Fletcher-1-rus (1185917), страница 85
Текст из файла (страница 85)
10.13. С помощью программы Т%В()ЙС получите решения на сетках 6 Х 6, 11 Х! 1 и 21 Х 21 для условий, соответствующих табл. 10.12 и 10.13, при 0 < б», б„< 0.30, 0 < д„д» < 1 0 Решите вопрос об оптимальном выборе б, и бю а также д, и и» для каждого варианта сетки. 10.14. Проведите расчет по программе Т%В()ЙС длн следующего набора параметров: а~ = ае = 001101, аз = а» = О, аз = 1 О, й = 5, хо = 1.0 и ч = 0.1.
Этот набор создает умеренный граничный градиент вблизи х = = 10. Каков будет оптимальный выбор значений б„б„, а также д» 0» на сетке 11 Х 11 для данного варианта? Приложения ф А.1. Эмпирическое определение времени исполнения основных операций На рис. А.1 приведена распечатка компьютерной программы СО()МТ, дающей возможность приближенно определить времена исполнения различных типов операций.
Тип операции, соответствующей тому или иному значению параметра 1СТ, приводится в табл. А.1. Время испелие- яия 1с) яля ч-юооо ют Операция 60 74.7 81.6 1О 11 12 Для каждой операции выполняется пара связанных между собой циклов РО. Внутренний цикл повторяет заданную операцию 1000 раз. Внешний цикл осуществляет повторение внутреннего цикла М раз. Для достаточно большого М время, прошедшее от ввода параметров 1СТ и М (строка 15) до вывода тех же параметров (строка 48), может быть определено вручную.
В качестве возможной альтернативы используется подпрограмма, измеряющая время центрального процессора между строками 15 и 48. 31* Таблица А.1. Операции, учтенные в программе СОЦАРТ Пустой цикл ОО Присваивание Сложение и присваивание Вычитание и присваивание Умножение и присванвание Деление и присваивание Целочисленный оператор 1г Возведение в степень и прнсваивание Извлечение квадратного корня и присваивание Синус и присваиваиие Экспонента и присваивание Сложение массивов и присваивание 32.9 45.0 65.0 65.0 64.5 64.5 38.6 210 69.5 48о $ А.2.
Массовый н рааностный операторы Времена исполнения, приводимые в табл. А.1, относятся к супермикрокомпьютеру (Маээсогпр 5400), данные о действиях которого даны в табл. 4.4. Время исполнения для 1СТ =! вычтено из данных для случаев 1СТ = 2 и 1СТ = 7. В остальных случаях вычитается время для 1СТ = 2. Для операций с фиксированной запятой (гГХ), перечисляемых в табл. 4.4, активизируется оператор целочисленности (строка 6), а вычисление библиотечных функций (строки 38, 40 и 42) заменяется операторами СО(х)Т1Х()Е, что сделано для выполнения оператора ООТО (строка 21). й А.2.
Массовый и разиостный операторы Как указывается в п. 5.5.1 и 5.5.2, метод конечных элементов можно интерпретировать как средство почленной дискретизации, если только массовый и разностный операторы по направлениям идентифицированы в явной форме. Происхождение этих операторов в рамках метода Галеркина с конечными элементами ($5.! и 5.3) будет показано здесь с двумерным уравнением переноса (9.81) дт дт дт д'Т дат — +и — +о — — а — — а — =О. д! дк ду а дха а дуа (А.1) Приближенное решение для Т вводится по формуле Т = ~ Т;ф,(х, у), (А.2) где ч1,(х, у) — двумерные интерполяционные функции Лагранжа, эквивалентные функциям (5.60). Выражение (А.2) подставляется в уравнение (А.1); согласно формулам (5.5) и (5.10), вычисляется галеркинский интеграл от невязки с весом, и результат представляется в виде М„З М„Т+ иМа З Е,Т+ оМ„З 1„Т— — а„М„З 1.,„Т вЂ” ааМ„З Т.аа Т = О, (А.З) где символ З обозначает тензорное произведение и Т = — с1Т7М.
Символы М, и М„соответствуют массовым операторам по направлениям и определяются формулами Приложения ф ф(х)ф(я) (А.8) где функции ф(х) и ф(н) задаются формулами (5.45) и (5.46). Следовательно, вклады в интеграл (А.7) можно расщепить на компоненты по направлениям Н (х) 7=~(~~ф.)ф() <(у~4(: „' 1 те е (А.9) Как результат этого можно ввести операторы М„( = ~ ~ ф(и)ф(у) ду, Дул 1/2 е Н (к) 7.„= T1(У(к) *' <(х, к< — Дх „...' „ш —.х 1- (А.10) (А.11) где предполагается, что и)-й галеркинский узел совпадает с глобальной узловой точкой сетки (1', й), так что Ьх н,=х — х и ду „,=у„— у„п (А.12) Разностиые операторы по направлениям задаются формулами где гк и г„— коэффициенты изменения размеров сетки, -х(е) — х( у, — у Г х — х,' и у — у ! /- и и — ( так что на равномерной сетке имеем гх = г„= 1.
Можно видеть, что имеет место почленное соответствие между исходными уравнениями (А.1) и дискретизированным уравнением (А.З). Источник этого соответствия можно увидеть, если рассмотреть в (А.1) единственный член дТ(дх. Применение к уравнению (А.1) метода конечных элементов включает следующий вклад от производной дТ7дх: 1=л (» 1(е — <е*еу)ти (А7) е где знак ~, обозначает вклады от элементов, примыкающих к узлу т. Интерполяционные функции Лагранжа 1) можно представить в форме произведений одномерных интерполяционных функций 6 А.2. Массовый н рааностный операторы 487 Там, где в определяющем уравнении (А.1) появляется вторая производная, применение интегрирования по частям приводит к следующему определению оператора !.„„ во внутренней точке: Е„„,= — ~~ ~ ( ) ( „~ )с(х.
