Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Тейлор также рассматривал задачу о стыковке двух систем координат. Кенцер [1970а, 1970б] рассчитывал трансзвуковое обтекание цилиндра, мг1ювепно номец1енного в равномерный поток невязкого газа. При этом формировалась и распространялась яаружу ударная волна. Эта вотна в дальнейшем рассматривалась как поверхность разрыва, а область между ней и телом отображатась на прямоугольную при помощи зависящего от времени незртогонального преобразования к криволинейным координатам. В пределе при 1- ао этот метод приближается к методу ото5ражения бесконечной области на конечную, однако Кенцер Тейлор [1969] рассматривал задачи для х ен [О, ао], применяя регулярную прямоугольную сетку для хе= [О, 1].
Для х ) ! область [1, ао] отображалась на конечную область одним из следующих преобразований; 6.2. Преобразоаанггя координат отмечает, что более простое отображение бесконечной области на конечную, не зависящее от времени, здесь непригодно, поскольку возмущение (ударная волна) достигает бесконечности за конечное число шагов по времени, Фиксированная конечная сетка также непригодна для этой задачи, поскольку скачок отражался бы от границы сетки. Преимущество метода Кенцера состоит в том, что при его применении задача оказывается математическц корректно поставленной н при постановке граничных условий на удаленных границах не требуется каких-либо ухищрений.
В дополнение к замечапиям по поводу преобразований растяжения, приведенным выше, отметим следующие положения, существенныс для отображений бесконечных областей на конечные. (1) Аналитические условия «на бесконечности» в качестве граничных условий на выходе потока пе всегда оказываются предпочтительными, как это было отмечено в разд. 3.3.7 — 3.3.11 и 5.7.6. (Рассмотрим, например, расчет развития пограничного слоя на плоской пластинке; если преобразуется только координата х, то правильным условием па бесконечности вниз по потоку будет и = о = 0 для любого конечного расстояния у.) (2) Интуитивно представляется, что полученпые при преобразовании условия на бесконечности менее точны, чем наилучшие из условий, приведенных в разд. 3.3.7, в тех случаях, когда течение на выходе является периодическим, типа вихревой дорожки в следе за телом. (Например, что произойдет в том случае, когда Лх оказывается больше расстояпия между вихрямн в вихревой дорожкер) (3) Отвлекаясь от вопроса об относительной точности аналитических и приближенньгх численных граничных условий, легко показать, что преобразования растяжения могут уменьшить точность результатов при расчетах во внутренних точках периодических течений, как это показывает следующее упражнение.
Упразкнение. Рассмотрим уравнение дь)д1 =- — и(дь)дх) с постоянной величиной и, моделирующее конвекпию в невязком газе. Если применить схему с развостямн против потока, го конечно-разностное уравнение, как н уравнение в частных производных, не требует граничных условий иа выходной границе и точное решение может быть получено на ранномерной по к сетке (см. равд.
3.1.8). Показать, что преобразования вида (6.19)— — (6.22) приводят к невозможности нолучеиия точного решения для и = сопз1. В условиях этого упражнения точное решение преобразованной задачи можно получить в том случае, когда постоянна величина и/(! + х)', однако случай и = сопя( физически более реален. 442 д 2. Пргодрозооания координат Следует упомянуть некоторые другие виды преобразований. Аллен н Саусвелл [1955] рассчитывали обтекание цилиндра вязкой несжимаемой жидкостью, вводя ортогопальныс координаты, образованные иэолинпямн потенциала скорости и функции тока потенциального (аналитического) решения. Том и Апельт [!961], а также Апелы [1969] применяли конформные отображения (пли, как онп пх называли, симметроморфные фигуры) для отыскания системы криволинейных ортогональных координат прп расчете обтеканий несжимаемой жидкостью.
Аналогичные приемы приме1 ялп Бреннен [1969], а также Ли и Фын [1970]. Фройдигер с соавторами [1967] пользовался конформными отображениями при расчете течений сжимаемой жидкости. При введении преобразования Крокко для уравнений пограничного слоя (см. Шлихтинг [1968]) скорость становится независимой переменной. Креншоу [1966] рассчитывал течения со свободным сдвпговым слоем прн помощи приближенна пограничного слс>я (пренебрегая днффузией в направлешш потока); он использовал координату по нормали не к линии тока, а к импульсной координате, т.
е, рассматривал количество движения как независимую переменную. Поскольку количество движения является ограниченной функцией течения, конечно-разностная сетка выстраивается автоматически в процессе построения поля течения (см. также Креншоу. и Хаббарт [1969]). Ван де Вурен и Дейкстра [1970] рассчитывали обтекание плоской пластины несжимаемой жидкостью по уравнениям Навье — Стокса, сначала записав уравнения для ь н ~р в параболических координатах, а затем преобразовав их отображением на конечную прямоугольную область. При этом поперечная координата преобразовывалась при помощи'автомодельного решения уравнении пограничного слоя первого порядка (решение Блазиуса), а координата вдоль потока — при помощи логарифмического соотношения, что позволяло устранить особую точку па передней кромке, Армитедж [1967] пытался рассчитать трансзвуковое вихревое течение в координатах, связанных со степками сопла.
