его нелинейность по отношению к искомой переменной. В случае сверхзвукового невязкого потока (п. 11.6.1) нелинейный характер конвективиых членов приводит к тому, что становится возможным появление ударных волн. Этот нелинейный характер конвективных членов мы будем обсуждать главным образом в связи с уравнением Бюргерса в гл. 1О.
5 9.1. Одномерное линейное уравнение конвекции Для исследования задач, связанных с конвекцией, рассмотрим следующее линейное уравнение: дТ дТ вЂ” +и — =О, дТ дх (9.2) где и — известная скорость, а Т вЂ” пассивная скалярная величина, например температура. Уравнение (9.2) гиперболическое Его можно интерпретировать как некую модель для конвективной части уравнения энергии (!!.44).
Если величина и постоянна и положительна, то общее решение уравнения (9.2) можно записать в виде Т(х, !)= Р(х — и!), (9.3) где начальное условие задается выражением Т(х, 0)=Р(х), (9.4) причем функция г" (х) известна. Если эта функция определена во всем диапазоне изменения х, — оо < х ( оо, то решение в некоторой заданной точке (х„ (1) плоскости (х, !) совпадает с решением для точки с координатой х, — и1, в момент времени ! = О, т. е.
Т(хо 1,) = !о(х, — и1,)=Т(х, — и!о 0). $9.1, Одномерное линейное уравнение конвекинн 359 Это показано графически на рис. 9.1. Решение Т оказывается постоянным вдоль таких линий, как линия АВ, служащая ха- рактеристикой для этого уравнения (рис. 2.5). 9.1.1. Схема с разностями вперед по времени и центральными по пространству (ВВЦП) Простейший алгоритм для решения уравнения диффузии связан с использованием схемы ВВЦП согласно уравнению !(7.5).
Соответствующее представление уравнения (9.2) с ис- А(хч- ит1,0) ж Рис. 9.1. Зависимость решения от начальных данных. пользованием разностей вперед по времени и центральных по пространству будет иметь вид Тн.~-! Гя Гтя тн 1 + ' '+ ' ' О. (9.5 а! 2 ах .) аппроксимирующего уравнение (9.2) с ошибкей порядка 0(М, Лха).
Величина С, входящая в формулу (9.6), называется числом Куранта и определяется выражением о! С=и —. Ьх (9.7) Если применить к алгоритму (9.6) анализ устойчивости по Нейману, то для гп-й компоненты начального распределения ошибки получится коэффициент усиления в виде 0=1 — еСз!пО. (9.8) Ясно, что (6() 1 при любых О, так что алгоритм (9.6) является безусловно неустойчивым. Можно вспомнить, что Разностное уравнение (9.5) может быть представлено в форме алгоритма Т!" =Т," — 0.5С(Т",+! — Т! !), (9.6) 360 Гл. 9.
Линейные аадачи с преобладаюшим влиянием конвекцин Таблица 9Л. Алгебраические схемы (дискретизация) Ошггбпа аппронснмамнн Е* /главные члены) Алгебранчесна» форме Схема дтпе/ +иС Т/ =0 ввцп ° е Вверх по потоку . ! «Чехарда» Аха даТ "( — ) '-"— + иСхТ~~ О Лакса— Вендроффа — О.биС ЬхСххТ"; "~'б ) ('+0~') дха Кранка— Николсона ! !. аг/" /г; — г',/ А/ Ах Тп+/ — Тп / / 2 А/ АТп '' + и/и Т/и— А/ АТпе/ — + иСхХ / А/ ( Т," + Т,"+' ) г' Ьх а, даТ вЂ” и/х — ) (1 — С) — + 2 ) дха г Аха ъ д'Т +и( — ) () — ЗС+2С» —, г Аха х д'Т и ~ — ) (1 — Са) — + ) ' дха г Аха х д'Т + ис (х — ) () — С')— ! В) дх й 9.1. Одномерное линейное уравнение конвекции 361 дли уравнений конвекции дТ)д! + и дТ)(дх = 0 замечания 1 — тС япй С<1 С< <! 1 — (С яп  — 2С яп з з С<1 Нет КоэфФициент затухания С (а=энп ак) 1 — С (1 — соз 8) — !С вЂ” а!п  — !С а!п В я (1 — Сз з)пз В)И (1 — 0.5!С яп 8)/(1 + 0.582 яп 8) Условие устоачи- востн Неустой- чивая й! С и— Лх йун+! 1нн! 1 ! 1 2 1 окк = ( йхз ' Ьхз ' Ьхз ) 362 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
