Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Сходимость итеративного процесса решения эллиптических уравиепий с градиеитиымп грапичпыми условиями иа искривленной поверхности рассматривалась в работе Метина (1968). Всем, кто применяет этот подход, можно рекомеидовзть озпакомиться с приведенным в работе Чела с соавторами 11969) подробным описанием проблем, возпикающих при использовании прямоугольных сеток в расчетных областях с границами в виде искривленных свободных поверхностей. Другим методом описаиия иерегуляриых границ является метод локальной привязки к данной гравице криволипейиой четырехугольиой сетки. Заманчив метод, в котором используется автоматическое построение сеток посредством разбиения области эквппотеициальиыми линиями (Уиисло 119631, Сакетт и Хили 11969) ), причем положение узлов сетки находится из решения эллиптического уравиеиия иа равпомериой сетке.
Годунов и Прокопов (1968) рассмотрели локальные криволииейиые иеортогоиальиые сетки для решения обобщенного уравнения Лапласа (с перемеипыми коэффициентами). Как и в случае методов для получения высокой локальной разрешающей способности, наиболее предпочтительным методом рассмотреипя иепрямоугольиых грапиц является метод выб>ора иепрямоугольпой системы координат (или преобразования 430 ба Специальные расчетные сетки Рис. 6,3а.
Структура гибридной расчетной сетки, иснользонанной и работах Тоиаиа и Шеачика 1!966, !969]. координат), координатные линии которой совпадают с границами. Прн стыковке с границами нерегулярной формы весьма удобен треугольный элемент расчетной сетки. На треугольной сетке удобно аппроксимировать эллиптическое уравнение Пуассона, что и делается в методе конечных элементов при расчете строительных конструкций. Уинсло 119661 проводил решение квазилинейного уравнения Пуассона на неоднородной треугольной сетке. Уильямсон 11969) рассматривал решения двух- и че- 6.1. Специальные расчетные сетки Ос/лаентз глеченнл с/не еранааы Рпс.
ОЛб. Двойственное определение ячеек гибридной расчетной сетки, исвользоваяной в работах Томана и Шовчика [1966, 1969], вблиаи линии раздела. Точки означают центры ячеек полярной сетки, кружки — центры ячеек прямоугольной сетки, кружки с точками внутри — общие центры ячеек по- лярной и прямоугольной сеток. Типы ячеек; тип А — ячейки (Š— 1, /), (1 — !,Е + !), (Е, / + 1); тип В— ячейки (Ег — 2, ЕО), (сг — 2, ЕΠ— 1), (Ег — 1, сО), (сг — 1, сΠ— 1); тип С вЂ” ячейки (с, /), (Е+ 1, /+ 1); тип Е) — ячейки (сг, ЕО), (Ег, сΠ— 1); тип Š— ячейка ( +1, Е). 432 б.2. Преобразовании ноординат тырехмерных аналогов уравнений переноса вихря в невязкой жидкости на произвольных треугольных сетках.
Он разработал ряд схем, сохраняюших массу, количество движения и энергию. Биззел с соавторами [1970] решал задачи потенциальных течений со свободными поверхностями на нерегулярных треугольных сетках. Садурни и Морел [1969] рассматривали применение гексагональных сегок для сферической поверхности (для поверхности Земли) и разработали метод, сохраняюший массу, общее количество движения, суммарную кинетическую энергию и квадрат вихря для уравнения в недивергентной форме. Задачи с использованием квазиоднородных сеток на сферических поверхностях (напрнмер, с элементами сетки в виде сферических треугольников) рассматривали Садурни с соавторами [1968] и Уильямсон [1968, !971].
При исследовании конвекцин Брайен [!966] применял нерегулярные, в частности полиэдральные,сетки и предложил метод, сохраняющий кинетическую энерпно. Для представления вязких членов конечными разностями на какой-либо из этих расчетных сеток до снх пор не сушествует удовлетворительных схем. Боули и Принс ]1971] обобшнлн двухшаговую схему Лакса — Вендроффа на девятиточечные формулы, включающие вязкие члены, на трапецнедальной сетке, однако в пх работе не приводится никаких подробностей. Наконец, следует особо отметить гибридную расчетную сетку, использовавшуюся в работах Томана и Шевчнка [1966, 1969] и изображенную на рис.
6.3а и 6.36. Требуемое разрешение вблизи круговой поверхности достигнуто за счет изменения шага сетки в радиальном направлении. Шаг в прямоугольной сетке выбирается таким образом, чтобы в местах стыковки двух сеток центры ячеек полярной и прямоугольной сеток совпадали. (Простая стыковка прямоугольной и полярной систем координат применялась в работе Херда н Петерса [1970] для решения более простой задачи о течении жидкости в закругленном колене между двумя прямолинейными каналами).
6.2. Преобразования координат Преобразование координат може~ проводиться как для совмещения координатных линий с физическими границами, так и для увеличения разрешения в отдельных областях течения, С первой из этих целей преобразование координат используется, например, прн описании плоского обтекания цилиндра в полярных координатах (г,О) вместо прямоугольных. Такой гнп преобразований координат будет описан в раза. 6.3, Вторая цель преобразования координат (для увеличения разрешения в отдельных областях) иногда достигается вместе с первой, как, например, в случае плоских эллиптических коорди- б.2, Преобразование коордонат 433 (6.9а) (6.
