Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Первая точка верхней границы (1, 7) берется на входной границе. В случае пересечения границы В 3 ударной волной или менее сильной волной сжатия в точке (ь,/) могут пересечься две характеристики одного семейства; тогда можно предпочесть методы выделения скачков, однако и более простая процедура, описанная выше, обеспечивает однозначное задание граничного условия. Эту процедуру применяли Аллен [!968], Аллен и Чен [1970], Роуч и Мюллер [1968], а также Гудрич [1969].
В сочетании с тремя различными конечно-разностными схемами во внутренних точках она давала устойчивые н реалистические результаты. Существенно, однако, чтобы граница В 3 не лежала внутри пограничного слоя, иначе можно получить абсурдные результаты. При расчете обтекания затупленного тела Лапидус [1967] применил линейные экстраполяции вдоль диагоналей сетки, по- ложив 420 о.8, Критерии схооимости и иаиальиые условия с успехом использовали на этой границе свои условия па выходе (см, предыдущий раздел). Эрдош и Заккаи [1969[ также применяли на верхней границе свои условия для выходной границы, предполагая, что па пей нет скачков.
5.8. Нритерии сходимости и начальные условия Многие из замечаний разд. 3.4 и в особенности то обстоятельство, что не существует объективных удовлетворительных критериев ни итерационной, ни аппроксимациопной сходимостн, относятся и к течениям сжимаемой жидкости. Вопрос об итерационной сходпмости (об установлении решения по времени) в случае течения сжимаемой жидкости дополнительно усложняется наличием большего числа искомых функций (например, давление устанавливается медленнее, чем плотность) и появлением нового характерного времени — времени прохождения волны давления через расчетную область.
Росс и Чен [1970[ отметили, что в сверхзвуковых течениях вязкого газа можно ожидать очень долгого затухания нестационарных процессов, а это делает суждение об установлении еще более затруднительным. В этой связи можно было бы рекомендовать сравнение окончательных стационарных решений, полученных при раз.тичных начальных условиях (хотя бы для некоторого контрольного варианта задачи).
К несчастью, представляется, что для сверхзвуковых течений задача с начальными условиями будет более критической в смысле устойчивости, чем для течений несжимаемой жидкости. В литературе приводится много примеров неустойчивости при одних начальных условиях и устойчивости прн других. Эта неустойчивость по определению обусловлена нелинейностью, однако, как отметил Моретти [1968а, !968б[, в некоторых случаях источником такой неустойчивости может являться п неправнльная постановка граничных условий.
Верно, однако, и то, что подобные неустойчивости по крайней мере усугубляются, а быть может, н полностью порождаются распространением ложных ударных волн, связанных с неправильными начальными условиями. В том случае, когда интерес представляет только стационарное решение, существуют три способа уменьшить влияние начальных условий. (1) Расчет можно начинать с малыми значениями Лс. Этот способ часто приводит к большим затратам машинного времени. (2) Расчет можно начинать с искусственно заниженным значением числа Рейнольдса, постепенно доводя его в процессе расчета до желаемого значения, (3) Расчет можно начинать по другой схеме, обладающей большим искусственным земпфнровапием. Это легко осуществимо для схем с явной 421 ду, Расчет дозвуковых и еверхввуковых течений искусственной вязкостью.
Аналогично, для схемы Рихтмайера (т. е. для двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа, см, равд. 55.6), в которой первый шаг делается по схеме Лакса, а вто! ой — по схеме «чехарда», первые несколько сот шагов можно реализовать только по схеме Лакса и лишь затем пользоваться волной двухшаговой схемой (Лапидус [1967[). При С «! схема Лакса обладает большой диффузией и поэтому даст сглаженное решение. Поскольку при проведении отладочных расчетов нелинейные неустойчивости могут разрушить решение, иа ранних стадиях следует вести решение короткими этапами, попеременно записывая результаты чередующихся этапов на две магнитные ленты. При возникновении неустойчивости можно вернуться к результатам расчета ва предыдущем этапе с меньшей величиной Лй с большиье демпфированием и т, д.
Тайлер и Цумвальт [1965), а также Тайлер и Эллис [1970[ показали, что в задаче об одномерном распространении скачка можно получить более плавные профили скачков, распространяя начальный разрыв иа две расчетные ячейки. Вместо скачка величин от значений перед ударной волной (а) до значений за ударной волной (5) в пределах одной расчетной ячейки Р, = Р„Р,+~ — — Рь (5.18! ) они определяли в промежуточной узловой точке среднее значение Рь = Р Рь+ ~ = (Ро + РьУ 2 Ртч.х = Рь (5 182) (подробности см, в указанных выше работах). Уоткипс [1970[ обнаружил особую важность совместности начальных условий в связи с использованным им преобразованием координат, По опыту автора, а также Л. Д. Тайлера (частное сообщение) обычные двухшаговые методы дают незатухающие колебания примерно в трех узловых точках около начального положения скачка. До настоящего времени ие найдено удовлетворительного объяснения этого явления и способов его устранения.
