Fletcher-1-rus (1185917), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Двумерные уравнения Вюргерса 479 Таблица 10.12. Изменение и в зависимости от х при у/ушак=0.4, 1ЧХ 6 1ЧУ 6 Средне- наадраоичиан ошибка оло о во — ьео -о.ео -оло Точное решение ~ 1.0000 1.0000 ~ 0.5375 — 0.0333 ~ — 0.0250 -0.0200 ~ ~ 1.0000 ~ 1.0022 ~ 0.5221 ! — 0.0322 ~ — 0.0250 — 0.0200 ~ 0,0066 АР-Р1ЗМ о.оно ~ АР 4Р1-1 ух= 1.0 яр=а.Π— 0.0326 — 0.0256 — 0.0200 0.0054 1.0003 0.5247 АР-МО. бк = бр =026 — 0.0365 — 0.0233 — 0.0200 0,0045 1.0000 1.0004 0.5257 Таблица 10.13. Изменение о в зависимости от х при у/ушак=0.4, 1ЧХ = 6, 1ЧУ =6 Точное решение ~ 0.3249 ~ 0.3249! 0,1818 ! 0,0000 О.ОГЮО 0.0000 0.0000 ~ 0.0000 0.0018 0.3249 ! 0.3251 ~ 0.1774 ~ 0.0003 АР-РОМ ооооо ( АР-4Р11, ук = 1.О, 0.3249 0.3246 0.1781 0.0003 да =О.О -0.0002 0.0015 АР-МО, б„= = бр = 0.26 0.3249 0.3250 0.1790 — 0,0009 0.0005 0.0000 0.0012 возникает при более сильных градиентах. Однако зти решения свидетельствуют о том, что алгоритмы схем расщепления могут быть без труда распространены на нелинейные уравнения и что такие схемы, как АГ-4РО и АГ-МО, потенциально более точные, могут быть включены в программу при достаточно экономичной реализации.
480 Гл. 1О. Нелинейные задачи е преобладающим влиянием конвекпии 5 10.5. Заключение Вычислительные приемы, которые развивались применительно к уравнению диффузии в гл. 7 и 8, к уравнениям линейной конвекции и переноса — в гл. 9, были распространены здесь на семейство нелинейных уравнений — уравнений Бюргерса — для одномерного и двумерного случаев. Уравнения Бюргерса содержат ту же самую форму конвективной нелинейности, какая имеется во многих определяющих уравнениях динамики жидкости и газа. При многих комбинациях начальных и граничных условий уравнения Бюргерса допускают легко рассчитываемые точные решения.
В силу этого они представляют собой модельные уравнения, подходящие для проверки разнообразных вычислительных методов. Применительно к одномерному уравнению Бюргерса эта особенность была использована в п. 10.1.4 и 10.3.1, а применительно к двумерным уравнениям Бюргерса— в 10.3.2 и 10.4.3. Чтобы иметь возможность воспользоваться алгоритмом Томаса, необходимо подвергнуть линеаризации конвективную нелинейность. Такая необходимость выявляется как для неявных одномерных схем (п. 10.3), так и для многомерных схем расщепления (п. 10.4.2). Методика линеаризации без труда распространяется и на системы уравнений ($ 10.2). Анализ Фурье, непосредственная применимость которого к линейным уравнениям была показана в п. 9.2.1 и 9.4.3, косвенно используется и при анализе устойчивости по Нейману после замораживания нелинейносга.
Подход, связанный с применением модифицированного уравнения (п. 9.2.2), остается применимым и к линейным уравнениям. Однако произведения производных высшего порядка появляются при этом в достаточном числе и имеют достаточную величину, чтобы существенно уменьшить точность определения диссипативных и дисперсионных свойств. Оказывается обычно полезным в качестве промежуточного шага подвергнуть анализу эквивалентное линейное уравнение, так как именно это уравнение часто обнаруживает качественно эквивалентное диссипативное и дисперсионное поведение.
Построение более точных схем нередко требует использования определяющих принципов, выявленных с помощью соответствующих линейных уравнений, при условии внесения в них тех или иных эмпирических поправок. Большинство вычислительных методов, разработанных для линейных уравнений, могут быть распространены и на нелинейные уравнения. Однако, имея дело с нелинейными членами конвектнвного типа, часто оказывается более целесообразным 481 6 10.6. Задачи использовать такие сохраняемые переменные, как, например, функция г в уравнении (!0.3). В тех случаях, когда это полезно, сохраняемые переменные будут использоваться в гл.
14 — 18. Нелинейный характер определяющего уравнения делает не- экономичным применение обычного метода Галеркина с конечными элементами, особенно при решении многомерных задач и при использовании повышенного порядка интерполяции. Это затруднение преодолевается за счет представления уравнений в консервативной форме и введения приближенных решений для сохраняемых групп. Групповой вариант метода Галеркина оказывается зачастую более точным, особенно в тех случаях, когда консервативной форме представления определяющих уравнений отдается предпочтение в связи с физическими особенностями задачи. 6 10.6.
