Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Ларсен [1969) обсуждал возможности применения суперэллнптнческой системы координат. Эта ортогональная система координат основана на кривых Ламе, определяемых уравнением (6.34) При различных значениях параметров а, Ь и п эти кривые образуют прямоугольники, эллипсы, ромбы, звезды, квадраты, круги, а также промежуточные фигуры.
Крайне сложной системой координат являются рассмотренные Копалом [1969) координаты Роша, при построении которых используются эквнпотенциальные поверхности вращаюнгегося гравитационного дпполя. Он предложил использовать эту систему координат при расчете газовых потоков в замкнутых бинарных системах (звездах). Можно настойчиво рекомендовать учебник Берла с соавторами [1960), который содержит уравнения газодинамики с учетом вязкости, записанные в прямоугольной, цилиндрической н сферической системах координат, а также много другой полезной информации по газодипамнке и другим процессам переноса.
Цянь Сюз-сень [!958] приводит уравнения Навье — Стокса для течения сжимаемой вязкой жидкости в ортогональных криволинейных координатах. (Однако пн в книге Берда с соавторамн, ни в работе Цяпя не приводится консерватинная форма уравнений.) В работе Богачевского с соавторами [1965) дана консервативная форма уравнений течения певязкой сжимаемой жидкости в цилиндрических и сферических координатах. (На.
помним отмеченный в гл. 4 факт, что введение коисерватнвнгчх 6.8. Другие ортогонакьные системы координат 445 переменных влияет на вид вязких членов в уравнении энергии для сжимаемой гкидкости.) Применение различного рода систем координат, включающих в качестве координаты радиус (цилиндрической, сферической, параболоидной и др.), требует некоторых пояснений. Что касается свойства консервативности, здесь имеет место некая двусмысленность. В случае осевой симметрии уравнение неразрывности сжимаемой жидкости в цилиндрических координатах имеет впд (Берл с соавторами [!960)) — + — — (гро) + — (ри) = О.
др 1 д д д< г дг д» (6.35) (6.36) где Ч = рг. Аналогичные соотношения справедливы и для уравнений количества движения и энергии (см. Богачевский с соавторамп [!965)). Заметим, что в этой дивергентной форме значение зависимой переменной на оси симметрии (г=О) просто т) =О. Однако для вычисления градиента давления в узлах, отстоящих на один шаг от оси симметрии при < = 2, и для вычисления некоторых вязких членов необходимы значения основных переменных на осн симметрии. В осесимметричпом случае наиболее надежным способом их получения является запись уравнений контрольного объема для конвективных членов на оси симметрии.
(Заметим, что на оси симметрии, очевидно, о = 0,) Уараганение. Показать, кто уравнение неразрывности, ззг1нсзпкос на осн симметрии (1 = <), имеет внд др д<ри) 4 <ро)з<з — + — + =0 дг дк Лг Такой подход обеспечивает консервативность, однако недает возможности вычислить вязкие члены. Вопрос сщс более услож. Применяя любую из схем с разностями против потока или с центральными по пространственным переменным разностями (см.
гл, 5), можно показать (задача 6.2), что это уравнение консервативно в смысле сохранения массы при протекании из одного цилиндрического контрольного объема в другой. Однако эта форма уравнения не является дивергентной формой, которая также имеет отношение к консервативности и важна с теоретической точки зрения (Лаке [1954)).
Дивергентная форма уравнения неразрывности получается при введении консервативной переменной т) = рг, как в следующем упражнении. Укражнение. Показать, что уравнение (6.35) можно записать в дквер. гентной форме — + — (чо) + — (чи) = О, дч д д дг дг д» 446 6 4. Другие системы уравнений няется при использовании цилиндрических или сферических координат при отсутствии осевой симметрии. Довольно грубым, но, очевидно, приемлемым подходом является возврат кдекартовым координатам вблизи центральной линии. В настоящее время удобной методики учета особенности на центральной линии не имеется. Ясно, однако, что прием размещения узловых точек на расстоянии половины шага от центральной линии (г = О при 1 = '/,, например) и использования здесь тех же, что и во внутренних точках, аппроксимаций некорректен. Конечно-разпостные уравнения не могут быть записаны с переходом через линию г = О, потому что при г = О направление возрастания г меняет. ся на обратное.
Лналогичная проблема возникает в сферических координатах при О = О. Машинное время и алгебраическая сложность записи вязких членов сильно возрастают для цилиндрических и в особенности для сферических координат по сравнению с декартовыми. Остается также открытым вопрос о наилучшей форме членов с явной искусственной вязкостью в непрямоугольных координатах.
При помощи схемы Русанова (равд. 5.4.3) Итон (личное сообщение) рассчитывал осесимметрнчные вихревые течения и обнаружил, что ошибки можно значительно уменьшить, положив диффузионные члены на центральной линии равными нулю. 6,4. Другие системы уравнений В настоящем разделе мы будем обсуждать следующие вопросы в порядке перечисления: (1) Системы уравнений, являющиеся настолько сильными упрощениями системы уравнений Навье — Стокса, что прп этом меняется тип уравнений. (2) Не столь радикальные упрощения системы уравнений Навье — Стокса. (3) Системы уравнений более сложные, чем уравнения Навье — Стокса.
