Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 94
Текст из файла (страница 94)
(5.170) Этн два способа не эквивалентны. Опишем вкратце другие способы постановки граничных условий на выходе (здесь важно подчеркнуть, что к постановке граничных условий на выходе нельзя подходить легкомысленно). Как было установлено в равд. 3,3.9 по поводу парадокса на выходе для квазиодномерных уравнений, граничные условия иа выходе играют большую роль в случае сверхзвукового течения на входе, чем в случае дозвукового течения на входе. Вычислительные эксперименты Крокко [1965], а также проведенные автором расчеты двумерных задач показали, что именно граничные условия на выходе определяют положение скачка ').
Еше более важен следуюший факт. Рассмотрим часто повторяемое утверждение: в случае сверхзвуковых скоростей на выходе граничные условия на выходе не сушествениы. Это утверждение неверно. Как мы видели в равд. 3.3.9, если бы не было влияния этой границы, то было бы невозможно «выключить» аэродинамическую трубу со сверхзвуковым течением на входе. Более того, это утверждение неверно даже в смысле малости ошибок. Аллен 11968] обнаружил, что при расчете течения вязного газа около обратного уступа использование простого граничного условия на выходе (7,=(7,, (5.171 а) илн, что эквивалентно, (5.171б) приводит к монотонной расходимоств решения даже при полностью сверхзвуковом потоке на выходе.
Руо ]1967], наоборот, ') Для задачи об обтекании обратного уступа приемлема линейная эксграполяция (б.!70) Однако на очень грубой сетке н том случае, когда рас. стояние выходной границы от уступа было вчетверо болыие его высоты, а за уступом продолжалась прямзя стенка с условиями првлппания, решение «раз. наливалось». Хотя граница расчетной области нахолилась вне области вторичного сжатия потока, ошибка от грани шаго условия на выходе вызывала появление сильной ударной волны с осцилляциямн, распространявшейся от выходной границы п разрушавшей замкнутую застойную область.
Осцилля. ции ударной волны сохранялись, но н общем она устананливалась около угла >ступа, прн этом застойная область возвратного течения становилась откры. той с и а 0 везде до выходной границы. Такое поведение согласуется с экспериментально наблюдаемым явлением, называемым диффизорньг,ч срывом и возникающим прн повышении противодаалеиия.
Описанное выше явление дает еще одни пример весдинственности решения задач вычислнтельной газо. динамики. 5.7.6, Вьыойтгч ероннци 4!5 нашел, что для задач о дозвуковых течениях этот способ дает сходяшиеся решения, и даже утверждал, что он ведет к ускорению сходнмости по сравнению с другими способами. Итон и Цумвальт (1967], а также Кссслер [1968] обнаружили, что этот способ дает хорошие результаты в том случае, когда скачок проходит через границу. (В последних трех работах применялась схема Русанова, описанная в равд. 5.4.3.) Причиггы различных отзывов о способе постановки на выходе этих условий неизвестны. Итон и Цумвальт [1967] нашли, что в случае пересечения ударной волной выходной границы применение линейной экстраполяции (5.170) приводит к неустойчивости даже в том случае, когда первоначально поток был сверхзвуковым.
Ясно также, что в случае пересечения хвостовой волной выходной границы В 6 использование на ней линейной экстраполяции может привести к серьезным ошибкам, если ие к возникновению неустойчивости. Если отвлечься от случая выхода ударной волны на границу В 6, то способ линейной экстраполяции (5.170) оказывается, вообше говоря, приемлемым; его использовали Сондерс [1966], Лапидус [1967], Итон и Цумвальт [1967], Скоглунд и Коул [1967], Руо [1967], Аллеи [!968], Роуч и Мюллер (1968], Скоглунд и Гей (1968], Аллен и Чен (1970].
