Роуч П. Вычислительная гидродинамика (1185913), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Методы Монте-Карло и другие методы случайного блуждания применяли Вогсниц с соавторами [1968, 1970], Вогенцц и Таката [1970, 1971], Берл [1969а, 1969б, 1969в, 1970а, 1970б], Бульярелло и Джексон [1967], Толли и Уитекер [1969], Мейттс [1970], Макферсон [1971]. В обзоре Иена [!969] описаны различные методы Монте-Карло и другие методы расчета влечений разрежешюго газа, имеются также дополнительные ссылки.
Обзор Халтона [1970] также посвящен методам Монте-Карло. 6.5. Направлания будущих исследований В этом заключительном разделе настоящей главы мы приведем некоторые соображения по поводу направлений дальней- <него исследования задач вычислительной гидродинамики и дадим пекоторыс ссылки (конечно, далеко не исчерпывающие) по еще не затронутым нами вопросам, Что касается основных методов, то наиболее важной областью развития являются, вероятно, полуаналитические (или, что то же самое, полудискретные) методы расчета. Это название охватывает различные методы (метод усеченных рядов, метод ') Мы пс Вудсы повторять здесь ссылок, прпвсхспкых в рвзд.
5,аэ. 465 6,5. Оппраеления будящих исследозпннд интегральных соотношений, метод прямых, смешанные дифференциально-конечно-разностные методы и т. д.), в которых решение системы дифференциальных уравнений в частных производных сводится к решению системы обьпсновенных уравнений при помощи эффективных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ьгетод Рунге — Кутта, метод инвариантного погружения и др.). Этот подход находится несколько в стороне от общего подхода вычислительной гидродинамики, состоящего в моделировании течений. Важно сознавать, что свойства получающихся обыкновенных дифференциальных уравнений могут радикально отличаться от свойств соответствующих уравнений в частных производных; например, при применении метода прямых к уравнениям в частных производных для ламинарного пограничного слоя получающиеся в результате обыкновенные дифференциальные уравнения являются жесткими.
По применению полуаналитических методов можно указать следующие работы: Фридман [1956], Гершуни с соавторами [1966], Деннис с соавторами [1968], Деннис и Чен [1969, 1970), Керр и Александер [1968), Керр [1968, 1969, 1970], Веронис [1968], Лакшгбилл и Чайлдс [1968), Ундервуд [1969], Ндефо [1969], Брайен и Чайлдс [1969), Мейер [1969), Таками и Келлер [1969), Глиз [1969а, 1969б], Всмурп [1970), Нелсон [1970), Джаффе и Томас [1970), Пирс [1970], Клингер [!970), Истон и Кеттон [1970), Томпсон [1971), Белоцерковский с соавторами [1970], Холт и Ндефо [1970], Чушкин [1970а], Б. У. Томпсон [1971), Деннис и Станифорт [1971], Холт и Мессон [1971], Мелник и Айвз [!97!).
Можно ожидать, что в будущем будут более интенсивно применяться такие методики, как методы сращивания (несмотря на их скромные успехи в настоящее время), смеиганньге эйлероволагранжевьл метады и в особенности методики самонагтраиваюи)ихся преобризований координат и выделения скачков. Другим из возможных путей развития является применение методов конечны элементов ') для расчета невязких дозвуковых течений; см, работу Сакетта и Хили [1969), а также обзор Зенкевича [1969]; приложения к задачам гидродинамики можно найти в работе Аргириса с соавторами [1970].
Метод конечных элементов применим также к чисто диффузным задачам, однако ') Термин «ьгетод конечных элементои» пе очень отчетлив, и многие авторы оюибочпо применяют его к методам тапа метода частиц в ячейках и к методам, использующим уравнения, полученные рассмотрением контрольного объема 1см. равд. 3.1.2). Хотя такое употребление этого термина в принципе возможно, оно не оправдано исторически.
По принятой традиции методами конечных элементов называют методы, основанные на вариацно~1- ном принципе, д5. Иаооооления будглиия ооооедооанол Эмери и Карсон [1971] показали, что для нестапнонарпых задач с переменными коэффициентами конечно-разностные методы предпочтительнее. Митчелл [1972] дал замечательный обзор работ по методу конечных элементов. Очевидно значительное расширение возможностей вычислительной гидродннамнки в будущем в связи с рвеличениееи возможностей ЭВМ.
Введение в строй машин с быстродействием и объемом памяти, такими, как у СРС ЭТАК или ВЕБ1АС 1Ч (см., например, Злотпнк [1971]), несомненно расширит класс решаемых задач, включая многие трехмерные задачи. Однако в обозримом будущем не предвидится возможности расчета деталей трехмерных течений с областями больших значений вторых производных (сложных внутренних течений с системами скачков, отрывы, сопровождающиеся колебаниями, всплески турбулентности) традиционными методами на равномерных сетках. (Без разрешения деталей течения часто, но не всегда, можно получить общую картину течения.) Интересно отметить, что применение мультипроцессорного режима в ЭВМ новых поколений сделает явные схемы в некотором смысле более прпвле.
