Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Плоткин [1968], а также Плоткин и Флюгге-Лотц [1968) рассчитали течение в следе за плоской пластинкой, обтекаемой несжимаемой жидкостью; Гхиа с соавторами [1968) рассматривал перемешивание коаксиальных ламинарных струй; Крепшоу [1966] рассчитывал несжимаемые прнстепочные н свободные струи, Патанкар и Сполдинг [1967а) — свободные струи; П1ехгер [!967] при расчете течения в следе применил схему с аппроксимацией Паде и, наконец, Эль Ассар [1969] для расчета течения сгкпмаемого газа в следе применил сначала преобразование Мизеса, а за~ем отображение бесконечной области ка конечную.
При расчете трехмерных нестационарных пограничных слоев приходится сталкиваться со специфическими трудностями, не последней из которых является отыскание приемлемого решения для внешнего обтекания невязкой жидкостью. Трехмерные пограничные слои изучали Дер и Рец [1962], 111евелев [!967], Дуайер [1968, !97!а, 19716], Нэш [1969], Краузе [1969], Вальо-Лорен и Миллер [1971], Берпке [1971), Краузе и Хиршел [1971], Пауэрс и др. [1967], Мур и Дежарнетт [1971], В последних двух работах для расчета внешнего невязкого обтекания применялся трехмерный метод характеристик. Нестационарные пограничные слои рассматривали Олейник [1967), Дуайер [1968), Холл [1969), Пикс [1970); см.
также материалы конференции 11)ТггМ по нестациопарным пограничным слоям, состоявшейся в сентябре 1971 г. б 4 Ргрргиг системы ррааненид 453 Существуют приближения пограничного слоя «второго порядка» '), в которых также пренебрегают диффузной в направлении основного течения, однако допускают наличие градиента давления поперек пограничного слои, влияние градиента завихрепностп, вызванного искривленной головной ударной волной, н влияние толщины вытеснения на невязкое решение вне пограничного слоя (см. Ван-Дайк [1962а, 1962б]).
Левин ]1968], а также Оренбергер и Баум [1970] рассчитывали течения сжимаемой жидкости по теории пограничного слоя второго порядка, Верле и Уорном [1970] учитывали влияние членов теории пограничного слоя второго порядка в случае расчета течения несжимаемой жидкости. Существуют и другие системы уравнений, которыенеявляются уравнениями пограничного слоя в точном смысле, однако напоминают их тем, что пренебрежение дпффузпей в направлении основного потока позволяет продвигать решение по пространственной переменной. Таковы уравнения движения газа на входе в канал (Кокрсйп ]1969], Бепкстон и Мик-Элигот [1969], Лок [1970], Бнллиг н Гэлли [1970]), уравнения с приближением высокого порядка Плоткина [1968], а также Плоткина и Флюгге-Лоти [1968]; очень удачные уравнения для течения в ударном слое Р.
Т. Дэвиса [1968, 1970а] и с учетом химических реакций (Дэвис [1970б]); параболические уравнения, рассматривавшиеся в работах Патанкара н Сполдннга [1972] н Брили [1974]. Представляют также интерес расчеты Бургграфа и Стюартсона [1971] пограничного слоя, индуцированного потенциальным вихрем, проведенные Блоттнером [1971] сравнения методов первого н второ~о порядков для пограничных слоев с химическими реакциями, сочетание квазилинеаричации с разложениями по полиномам Чебышева Джаффе и Томаса [1970], расчеты Стеджера и Сепри [1965] по методу прямых, определение и исследование устойчивости для класса методов, проведенное Мерфи [1963], и, наконец, остроумный метод локальной неавтомодельности Сперроу с соавторами [1970], который позволяет рассчитывать решение в представляющей интерес точке пограничного слоя без нахождения всего решения вверх по течению, Дуайер с соавторами [1971] дал способ сочетания произвольного метода расчета потенциального течения с методом расчета несжимаемого неавтомодельного пограничного слоя, позволяющий за очень короткое время получить полное решение задачи о вязком обтекании при больших числах Рейнольдса ') Здесь выражение «второй порядок» употребляется применительно к дифференциальным уравнениям, описывающим течение, а не к конечно-рав.
постным схемам. 464 6.4. гуругие системы уравнений (вплоть до возникновения отрыва или перехода в турбулентный режим). При условии преодоления известной ивертпости исследователей этот полход внесет значительный вклад и в ппжеиериую практику, и в методику преподавания. Существуют п другие упрощения системы уравнений Навье— Стокса, яс меняющие, однако, тпп системы уравнений столь радикально, как перечисленные выше. В том случае, когда вязкие члены полностью преобладают аад копвективными, система уравнений в переменных зь г, для стационарного течения несжимаемой жидкости сводится к одному линейному бигпрмоническаму уравненгио четвертого порядка, как это предлагается показать в следующем упражнении. унризтнсниг.