(А.14) Определения, сравнимые с теми, которые даны в формулах (А.10), (А.11) и (А.14)„могут быть получены и для М„Еа н Е„, соответственно. На практике интегралы в формулах (А.10) и т. д. вычисляются путем введения координат (й, т1), связанных с элементом, как это было с формулами (5.58) — (5.60). Для линейных элементов ~!„">=0.5(1+66 ) при 6 =-!-1 и — 1($(1.
(А.15) Формулы (А.!О), (А.!1) и (А.14) применимы для интерполяции Лагранжа любого порядка. В случае квадратичной интерполяции операторы, выражаемые по формулам (А.4) и (А.5), имеют по пять компонент, связанных с угловыми узлами, и по три компоненты, связанные с узлами в серединах сторон. Как очевидно из формул (А.5), форма операторов Ь„и 1., аналогична тому, что имеет место при конечно-разностной дискретизации. В отличие от этого массовые операторы (А.4) ведут свое происхождение от интегральной природы метода Галеркина.
На этом основании при решении трехмерной задачи производная дТ/дх дискретизируется в виде дТ(дх — Ма Э М, Э 1.„Т. (А. 16) Для элементов в форме кирпичиков с использованием три.чииейной интерполяции вышесказанное позволяет заключить, что оператор М„Э М, Э Е„будет самое большее 27-точечным оператором. При применении равномерной сетки существует связь между ролью массовых операторов и разностными формулами Паде. Вычисление дТ7дх по разностным формулам Паде с точностью четвертого порядка осуществляется посредством решения Таким образом, член дТ/дх в уравнении (А.1) дискретизируется в форме М„Э Е„Т. На глобальной сетке это приобретает вид М Т.
Т= '")( "'"' 4-ь"'~~+ а ( ("" '-"~+ 6 ( 2ах 1 3 ( 2ах Э + !+!,а-! у-!,а-! ~ 1 гт — Т. (А.13) 6 2 ах Приложения 488 трехдиагональной системы или (А.18) Можно отметить, что здесь массовый оператор относится к тому же направлению, по которому берется производная. В отличие от этого при использовании метода Галеркина с конечными элементами получается дТ/дх — Ми Э Т.,Т (А.19) и появляется явная формула, имеющая связь с поперечным направлением. Однако при использовании равномерной сетки выражение (А.19) также соответствует дискретизации четвертого порядка точности. Чтобы добиться четвертого порядка точности при дискретизации деТ/дх', используя формулы, эквивалентные (А.18) или (А.19), необходимо обобщить представление массового оператора, как это было сделано в (8.44), на оператор М = (6, 1 — 26, 6). Выбор 6 = 1(12 обеспечивает четвертый порядок точности (табл.
8.2). Литература Глава 1 Агйп8ег В С (1986). СогпрйаИоп оп 5ирегвопгс Р!онг 1пс(ийп8 Ееаи!пбЕг(бе 1гог!ех Р)оягв ив!п6 Магс№п8 Еи!ег ТесЬпщиев. — 1и: Ргос 1п!. Бушр. Сошр. Р)иЫ Оупаиисв, ей Ьу К. ОвЫша (!арап СошрйаИопа) Р1иЫ Оупаппсв Бос!е1у, ТоКуо). !Го1. 2, р. 1 — 12. Вайеу Р. й. (1986). Очегч!еяг о! НАБА'в Нишег!са1 Аегодупаш(с Б!ши!а(!оп Рго8гагп. — !и: Ргос. !п1.
Бугпр. Сошр. НиЫ Оупагпгсв, ей Ьу К. ОвЫгпа (!арап Сошри1аИопа! Р!иЫ Оупаписв Бос!е1у, То1суо). !го). 1, р. 21 — 32. Ва)гег А. 3. (1983). Р)пИе Е(егпеп1 Согпри!аИопа! НиЫ МесЬап!св.— (МсСгаягН(И, Неге УогК). ВооК О. 1.. (ей) (!981). Р!пИе-О!Пегепсе ТесЬпщиев (ог Ъес1ог!вег( НиЫ Оупаш!св Са1си1аИопв. — Брг!п8ег Бег. Соври(. РЬув. (Брг!пяег, Ыечч УогК ВегИп, НеЫе!Ьегй). Воиг)ге ЪЧ., МсАчеиеу В., Риг! К., ТЬигйгт8 й. (1977).
Мерпобв Согпри1 РЬув, 17, р. 267 — 325. СЬаргпап О. й., МагК Н., Р!гйе М. Вг. (1975). Айгопай. Аегопай., р. 22 — 35. [Имеется перевод: Ракетная техн. и косм., 1980, № 2, с. 3 — 32.] СЬаргпап О. й. (1979). А!АА й, 17, р. 1293 — 1313. СЬаргпап О. й. (1981).
1и: 7ГЬ 1п(. Соп(, Ншпег. МеИЬодв Ы Р1нЫ Оуиаписв, ей Ьу )Ч. С. йеупоЫв, й. тКг. МасСоппасК, Еес1иге Но1ев !и РЬув!св,туо). 141 (Брг!п8ег, Вегйи, НеЫе!Ьег8), р. 1 — 11. Сийеп М. !. Р. (1983), 3. Согпри(. РЬув., 50, р. 1 — 37. РегпЬасЬ 5. (!986). Рег1оггпапсе Ехрес1а(!опв 1ог Рйиге Катке-Бса(е Бс!еп1И!с Согпри1егв. — 1и: Ргос. 1п1. Бугпр. Сошр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