Задачи Одномерное уравнение Бюргерса ($10.! ) 10.1. Примените к уравнению (10.20) анализ с помощью модифицированного уравнения. Нелинейные коэффициенты уравнения считайте при этом замороженными и рассмотрите два случая: (!) о = О, (2) б = О. Покажите, что оптимальные значения б и о задаются соотношениями (!0.26) и (10.27) соответственно.
10.2. Модифицируйте программу В())(О так, чтобы реализовать конечноразностную дискретизацию уравнения (10.1) по схеме Краина †Николсо и сравните полученное решение с тем, которое соответствует конечно-разностной дискретизации уравнения (!0.3) по той же схеме и при условиях, соответствующих табл 10.5. Как изменятся результаты этого сравнения, если интегрирование будет продолжено до ббльшнх значений времениу 10.3. Моднфицируйте программу В())(С за счет введения в нее соотношений (!0.26) и (10.27) и сравните решения применительно к условиям, относящимся к большим числа Рейнольдса ячейки и соответствующим табл. 10.5.
10А. Программа В()кС может быть использована для получения стационарных решений уравнений (10.37) при Р = 0.5(иэ — й). Введите соответствующие изменения в общую трехслойную схему, эквивалентную схеме (8.26), и постройте решения при (!) у = О, р = 1; (2) т = О, В = 0.5; (3) т = 0.5, р = 1.0. Сравните числа итераций, требуемых для достижения стационарного состояния в условиях, соответствующих табл.
10.9, но с использованием однородной сетки. ! 0.5. Для уравнения конвекции — диффузии (10.28) составьте программу неравномерной дискретизации (10.30) — (10.32) и подтвердите результаты, приводимые в табл. !0.6 и !0.7. 10.6. Разработайте четырехточечную дискретизацию на неоднородной сетке со сдвигом вверх по потоку так, чтобы оставался один свободный параметр (эквивалентный о). Предположите, что величина г, постоинна, но не равна единице. Примените эту дискретизацию к модифицированному уравнению Бюргерса (! 0.37) с двухслойной чисто неявной маршевой схемой (!0.38).
Сравните точность полученных при этом решений с тем, которое показано в табл. 10.8 и !0.9 для различных значений свободного параметра. 31 К Флетчер, т. ! 482 Гл. 10. Нелинейные задачи с преобладающим влиянием конвскции Системы уравнений (9 10.2) 10.7. Модифицируйте программу 5НОСК (рис. 14.17) с тем, чтобы реализовать в ней явную четырехточечную схему со сдвигом вверх по потоку, введенную в п. 9 4.3.
Получите решения, соответствующие тем, которые отражены на рис. !0.9, прн искусственной диссипации, достаточной для подавления чрезмерных колебаний. Для получения устойчивых решений может оказаться необходимым использовать малое значение б! (малое число Куранта С). Сравните крутизну полученного профиля ударной волны с тем, который показан на рис. 10.9.
10.8. Обобщите конечно-разпостную схему Кранка — Николсона (1О 44) с тем, чтобы разработать такую схему с массовым оператором при варьируемом параметре б для системы уравнений (!040). Модифнцируйте программу 5НОСК (рис. !4.17! так, чтобы она работала по этой схеме, н сравните качество решения с тем, которое показано на рис. 10.9, при эмпирически подобранном значении б. Групповой метод конечных элементов (% 10.3) 10.9.
Реализуйте в программе В()ЙС расчеты по обычному методу конечных элементов с разностной формой производной по времени, соответствующей схеме Кранка — Николсона, для одномерного уравнения Бюргерса и сравните точность полученного решения с точностью, обеспечиваемой применением группового метода конечных элементов и схемы Кранка — Николсона с массовым оператором, для условий, соответствующих табл 105 10.10. Оцените связующую способность и число операций для расчета не- вязки с помощью обычного и группового вариантов метода конечных элементов в применении к двумерным уравнениям Бюргерса с использованием квадратичной интерполяции. 10.1!. Модифицируйте программу Т%В()ЙС так, чтобы получить возможность расчета по обычному методу конечных элементов в применении к уравнениям (10.57) и (10.58), и сравните точность и экономичность такого расчета с теми же параметрамн для группового метода конечных элементов в применении к уравнению (10.52), для условий, соответствующих табл.
10.12 и ! 0.13. Как изменится это сравнение при использовании более мелкой сетки? Двумерные уравмения Бюргерса (3 10.4) 10.12. Составьте программу, основанную на подпрограмме ЕХВ()Й, для построения таких точнмх решений двумерных уравнений Бюргерса, которые порождали бы более сильные внутренние градиенты, в то же ввемя создавая умеренные градиенты переменной и в окрестности линии х = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
