Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Кеицер [1970а] определял Р .. по выражению (5.118) (в котором легко узнать равенство центробежной и центростремительной сил), представляя его односторонними конечными разностями. С учетом условия постоянства энтропии 5 (в невязком газе) вдоль линии тока, совпадающей со стенкой, оно дает возможность найти плотность р., = о(Р, х) (может быть, этот способ можно применить и к случаю падения ударной волны на стенку, когда энтропия вдоль стенки не постоянна). Кенцер дополнительно рассматривал характеристическое соотношение, как это ранее делали Моретти [1968а] и Ьастианон [1969] (см. также Кокли и Портер [1969]).
Хотя такой способ правилен, он не приспособлен к расчету течений вязкого газа, не является консервативным ') и довольно сложен в применении. Другой способ заключается в представлении односторонними разностями членов с потоком в направлении у во всех уравнениях. Например, для уравнения непрерывности будем иметь "+0(э )= Р +' +0(Л ). (5.119) ау ) ау " ду у . Если о 1. О, то, согласно формуле (5.1!9), потоковые величины в направлении у на стенке представляются копечнымп разностямн против потока. Однако при о ы ( 0 будем иметь конечную разность по потоку, что физически абсурдно и приводит к неустойчивости (см.
равд, 3.1.8). Хотя прн помощи этого способа и были получены некоторые сходящиеся решения, в общем случае его рекомендовать нельзя. Лапидус [1967] разработал конечно-разиостную формулировку граничных условий в узловых точках на стенке, дающую конечио-разностную задачу, аппроксимирующую исходную. Однако его способ не является строго консервативяым (хотя и основывается на концепции консервативности) из-за вынужденной перестройки и перекрытия границ пристеночных ячеек, что не согласуется (в обычном смысле слова) с подходом, применяемым во внутренних узловых точках. Кроме того, этот способ также довольно сложен.
') Ыи Моретти, нп Кенпер не применяли консервативных уравнений и, таким образом, совсем пс рассматоивалн пх в своих работах. 9.7 1. Стенка с условием скольекенил Вогачевский и Костофф [1971[, а также Эмери н Ашерст [197! [ в случае течения невязкого газа сформулировали дискретные граничные условия на стенке при наличии вдува, используя расчетную сетку первого типа. В общем случае для стенки со скольжением мы рекомендуем расчетную сетку второго типа. 6.7.1.
б, Стенка со скольжением в расчетной сетке второго типа ! раничные условия на стенке со скольжением проще поставить на расчетной сетке второго типа, которая изображена на рис. 5.2,6. Здесь со стенкой совмещаются не узловые точки сетки (центры ячеек), а стороны ячеек. Поэтому ближайшая к стенке узловая точка ш + ! удалена от стенки на расстояние Лу/2, Внутри стенки можно ввести фиктивную узловую точку ю. Джентри, Мартин и Дали [1966[ рассмотрели в этой расчетной сетке второго типа граничные условия на стенке со скольжением.
Единственным условием, которое здесь необходимо соблюсти, является условие равенства нулю потоков через стенку всех переносимых газодинамических функций. Это условие можно поставить, либо записав специальные уравнения, выражающие равенство этих потоков нулю для пристеночных ячеек с центром в точке ш+1, либо применив к некоторым из этих членов способ отражения, Введя фиктивную ячейку с центром в точке ар внутри стенки, положим (5.!20а) (5.1206) ом омеь Т,„=+/ вь где1=р, и, Е, или Т. Применение способа отражения в расчетных сетках первого и второго типов дает совершенно различные результаты ').
При использовании в точке ш + 1 аппроксимации второго порядка, принятой для стандартных внутренних точек, потоки всех величин 7 на стенке (го+ '/,) обращаются в нуль. Это легко показать при помощи метода контрольного обьема, примененного для уравнений с центральными разностями (см. равд. 3.1.1). Значения потоков величин на стенке (о!) лига определяются следующим образом: (сй „„='/ [(о/) +(с/)„,г)='/ ( — (и[) „+(о/),Д=0 (5.! 2!) Здесь значения 1 на стенке при ш+ '/, отвечают линейной интерполяции; однако необходимо подчеркнуть, что линейная интерполяция используется не для простоты, а потому, что '1 Моретти (1969а, 1969б) рассматривал способ отражения только для соток первого типа.
а 7.2. Стенка с пралааанаел Покажем, что точки внутри стенки являются на самом деле фиктивными. Соотношения (5. 124) (5.125) обеспечивают нулевые потоки величин 1 по нормали черезстенку при ш+ '/,. Однако если за 1 принимать одновременно и р, и рп, то возникает алгебраическое противоречие. Поэтому для получения нулевых потоков через стенку необходимо брать соотношение (5.125) для всех величин 1= р, ри, ро, Е, + Р, игнорируя алгебраические связи между ними. Следует подчеркнуть, что способ отражения должен быть модифицирован для првменения к любой искривленной стенке путем использования лиоо равенства (5.118), либо односторон.