Аллен (1968] экспериментировал также с квадратичными и кубическими экстраполяциями вида )г гу-! (7-2+ ~г-ъ' ~У-1 7г-2 + ~г-в ~1-4 В своих последних расчетах (Аллен и Чен [1970]) он пользовался соотношением (5.172), но обнаружил, что разница между способамп (5.172), (5.173) и (5.170) незначительна. Аллен [1968] также менял положение выходной границы и не обнаружил значительной разницы в двух полученных решениях — одном частично дозвуковом (около границы В! на рнс. 3.22) и другом полностью сверхзвуковом на выходной границе,— разрешив таким образом вопрос о необходимости сверхзвукового потока на выходе (см.
также численные эксперименты с выходной границей Росса и Чена (1971]). Выяснилось, что условие сверхзвукового потока на выходе не является ни необходимым, ни достаточным условием для обеспечения устойчивости и точности. Руо (1967] экспериментировал с осредиснием граничных условий (5.171б) и (5.170) и с введением сдвига по времени '): (5.! 74) ') Для модельного уравнения (5.1) способ [5.174) при числе Куранта С = 1, конечно, дает точное решение. 4!6 б 7 Граничные условия для течения гясил~авлгой пчдкагти он обнаружил, что лучше использовать условие (5.17!б), как это было указано ранее.
Эрдош и Заккаи [!969[, а также Шихна с соавторами [1970) применяли квадратичную экстраполяцию, причем полиномы строились по значениям в последних пяти узлах сетки по методу наименьших квадратов. Представляется, что этот способ дает не ббльшую точность, чем менее сложные экстраполяции '). При пересечении границы ударной волной здесь также развивалась неустойчивость. В расчетах невязких течений по схеме Русанова (равд. 5.4.3) Итон и Цумвальт [1967) вернулись к схеме с разностями против потока в направлении х, причем вторые производные, входящие в члены с искусственной днффузией, на выходной границе полагались равными соответствующим производным в узлах, лежащих на расстоянии одного шага от границы: д„[п,„д ) ~ = б [п,„б ) ~ ° (5175) Производные по у в точках выходной границы вычислялись при помощи стандартных аппроксимаций, принятых во внутренних точках расчетной области.
Как и экстраполяция (5.171б), этот способ давал хорошие результаты даже в случае пересечения выходной границы ударной волной. Роуч и Мюллер [19681 рассмотрели сходный способ постановки граничных условий на выходе, аналогичный их способу для течений несжимаемой жидкости (равд. 3.3.7). Конвективные члены уравнения количества движения в направлении х аппроксимировались по схеме с разностями против потока. Диффузионные члены с пропзводными по х, члены со смешанными производнымп н составляющая градиента давления по х вычислялись в точках ! — 1; сама по себе эта процедура порождает тенденцию к дестабилизации расчета, которая подавляется за счет сдвига по времени. Как и в случае расчета течений несжимаемой жидкости, члены с производными по у могут вычисляться на входной границе при помощи стандартных аппроксимаций, принятых во внутренних узлах.
1-1апример, уравнение количества движения в направлении х (4.426) может иметь следующий конечно-разностный аналог: ') Как отметил '!сп [!970), любые зкстраполяпии основаны на значе. пнях, полученных в результате расчета, а пе на точных значениях и, сяе. Новательно, их точность ограничена. Б 7 7 Верхняя гранииа где б/бх п б/бу означают центральные конечные разности, а Л(рпо)/Лу — вклад в д(ри)/д1 от потока в направлении у, вы шслепный по схеме, принятой во внутренних узлах расчетной области (этот способ может применяться только в сочетании со схемой с разностямн против потока во внутренних точках).
В цитированной выше работе во избежание усложнения программирования все вязкие члены, вкл!очая б(я(ба/бу))/бу, вычисля- лись прп 7 — 1 и и — 1. Представляется, что этот способ должен давать хорошую точность, однако численные эксперименты Аллена !1968) продемонстрировали незначительную разницу между различными способами экстраполяпии, обеспечивающими устойчивость.