Прн помощи уравненна тл. 2 показать, что снстемв урвв. нення в нсременныз хь й ллн станвонарного течсннн в случае йе -т О ярнннмнет внл гу ==-Рг !Р'хг1 = о. (6. 391 Трудность этого подхода заключается в постановке граничиых условий; см. слелующпе работы; Том [1953], Пирсон [1964], Фейрвезер ы др. [!967], Бернал и Уайтмеп [1968, 1970), Дистефапо [1969), Бурсье и Франсуа [!969), Дж. Смит [1970]. Другим общеупотребительным упрощением является приближение Буссинеска, применяемое при рассмотрении течений естественной коивекцпи, вызванных иеравиомерпым нагревом.
Колдер [!968) дал вывод и интерпретацию уравнений Буссияеска в декартовых координатах. Барнс [!967] рассматривал лииеаризованиые уравпепия Бусспнеска в цилиидрвческих координатах, Торрапс и Рокетт [1969) — в декартовых и цилиидрических координатах, де Валь Дэвис [1968) и Фаста [1970] — в декартовых координатах, Браун [1967] — в сферических координатах, Уильямс [1969) — в цилиндрических коордяиатах в трехмерном случае, Кабеллп и де Валь Дэвис [1971], а также Липпе и Самервилл [!97!] — в декартовых координатах в трехмерном случае. У. П.
Кроули [19686] при изучении слабой атмосферной ячеечиой конвекцпи рассчитал по уравнениям Буссииеска средиее и возмущенное течения. В работах Дали и Прахта [1968], а также Дали [1969а„1969б] установлены границы применимости приближения Буссивеска. Расчет слабых волн давления можно сильно ускорить с помощью примепеяия линеаризованных уравнений для течения сжимаемого газа. Этим приемом пользовались Цумвальд [1967] при расчете звукового удара и Лу [1967) при расчете излучения акустических волн в ближней зоне.
77ри квазиодноиернолг приближении поперечное сечение потока рассматривается как функция от олной пространственной координаты и парамезры течения по всему поперечному сечению б.е. другие системы уравнений 4зз предполагаювся постоянными. Взот подход успешно применялся при расчете течений внутри сопел; см. Крокко [1965] и Андерсон [1969а, 1969б, 19?Оа, 1970б]. Для расчета течения в открытом канале Гупаратнам и Перкинс [1970] разработали неявные схемы высокого порядка для решения уравнений Сен-Венина.
Чрезвычайно важен расчет метеорологссческих и других геофизических задач. Численный прогноз погоды является, без сомнения, одной из наиболее насущно важных проблем, и поэтому методы, применяемыс метеорологами-вычислителями, очень хорошо разработаны. Во многих отношениях различные системы уравнений, описывающих метеорологические задачи, могут быть более сложными, чем обычные уравнения, применяемые в аэродинамике, за счет наличия членов, описывающих кориолисово ускорение, перенос примесей, испарение н копденсацшо, рельеф местности, излучение н т. п. Однако здесь такхсе применяются некоторые упрощения. Например, неоднородность атмосферы по вертикали можно учесть с помощью рассмотрения удивительно малого числа «уровней»; так, пяти-, семи- и девятиуровневые модели сложны и разработаны отиосителыю недавно, в то время как многие особенности явлений можно получить даже при расчетах по одно- и двухуровневым моделям (см., например, Томпсон [!961], Хафтон и Изаксон [1968]).
Определенные геометрические трудности, связанные с рассмотрением сферического сектора, можно преодолеть с помощью приближения [1-плоскости. Члены с ламипарной вязкостью обычно отбрасывают, однако атмосферная турбулентность может привести к появлению диффузионных членов. (Эту турбулентность можно рассматривать как двумерную.) Подход, связанный с рассмотрением вихря скорости, часто оказывается более удобным, чем решение уравнений для простейших физических переменных; одно из наиболее интересных приближений состоит в определении зависящей от времени функции тока и, следовательно, поля конвекзивных скоростей только по вычисленному распределению вихря.
Граничные условия для расчетов в некоторой выделенной области на мелкой сетке удобно определять по результатам предыдущих расчетов на более грубой сетке. В метеорологических задачах стационарные решения обычно ие представляют интереса, однако они могут представлять интерес в других геофизических задачах (например, ячеечиая конвекция, вызванная солнечной радиацией). Обычно в метеорологических задачах требуется по крайней мере второй порядок аппроксимации по времени.
Интересной особенностью этих задач является то, что гидростатическое давление р иногда принимается за независимую переменную вместо вертикальной координаты Ь, которая представляется как Й(р). 456 6.4. Лрнгче гаггемы ураояений Лилли [1965], Касахара [1965], Граммслыведт ]1969] и Полджер [197!] привели сравнения различных конечно-разностных схем для метеорологических задач.
Граммельтведт [1969], Уильямсон [1969], Полджер [1971] применяли приближение ]1-плоскости. Баэр н Кинг [1967), Баэр и Симоне [1968], Граммельтведт [1969] описали применение спектральных уравнений. Особенно привлекательны расчеты метеорологических задач в глобальном масштабе. Лейт ]1965] дал полное описание физической модели и конечно-разностных схем [см, равд, 3.1.13) для расчета глобального прогноза погоды, а Харди [1968] прп помощи программы Лейта провел численные эксперименты, моделирующие движение атмосферных потоков. Брайен [1963) и У. П. Кроули [!970в) численно изучали движение океана иод действием ветра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