Гурди и Моррис [1968в[, Вернер [1968], а также Смит и Мак-Колл [1970) для улучшения аппроксимационной сходимогти гиперболических систем применяли методы экстраполяции. 5.9, Замечания о расчете дозвуковых и сверхзвуковых течений Часто возникает мысль о гом, что не стоит пользоваться уравнениями течения несжимаемой жидкости, а достаточно разработать лишь программу для расчета течений сжимаемой жидкости, и тогда соответствующее течение несжимаемой жидкости 59 Рос мт дозвуковых о сзерхзвукоеых течеяаа 422 можно рассчитать по этой программе, считая число М, малым, скажем положив Мо = 0.1. Поэтому, казалось бы, программа расчета течений сжимаемой жидкости обладает болыпей гибкостью.
В общем случае, однако, подобный метод будет и весьма неэффективным, и весьма неточным. Уменьшение эффективности обусловлено очевидным усложнением вида вязких членов (см. гл. 4) н усилением условия на размер шага по времени Лй Значение Л! при расче~е течения сжимаемого газа ограничено условием по числу Куранта О и!+ а) ат ах (5. 184) Выражая при помощи этого равенства коэффициент давления через отношение давлений, получаем Ср (т/2) мт (5.185) что после дифференцирования дает "(Орв) д (Р,) тМа„ (5. 185) ') Заметим, что пра М- О уравнение анергап отделяетса от ураааеаай !теразрыапостп и количества ааажеаая, Прп М, — 0.1 мы имеем а 10)и), и по условию (5,183) Л! ограничено в основном скоростью звука, что уменьшает максимально допустимые значения Л! в десять раз по сравнению со случаем применения уравнений для несжимаемой жидкости.
Более того, паразитные звуковые волны на сетке приведут к возрастанию ошибки, связанной с неразличимостью, и (что, быть может, наиболее важно) ухудшат итерационную сходимость. Черни с соавторами 119501 указал на желательность эффективного отфильтровывання этих паразитных воли и применения поэтому уравнений течения несжимаемой жидкости, Ухудшение точности проистекает из неопределенности прп М- О. Даже при поверхностном знакомстве с газовой динамикой ясно, что для сверхзвуковых течений используются отношения давлений, например отношение давлений в донной области Р, = РвуР, в то время как для течений несжимаемой жидкости используются разности давлений '), например коэффициент давления в данной области Сев = (Рв — Р,) Я , где д — скоростной напор в невозмущенном потоке, т, е.
В!О Схемы высокого ао!ги)ка ляпропсяликаа 423 При у = 1.4 и М = 0.1 получаем отношение относительных ошибок г = 0.007. Это означает, что при вычислении Р, по уравнениям течения сжимаемой жидкости с погрешностью менее 1$ получаем значение Сгв с погрешностью 100%. Для смешанных течений, т.е. для сверхзвуковых течений с областями дозвукового течения, отношения давлений еще имеют смысл п можно пользоваться уравнениями сжимаемой жидкости. Однако задачи с большим интервалом изменения числа Маха по времени очень трудны для расчета.
Примерами таких задач являются разгон тела пз состояния покоя до сверхзвуковой скорости и расчет взрыва от его начала до поздних стадий. Харлоу и Амсден [!968] разработали неявный эйлеров метод расчета движений сплошной среды (метод 1СЕ), дающий хорошие результаты от М = 0 до М » 1. Метод !СЕ основан на расчете уравнения неразрывности по неявной схеме, что придает системе уравнений эллиптический характер [см. Фромм [1963] н Руо [1967]).
В нем нет ограничения на размер шага по времени, связанно~о со скоростью звука. Дальнейшие усовершенствования метода 1СЕ н его приложения указаны в работах Харлоу и Амсдепа [1970], а также Харлоу с соавторами [1971]. 5.10. Схемы высоного порядка аппронсимации Замечания равд. 3.1.10 по поводу ограничений на схемы высокого порядка аппроксимации еще в большей мере относятся к течениям сжимаемой жидкости.
Как уже было указано в равд. 5.5.2, в сверхзвуковых течениях при больших числах Рейнольдса искомые функции нс обязательно непрерывны по пространственным переменным и в этих случаях ряды Тейлора, применяемые для оценки ошибок аппроксимации, непригодны. Берстейн и Мприн [1970, !971] разработали схему расщепления для уравнений течения невязкого газа третьего порядка точности по пространственным переменным и времени.
Схема третьего порядка точности в приложении к задаче о расчете обтекания затупленного тела с отошедшей ударной волной дала более точные значения давления, по менее точные значения плотности в точке торможения и потребовала втрое больше машинного времени, чем схема второго порядка точности. Другая схема третьего порядка точности приводится в работе Русанова [1970]. Глава 6 ДРУГИЕ РАСЧЕТНЫЕ СЕТКИ, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Выше мы познакомились с основными понятиями и методами вычислительной гидродннамики иа примере простейших задач, используя некоторые формы уравнений Навье — Стокса в декартовых координатах и предо~валяя их в виде уравнений в конечных разностях на равномерных расчетных сетках с постоянными Лх и Лу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