кательнымя, чем неявные, что, возможно, уничтожит наметившуюся в настоящее время тенденцию к применению неявных схем для расчета уравнений переноса. (Представляется, что схема «классики», разработанная Гурли [1970а], а также Гурлн с соавторами [1971, 1971а, 197!б], удобна для применения на ЭВМ с мультипроцессорным режимом.) Другой возможностшо, связанной с развитием мощных ЭВМ, является применение гибридных (т.
е. аналогово-цифровых) ЭВМ. Хотя всегда считалось, что они обладают большими потенциальными возможностями, кнастоящему времени онн, кажется, этих надежд не оправдали. Расчеты уравнений в частных производных на гибридных ЭВМ производили Вишневецкий [1968], Финн [1968], Номура и Дитерс [1968], Унг и Поль [1968], Цубои и Итикава [1969]. Важно, однако, иметь в виду, что последовательная архитектура СГ1С $ТАК, параллельная архитектура 1ШАС1Ч и пара.члельно-последовательная архитектура гибридных ЭВМ, повышая эффективность машины, часто приводят к умепьшеншо эффектинности алгоритмов и к усложнению программирования. Более многообещающим, чем увеличение мощностей ЭВМ, нам представляется развитие их математического обеспечения. Развитие Фортрана сделало доступными методы выделения скачков, н можно ожидать, что дальнейшие разработк~! сделают возможным использование более сложных схем.
Начало этой работе уже положено созданием библиотеки подпрограмм решения дифференциальных уравнений в частных производных на языке Р1.-1 (Карденас н Карплюс [!9?О]), аналогичной имеющимся в настоящее время во всех вычислительных центрах 6Д Направления будугция исследований библиотекам, содержащим стандартные подпрограммы для процедуры исключения Гаусса, процедур решения обыкновенных диффереицпальиых уравиеиий, процедур вычпслсиия распространенных аналитических фуикций и т. д. Хотя представляется, что палпчие копкретпых грапичиых условий, определяющих различные гпдродииамические задачи, ие позволит свести их решепие к подобным сзапдартиым подпрограммам, однако возможпо, что примепеиие, скажем, двухшаговой схемы Лакса — Всндроффа для разиостиого представлеиия в регулярной внутренней точке может быть осуществлено такой же стандартной процедурой, как обращение к вычислению синуса.
Борис [1970] примеияет символический вариант Алгола, позволяющий сокрагцать запись наподобие векторной и тсизориой символики для математических уравнений. Опыт применения подобных языков (язык М1М1С) для решеиця обыкновенных днффереициальных уравиепий показывает, что с точки зреипя экопомии машинного времени траисляцпя п расчет задач часто проходят очень иеэффективно и поэтому подобные языки представляются иепригодными для рабочей программы (см. следующую главу); однако последующую оптимизацию программы пе обязательно проводить самому программисту — оиа может осуществляться при помощи системы математического обеспечения (Борис [!970]).
Кроме того, в некоторых вычислительных центрах имеются диалоговые системы для численного решения уравнений в частиых производных (Тиллмеи [1969]), в которых пользователь имеет возможность оперативно вмешиваться в процесс расчета задачи и менять параметры задачи в соответствии с видом решений, высвечиваемых иа экране дисплея. Для совершепствоваиия этой техники необходимо развитие гибридных систем математического обеспечения.
Быть может, наиболее существенным здесь является развитие возможностей математического обеспечения для осуществлеиия осповиых алгебраических и вычислительных операций в диалоговом режиме (см., иапрпмер, Тоби [!969]). Эти возможности позволят более интенсивно исследовать новые чис. ленные методы, как полностью дискретные, так и (что более существенно) полуапалитические. В пастояшее время осуществление такого подхода заняло бы слишком много времени. Развитие математического обеспечения в этом направлении оказало бы даже большее влияние иа примепеиие аиалитических методов типа метода сращиваемых асимптотических разложеиий, чем па примеиеиие числепиых методов. Получение решеиий для возмущений высокого порядка прп помоьци ЭВМ, выполняющих алгебраические преобразования, могло бы стать вполне обычной задачей в случае «регулярных» возмущеиий, однако в газовой динамике много задач с сингиллрнылги возму- 4бз бб.
Напр«ел«вил будущих исследований щениями, и поэтому, вероятно, аналитики не останутся без работы. Существует интересная возможность использования аналитических решений высокого порядка, полученных с помощью ЭВМ, аналогичная использованию численных решений в настоящее время. Обычно желательность получения аналитического результата следует пе только пз быстроты проведения расчета, ио и нз возможности получения качественной информации из исследования функционального вида решения.
Однако если «ответ» представляется выражением, записанным на сорока страницах, то его невозможно как-либо интерпретировать. Вместо этого аналитическое решение, полученное на ЭВМ, может быть машинным образом транслировапо непосредственно в программу па Фортране, которая (как и конечно-разностная программа) затем используется для получения численных ответов при заданных значениях входных параметров. В этом случае «аналитику» даже не нужно просматривать функциональный вид полученных решений! В дополнение к рассуждениям о вычислительных методах и ЭВМ обсудим классы задач, которые будут решены в б,тижайшем будущем. Большинство численных исследований в настоящее время в некотором смысле обособлено, что соответствует незрелости этой области науки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