(4) Различные способы выражения физических законов, лежащих в основе уравнений Навье — Стокса и других уравнений гидродинамикн. В первую очередь обсудим упрощение, связанное с предположением об отсутствии вязкости, что приводит к потенциальньт течениям, к методу характеристик и к теории грансзвуковых течений. Потенциальность течения в предположении об отсутствии вязкости и сжимаемостн жидкости приводит к краевой задаче для линейного уравнения второго порядка.
Исзорпчески в этом случае ранее всего был получен обширный класс решений, причем болынинство пз нпх в замкнутой форме (см. любой курс 6.4. другие сисгеггвг уравнений 447 гидродинамики). Для тел сложной формы часто предпочтитель. нее рассчитывать потенциальное обтекание численно (см., например, Дуайер и др. [1971]). Однако для решения осесимметрнчных задач со свободными поверхностями численный подход действительно необходим. Бреннен [1969] рассчитал осесимметрнчное течение с каверной, Джепсон [1969] рассматривал осесимметричные течения со свободными поверхностями, Биззел с соавторами [1970] рассчитал истечение жидкости из осеспмметричпого бака, Константинов [1970] н Уитни [1971] рассматривали двумерные пестационарные течения со свободными поверхностями.
Другим классом задач, для которых необходимы численные методы, являются течения с завихренностью невязкой несжимаемой жидкости (как в классической задаче о подъемной силе профиля, помещенного в свободный сдвиговый слой); такие задачи рассматривал, например, Чау с соавторами [1970]. В работах Хауэлла и Спонга [1969], а также Гельдера [!971] численно решалось уравнение потенциала скорости для дозвукового течения сжимаемой жидкости; в последней работе учитывалось также влияние острых углов, В случае сверхзвукового стационарного течения невязкой жидкости уравнения становятся гиперболическими.
Задача сводится к задаче Коши для пространственных переменных, и здесь становится применимым широко известный мощный метод хирактеристик. Основная теория и численные алгоритмы метода характеристик для двумерных гомоэнтропическнх течений можно найти в различных учебниках; см., например, !11апиро [1953], Липман и Рошко [1957], Аббот [1966], Овчарек [1964], Чепмен н Уолкер [1971]. Представляет исторический интерес оригинальная работа Толлмнна [1949]. В первоначальном варианте метода характеристик положения узловых точек сетки не известны заранее, а являются частью решения, Существуют две разновидности метода характеристик: так называемый метод волн (илн метод ячеек) и метод узлов характеристической сетки, В методе волн несколько упрошается арифметика вычислений прн выполнении их вручную, н он более нагляден физически, в особенности при наличии в задаче границ с постоянным давлением.
Однако метод волн требует перехода в плоскость годографа скорости, приводит к вычислительным трудностям на границе, являюшейся линией симметрии, и не может быть обобщен на осесимметричные течения (поскольку основывается не на строгой математической теории характеристик). Поэтому ему следует предпочесть метод узлов характеристической сетки, Узлы характеристической сетки определяются пересечением характеристик (лпний Маха) различных семейств, т, е, линий. е 4 Другие системы ураеиеииа составляющих с вектором скорости углы ~!л, где 9= = агс з!п(17М), В курсе Липмана и Рошко [!957] изложены также метод характеристик для осесимметричпых течений н усложнения, возникающие при отсутствии гомоэптропичности (т.
е, в том случае, когда энтропия постоянна лишь вдоль линий тока, а по нормали к ним может быть переменной). Однако многие другие проблемы, связанные с получением решений по методу характеристик, пе обсуждаются в имеющихся учебных руководствах. Так, в учебниках отсутствует описание наиболее современного варианта метода характеристик, согласно которому решение продвигается вниз по потоку на заданный шаг сучетом условия устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви [1928], а характеристики выпускаются вверх по потоку, причем необходимые величины определяются с помощью интерполяции. На возникновение скачка прн расчете по методу характеристик указывает пересечение характеристик (линий Маха) одного семейства. В этом случае должен быть выделен косой скачок, угол наклона которого определяется совместным решением соотношений Рэнкина — Гюгонио и характеристических соотношений за скачком. Выделение скачков в расчетах плоских задач по методу характеристик изложено в работах Хартри [1958) и Ричардсона [1964] с обсуждением вопросов программирования.
Кеннеди [!956), Вейс с соавторами [!966], Морено [1967], Аббетт [1970] рассматривали выделение скачков в расчетах осесимметрпчных задач по методу характеристик. Метод характеристик удобен для расчета одномерных нестацпонарных певязких течений, Такие расчеты выполняли Шапиро [1953), Хоскин [!964), Хоскпн и Лембурн [1971), причем в работе Хоскина [1964) обсуждаются также вопросы программирования. В методе характеристик пе применяются консервативные схемы, и поэтому проверка консервативности может служить указателем величины ошибок аппроксимации. Пауэрс и О'Нейлл [1963) указали, что ошибки, связанные с нарушением свойства консервативности, возрастают при гиперзвуковых скоростях (при малых углах Маха и больших градиентах), и дали метод определения энтропии в узлах сетки при помощи расчета потока массы.
В случае стационарных трехмерных течений возникает определенная свобода прп разработке метода характеристик, что привело к появлению пяти или шести различных вариантов трехмерного метода характеристик. Чу [1964) приводит простой вывод трехмерных характеристических соотношений. Чушкин [!968) дал обзор четырех вариантов трехмерного метода характеристик и учел влияние неравновесности. Пауэрс с соавторами [!967] разработал трехмерный метод характеристик и включил в свой алгоритм расчет пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