Уоткинс [1970] в своем исследовании отражений от закрытого конца ударной трубы отображал область между скачком и стенкой при помошп линейного преобразования; при этом между скач. ком и стенкой было фиксированное число расчетных ячеек. Андерсон с соавторами [1968] показал, как можно преобразовать уравнения для невязкой сжимаемой жидкости, чтобы они сохранялп консервативный (дпвергентный) впд в любой криволинейной системе координат, Томпсон п др. разработали мощный метод численного построения систем криволинейных координат, связанных с поверхностью обтекаемого тела. да Друг«с ортогоиоти си~с систсмм коордииот 443 6.3. Другие ортогональные системы координат В этом разделе содержатся сведения о применении ортогопальных систем координат, отличающихся от декартовой системы.
Для отдельных задач эти системы координат могут быть «естественными», например плоское обтекание тела параболической формы естественно рассчитывать в параболических координатах. В некоторых указаш1ых приложениях применялись дальнейшие преобразования координат (скажем, экспоненцнальное растяжение). Ниже выражение «(ф,ь)-подходи будет означать расчет течения несжимаемой жидкости при помощи уравнений для функции тока и вихря (см. гл. 2 н 3) или их модификаций. Плоские задачи прн помощи (ф, ь)-подхода рассчитывали в параболических координатах Ваи де Вурен и Дейкстра [1970], а в эллиптических координатах — Бао и Догерти [!969] и Лил [1969].
(ф, ~)-подход в цилиндрпческих координатах реализовали Кавагутп [!953), Томан и Шевчпк [1966, !969] и Ричарде [1970), (ф,ь)-подход в сферических координатах осугцествляли Йенсен [1959], Браун [1967), Римон и Чен [1969], а в цилиндрических координатах — Баракат и Кларк [1966), Майкл [1966), Торранс [1968], Шавит и Лаван [1971), Стробридж и Купер [1968), Фридман с соавторами [!968), Фридман [1970), Ли н Фын [1970].
В последних трех работах рассматривались стационарные уравнения. В различных работах уравнения записывались в различных формах. Этп формы, конечно, эквивалентны в случае уравнений в частных производных, но не обязательно остаются эквивалентными при переходе к конечным разностям. Торранс [1968] ввел модифицированный вихрь ь = ь/г = йт ус', Ч)г, и поэтому уравнения, записанные в цилиндрических координатах, не имели особой точки при г = О, Заметим, что в осесимметричном случае ~(г = 0) = О, однако ь(г = 0) ~ О. Гриффитс с соавторами [!969) использовал цилиндрические координаты для исследования задач вязкоупругостн.
Манкузо [!967] прп помощи метода чередующихся направлений (см. разд. 3.3.6) численно решил уравнение Пуассона на сферической поверхности с граничными условиями типа !!еймана. Эйзен [!967б] изучил аппроксимациониую сходимость для сферически симметричного уравнения диффузии.
Шульц [!964] рассматривал консервативный вид лагранжевых уравнений в цилиндрических координатах, причем искусственная вязкость имела тензорную форму. Фаччиоли и Анг [1968] разработали для сферически симметричного случая эйлерову схему, основанную на физиче- ~ ких законах сохранения. Итон и !Тчмвальт [1967] в цилиндрп б.З. Другие оргогокаеькые системы координат 444 ческих координатах рассчитывали взаимодействие взрывных волн. Римон [1968), а также Римов и Люгт [1969] осуществилн (Ь, ьу)-подход в сплюснутых сфероидальных координатах, в которых поверхность тела совпадает с эллипсоидом вращения, а ортогональными к нему координатными линиями являются гиперболы.
Маслях н Эпштейн [1970) применяли как сплюснутые, так и вытянутые сфероидальпые координаты. Де Сова с соавторами [!971) для расчета невязкого сжимаемого обтекания воздухозаборника двигателя ввел тороидальные координаты. Существуют н другие экзотические системы координат, применяемые в газодинамических расчетах, и мы дадим соответствующие ссылки. В книге 111елкунова [1965] приведены выражения операторов градиента, днвергенции, лапласиана и вихря в следующих системах координат: декартовой, цилиндрической, сферической, эллиптико-цилиндрической, вытянутой сфероидальной, сплюснутой сфероидальной, биполярной, тороидальной, биаксиальпой, параболико-цилнндрической и параболоидальпой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