В соответствии с этим для расчета течений сжимаемой жидкости при больших числах Рейпольдса можно рекомендовать более простой способ (5.170) при условии, что выходную границу В 6 не пересекает сильная ударная волна. Прн больших значениях составляющей скорости о на выходной границе точность расче~а можно было улучшить, применяя в сверхзвуковой области приближение простой волны (см. следующий раздел), однако до настоящего времени такие расчеты ие проводились. 5,7.7. Верхняя граница Как н в случае течепия несжимаемой жидкости, верхнюю границу (В 3 на рис. 3,22) можно трактовать как простую стенку с прилипанием плн (еше лучше) как стенку аэродинамической грубы без трения. Однако в этих случаях можно ожидать нежелательного влияния отраженных от границы волн (см., например, Унлкипс !19691), Гораздо лучшим способом является воссоздание условий «свободного полета», что возможно в случае сверхзвуковых течений.
Этот способ не запрещает втекание через верхшою границу и является физически осмысленным. Предположим, что течение около верхней границы представляет собой простую волну. Предположим далее, что рассматриваются характеристики одного семейства и что на расстояниях Лу их можно принимать за прямые линии.
С Физической точки зрения мы рассматриваем поток через верхнюю границу как не- вязкое стационарное гомоэнтропическое течение, сформировавшееся прп расширении первоначально однородного потока около искривленной поверхности, т. е. течение Прандтля — Майера (см., например, Овчарек 1!964]). Соответствующая геометрия показана па рис. 5.7. Точка р и узловая точка верхней границы (й 7) лежат на одной и той же характеристике, или линии Маха. Эта линия определяется углом 418 5.7. Граничные условия длл течений слсимавмтд жидкости вперссвсвки Рис.
5.7. Постановка условия на верхней границе при помощи приближения простой волны. а — приближение простой волны для течения вблиан верхней границы; (иг 1„, 1„= й... + фбх) Вас-1 — й-се,); б — действнтелы нос течение типа простой волны. ()ам+ 0), с направлением оси х, причем рм = агс з|п(1/М)— угол Маха ') и 0 =агс10(о/и) — угол наклона вектора скорости к оси х. Величины углов рм н 0 в точке р, а также значения всех других параметров течения в этой точке )р — — р„ис, ос, Т, вычисляются линейной интерполяцией по их значениям в узлах (1 — 1,1 — 1) и (й 7 — 1). В простой волне параметры течения постоянны вдоль характеристики.
Поэтому, если положение точки р определено, то условие на верхней границе запишется в виде )с, 1 = )а + — (1, — 1 ), где ) = р и о Т. (5.177) Положение точки р можно определить следуюшнм образом В узле Ь вЂ” (с — 1, У вЂ” 1) вычисляется величина со=1д()тат+ О). ') Очевидно, что рм не существует при а4 ч.!. Д7.7. Верхняя граница 4!9 Если ььь ) Ауггбх, то точка р находится между точками Ь и с, как это показано на рис. 5.7. В точках Ь и с вычисляется вели- чина га' = !п[п/2 — (!ьм + 6)], а затем расстояние 1 находится из соотношения дх/Лд — мь (гьс ььь)/~» + 1/~у (5. 178а) Если гьь < Ау/Ах, то точка р лежит выше точки (1 — 1, У вЂ” 1) и отстоит от нее на расстояние 1, причем др/ах — мь (м — мь)/ар+ !/ах ' (5.
1786) /ьг= /ь-ьг-~ /г-яг-г (5, 179) что равнозначно приближению простой волны в случае совпадения характеристик с диагоналями расчетной сетки. На ранних стадиях вычислений метод (5.179) приводил к неустойчивости и был заменен следующим: /,,=/. ь., +г(/. ь., — /...,). (5.!80) Для обеспечения устойчивости Лапидус в течение первых 500 шагов по времени медленно менял г от г = 0.5 до г = 1 (что дает формулу (5.179)). Итон и Пумвальт [1967] обнаружили, что квадратичная экстраполяция типа (5.172) приводит к неустойчивости при пересечении границы В 3 ударной волной ц Здесь величина гаа вычисляется в предыдущей точке верхней границы, причем процесс построения граничного условия осуществляется последовательными шагами слева направо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