них конечных разностей для бР/бу~ Таким образом, удобный способ отражения после небольшой модификации может давать граничные условия на стенке со скольжением на расчетной сетке второго типа. Эвристические граничные условия на молекулярном уровне для течения около стенки со скольжением на расчетной сетке второго типа разработал Батлер [!967) с использованием уравнений сплошной среды на некотором расстоянии от стенки. б.7.2. Стенка о прилипанием В постановке граничных условий на стенках с прилипанием в течениях вязкого газа к настоящему времени нет полной ясности. уравнение неразрывности здесь не изменяется по сравнению со случаем течения невязкого газа, и плотность лучше рассчитывается в расчетной сетке второго типа, однако другие переменные точнее аппроксимируются в расчетной сетке первого типа. Поэтому невольно напрашивается применение гибридной сетки, и оно, действительно, оказывается успешным.
Однако несколько более простым выходом является расчет значений р около стенки так, как если бы использовалась расчетная сетка второго типа, но найденные значения р приписываются узлам расчетной сетки первого типа. Хотя в ближайшем будущем могут появиться более эффективные способы, однако представляется, что в настоящее время последний способ является наилучшим. Для того чтобы показать преимущества предлагаемого способа, необходимо рассмотреть более илп менее подробно и другие возможности, 396 Б Г )'дпиичиые условия г)ля течений гжилаемой жидкости б.у.й.а. Стенна с прилипанием в расчетной сетке первого типа Для течения вязкого газа в расчетной сетке первого типа три из четырех необходимых граничных условий поставить легко. Составляющие скорости просто равны нулю, и =О, п„=О.
(5.126) В случае заданной температуры стенки Т„ Тв Тст. (5.127) В случае же заданного на стенке числа Нуссельта (безразмерного потока тепла) мы имеем ') )4 в+! (5. 128) Ьу или (5. 129) Т =Т +, — [ч)п Ьу. Если при рассмотрении во внутренних точках ыг+ 1 членов второго порядка, описывающих теплопроводность, надо обеспечить адиабатичность в вычислительном смысле (см. равд. 3.6.4), то следует брать формулу (5.128). Трудность заключается в формулировке граничного условия для плотности. Здесь, как и в случае иевязкого газа, уравнение неразрывности можно аппроксимировать при помощи односторонних конечных разностей.
Если величина и „1 достаточно мала и если в схеме имеется достаточное искусственное затухание, то можно получить устойчивое и сходящееся решение. Так, Скоглунд и Коул [1966) решили задачу о взаимодействии ударной волны с пограничным слоем, используя схему Русанова (равд 5.4.3) ') и односторонние конечные разности для до/дг'[„. Однако когда интенсивность скачка была достаточна для того, чтобы вызвать отрыв пограничного слоя, схема переставила работать. Этот факт подтверждается также работами Роуча и Мюллера [1970[ и Аллена и Чена [1970], посвященными расчету обтекания обратного уступа. Причину отказа схемы легко обьяснить. ') Заметим, что число Нуссельта ие содержит никакой ошибки аппроксимации и задается как парамстр задачи наподобие чисел М или не (см. равд, 3,6.4), Если иа стенке задан ненулевой поток тепла, то иеобхо. димо обратить вккмание иа правильное определение числа Нуссельта на стенке; если размерный коэффициент теплопроводиости й ие является постоян.
иым, то при расчете числа Нуссельта иа стенке надо учитывать, что пря нормировании в качестве характерной величины берется значение й а иевозму. щенном потоке. ') При применении односторонних конечных разностей аии сохраняли члены с явной искусственной диффузией. С другой стороны, при расчете течения с условием скольжения ка стенке Кесслер [19661 использовал способ отражения и полоясил юот члсп равным пулю. 399 5.7.л. Стенка с прилипанием Рассмотрим картину линий тока отрывного течения, представленную на рис. 5.3.
Прн любом сколь угодно малом Лу ясно, что ос +1 ) О. Из условий прилипания для уравнения неразрывности в точке ((,ю) имеем (5. 130а) (5.1306) Если стационарное состояние когда. нибудь будет достигнуто, то бр/61= 0, а из уравнения (5.1306) следует, что и- +1 = О. Это согласуется с граничными условиями прилипания на стенке, (1-1,ю) (й ю) (г'+1, ю) Рис. 5.3. Область отрыва в расчетной сетке первого типа. 1 — линия тока, ограничивающая область отрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