9б) х=Х, у = Ь (еат — 1) где а и Ь вЂ” произвольные постоянные, служащие для выбора величины растяжения соответственно областям течения. Запи- шем уравнения (неконсервативные) для вихря и функции тока в старых координатах (х, у): дй дг дй ! — = — и — — о — + — у'т., д! дх ду Ке ЧеЧт = ь, д' д' !.~т + дх' ду' (6. ! 0) (6.1 1) (6.12) где и= —, 0= — —. дЧ~ дЧ> ду' дх' (6.18) После преобразования (6.9) эти уравнения принимают следую- щий вид: дтй е-аг т' д$ дС дФ дЬ 1 1 Š— — ( — — — — — ] + — у ь, (6.14) д] ау (. д!' дХ дХ д!',] Яе ч'ф=1, (6.16) где (6.16) Такое экспоненциальное растяжение впервые применил, повидимому, Иенсеп [1969] при изучеш!н обтекания сферы несжнмаемой жидкостью.
Сон и Ханраттн [1969], Гамнлец с соавторами [!967а, 19676] и Рнмон н Чен [1969] использовали его для задач об обтекания сферы несжимаемой жидкостью, Сон и Ханратти [1969] н Гамплеп н Рааль [!969] — для задач об обтекании цилиндров несжимаемой жидкостью, Скоглунд с соавторами [!967] и Скоглунд и Гей [1968] — для задачи о взаимодействии ударной волны с пограничным слоем на плоской пластинке и, нат в задаче об обтекании плоской пластины (Бао и Догерти [1969]). Чаще, однако, увеличения разрешения можно добиться при помощи какого-либо растяжения координат.
Как уже было указано выше (см. также Тейлор [1969], Блоттнер и Роуч [1971] ), такие преобразования координат в общем случае дают более точные результаты, чем дробление шага сетки. Одним из наиболее распространенных преобразований такого рода является экспоненциальное растяжение. Бао и Догерти [1969] преобразовывали декартовы координаты (х, у) в координаты (Х, У) при помощи соотношений 434 5.2.
Преобразования координат наконец, Бао и Догерти [1969] — для задачи об обтекании пло ской пластинки несжимаемой жидкостью. Цель подобных преобразований растяжения та же, что и прн деформацнц расчетных сеток, которая обсуждалась выше в равд. 6.1, — добиться увеличения разрешения в определенной области. Заметим, однако, что эти два подхода по существу различны '). Когда непреобразованные уравнения представляются уравнениями в конечных разностях на растянутой расчетной сетке, то, как мы видели выше, в результате получается ухудшение формальной точности; напротив, преобразованные уравнения могут быть представленьг уравнениями в конечных разностях па равномерной расчетной сетке (например, с постояннымн ЛХ, ЛУ) без ухудшения порядка формальной точности с той лишь разницей, что порядок ошибки будет равен 0(ЛУЯ), а не 0(Луз). Следовательно, в этом случае предпочтительнее преобразование координат. 0 потсншгальпых возможностяхпреобразования координат свидетельствует тот факт, что при помощи соответствующего параболического преобразования координат можно получить точное решение для течения Пуазейля на расчетной сетке, содержащей всего одну внутреннюю точку (Блоттнер и Роуч [197!]), Наверное, наиболее удачным н важным конечным преобразованием координат является преобразование, примененное Моретти (Моретти и Аббетт [!966б]; Моретти и Блейх [1967, 1966])') для двумерных и трехмерных задач расчета отошедшей ударной волны перед затупленным телом в потоке невязкого газа, а также Моретти и Саласом [1969, 1970] для течений вязкого газа ') (см.
также Моретти [1969а, 19696]). Произвольная точка, находящаяся между поверхностью тела п ударной волной (рис. 6.4), имеет координаты (г, 0) в полярной системе координат с полюсом, лежащим внутри тела. Расчет течения ведется до некоторого луча 6 ... выбираемого таким образом, чтобы на этом луче поток был сверхзвуковым. Затем область, ') К сожалению, многие авторы употребляют термин «рвстянутвя расчетная сетка» (что справедливо лишь в том смысле, что коордпнзты узлов после преобразования рассматриваются в растянутой шкале) в тех случвях, когда фактически производится преобрвзоввние уравнений. ') Такое преобразование координат в зздвче о расчете сверхзвукового обтекания тела с отошедшей ударной волной задолго ко Моретти ввел О. М Белоцерковский; см.
Белоцерковский О. М. Обтекание кругового ци. линдрз с отошедшей ударной волной. — ДАН СССР, 1957, т. 113, 14 3, с, 509— 512. В дальнейшем это преобразование пеолнокрзтно использовалось многими авторами. — Прим. ред. з) В более рзиней работе! Годунов с соавторами [1959) подобным же образом исследовали ударную волну квк разрыв непрерывности. Их метод тесно примыккет к хорошо разработанному методу, известному квк метод Годунова (см. рззд, 5.5.8) и по существу скорее является методом изменения сетки, нежели преобразованием координат.
б 2 Преобразования координггг ограниченная ударной волной, осью симметрии, поверхностью тела и линией О = Ошах, преобразуется в прямоугольник в плоскости (Х, У) при помощи соотношений г — гь (Е) Х=„„, „„, Х (01) У=-и — О, У~(п — О„„„,п], (6.17а) (6.17б) где гз(0) и га(0) -- значения координаты г поверхности тела и ударной волны соответственно. Преобразованные уравнения записываются в конечных разностях на сетке с постоянными шагами ЛХ и ЛУ прн помощи метода Моретти (равд. 5.5.8), который обычно считается методом тина Лакса — Вендроффа Рис.
бм, Преобразование Моретти для расчста двумерного течения около затупленного тела с отошедшей ударной волной. 1 — ударная волна, 2 — по. верхность обтекаемого тела. (равд. 5.5.5), хотя на самом деле члены типа да1/дк д1 получаются в нем путем дифференцирования по пространственной переменной первоначальных уравнений, как в методе Лейта (равд. 3.1.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
